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 Exercice sur les Barycentres

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Nicolas Anouza

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MessageSujet: Exercice sur les Barycentres   Mer 20 Mai - 19:44

Cette fois ci, j'ai un deuxième exercice. Voici l'énoncé:



S'il y a une question que vous ne voyez pas, dites le moi.

Bref, je ne suis pas sur mon ordinateur donc je ne peux pas faire de schema pour le 1.

Il me semble que le barycentre I du systeme (A,1), (B,1), (C,2) soit par associativité: I barycentre de (D,2), (C,2). Donc

DI = 1/2 DC

D est le milieu de [AB].

Voila... Il me semble que c'est juste ?

Pour le 2 par contre je ne vois pas comment procéder... Un peu d'aide s'il vous plait ?
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Exercice sur les Barycentres   Mer 20 Mai - 20:20

Bonsoir,

Cette exercice est théorique et fait travailler sur le calcul qu'on appelle littéral c'est à dire en utilisant un paramètre et en travaillant sans chiffre ou presque. Ce genre d'exercice n'est pas le plus simple à faire car il faut essayer d'avoir des aspects visuels et précises des objets qu'on manipule pour éviter comme on dit de "faire des maths pour faire des maths".

Alors ta démarche est plutôt bonne pour construire le point I en utilisant un point intermédiaire qui est donc le milieu de [AB] peut-être faut-il l'appeler J et non D car D est utilisé dans la suite du problème. De plus, D est un point du tétraèdre, il ne peut donc pas être le milieu de [AB] sinon, il serait plat notre tétraèdre. Ce qui permet d'écrire que I=Bar{(J;2),(C;2)}è
Ce qui peut aussi s'écrire I=Bar{(J;1),(C;1)}. ET ce qui nous amène donc à construire I comme étant le milieu de [JC] c'est tout à fait cela.

La construction est donc juste j'imagine vu que la démarche et la méthode le sont.

Bon maintenant, on va tenter d'entamer la suite et pour cela, la première question est une question de cours. En effet, quelle condition a-t-on sur les coefficient d'un point formant un barycentre pour que ce barycentre existe?

Bon courage!

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Nicolas Anouza

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MessageSujet: Re: Exercice sur les Barycentres   Mer 20 Mai - 21:43

Qu'ils soient non nul ?
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MessageSujet: Re: Exercice sur les Barycentres   Mer 20 Mai - 21:54

Alors c'est presque celà.

C'est le fait que l'addition de tous les poids soit non nulle. Il faut donc effectuer l'addition des 4 poids et vérifier que celle-ci est bien non nulle.

Mais pourquoi cette addition doit être non nulle?

Et bien cela vient tout simplement de la définition d'un barycentre. En effet, imaginons que l'addition soit nulle à ce moment là, nous aurions:

a*GA+b*GB+c*GC+d*GD=0 avec a+b+c+d=0

Par relation de Chasles, j'introduis le point A dans les trois derniers vecteurs, celà nous donne:

(a+b+c+d)*GA+b*AB+c*AC+d*AD=0

Or a+b+c+d=0

Donc: b*AB+c*AC+d*AD=0

C'est à dire que notre égalité vectorielle ne dépend plus de G (c'est tout de même dommage sachant qu'elle est censé nous permettre de placer celui-ci Smile). Alors quelle solution avons nous avec cette égalité?

Et bien soit A est barycentre de {(B;b),(C;c),(D;d)} et à ce moment là l'égalité est tout le temps vérifiée ce qui signifie que notre point G peut être placé n'importe où. On perd donc l'unicité du point G mais on garde sont existence.

Par contre, si le point A n'est pas barycentre de {(B;b),(C;c),(D;d)}, alors l'égalité n'est jamais vérifiée et à ce moment là, il n'y a même plus existence du point G.

C'est donc pour avoir l'existence d'une part et l'unicité d'autre part du point G qu'il faut que nous ayons l'addition de tous les poids qui ne soit pas nulle.

J'espère que cela est plus clair maintenant mais si ce n'est pas le cas, n'hésite pas.

Je te laisse donc effectuer les calculs avec le but affiché qu'il faut que l'addition soit non nuls pour tout réel m.

Bon courage!

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Nicolas Anouza

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MessageSujet: Re: Exercice sur les Barycentres   Mer 20 Mai - 23:07

Bon, je ne suis pas sur d'avoir tous compris... Je me lance:

Donc:

a=m
b=m
c=2m
d=(m-2)²

m*GA+m*GB+2m*GC+(m-2)²*GD = 0
<=> (m+m+2m+(m-2)²) GA+mAB+2mAC+(m-2)²AD = 0
<=> (m²+4)GA+mAB+2mAC+(m-2)²AD = 0

Ainsi vu que a+b+c+d n'est pas égal à 0, A est barycentre de {(B;b),(C;c),(D;d)}. On perd donc l'unicité du point G mais on garde sont existence.

Enfin... Je ne suis pas sur de la fin. Pas sur du tous...
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MessageSujet: Re: Exercice sur les Barycentres   Jeu 21 Mai - 11:22

Bonjour!

Alors je t'ai embrouillé au lieu de t'aidé j'ai l'impression. En fait lorsque j'ai dit:

Citation :
Mais pourquoi cette addition doit être non nulle?

Et bien cela vient tout simplement de la définition d'un barycentre. En effet, imaginons que l'addition soit nulle à ce moment là, nous aurions:

a*GA+b*GB+c*GC+d*GD=0 avec a+b+c+d=0

Par relation de Chasles, j'introduis le point A dans les trois derniers vecteurs, celà nous donne:

(a+b+c+d)*GA+b*AB+c*AC+d*AD=0

Or a+b+c+d=0

Donc: b*AB+c*AC+d*AD=0

C'est à dire que notre égalité vectorielle ne dépend plus de G (c'est tout de même dommage sachant qu'elle est censé nous permettre de placer celui-ci Smile). Alors quelle solution avons nous avec cette égalité?

Et bien soit A est barycentre de {(B;b),(C;c),(D;d)} et à ce moment là l'égalité est tout le temps vérifiée ce qui signifie que notre point G peut être placé n'importe où. On perd donc l'unicité du point G mais on garde sont existence.

Par contre, si le point A n'est pas barycentre de {(B;b),(C;c),(D;d)}, alors l'égalité n'est jamais vérifiée et à ce moment là, il n'y a même plus existence du point G.

C'est donc pour avoir l'existence d'une part et l'unicité d'autre part du point G qu'il faut que nous ayons l'addition de tous les poids qui ne soit pas nulle.

C'était pour t'expliquer pourquoi, on disait que le barycentre était bien existant lorsque la sommes des coefficients était non nulle tout simplement.

La seule chose que tu as à faire pour cette question c'étiat juste de faire l'addition des quatre poids et de montrer qu'elle était bien non nulle pour toutes les valeurs de m.

D'ailleurs dans ton calcul, tu as trouver que m+m+2m+(m-2)²=m²+4

Or on sait que pour toutes les valeurs de m, m² est positif ou nul. Et par conséquent, m²+4 est supérieur ou égale à 4.

En conclusion, m²+4 est bien non nul pour toute valeur de m.

Est-ce que c'est plus clair ainsi? Je nete donnais juste que la démonstration pour te montrer pourquoi il nous fallait la non nullité de cette addition. Désoél si j'ai compliqué la donne du coup.

Une idée pour la suite?

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MessageSujet: Re: Exercice sur les Barycentres   Jeu 21 Mai - 18:32

Pas de probléme. J'ai compris.

b) Nous savons que le point I est la barycentre des points A, B, et C.

Donc

(A,m) (B,m) (C,2m) (D,(m-2)²)
<=> (I,4m) (D,(m-2)²)

Donc DG = 4m/(4m+(m-2)²) DI = 4m/(m²+4) DI.

3)1)f'(x) = (4(x²+4)-4x*2x)/(x²+4)²
=(-4x²+16)/(x²+4)²

Je ne suis pas encore sur mon ordi'...

Delta = 256 Il y a donc deux racines distincts.

x1=2
x2=-2

Je n'ai toujours pas mon ordi'... Donc je ne peux pas faire un tableau. Mais le résultat concorde et semble juste.

b) lim en +infini de 4x/(x²+4) = 0
lim en -infini de 4x/(x²+4) = 0

c) Je n'ai pas mon ordi depuis tous à l'heure. Smile

d) Une valeur proche de 0.

4°) Je ne vois pas comment répondre à la question...
Donc pour
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MessageSujet: Re: Exercice sur les Barycentres   Jeu 21 Mai - 19:44

Bonsoir,

La 2) est presque correcte. J'ai dit presque"? Et oui, pourquoi?

Car I est le barycentre de {(A;1},(B;1),(C;2)}

Vu qu'un barycentre est le même par multiplication par un réel non nul, on a donc par multiplication par m:

I=Bar{(A,m),(B;m),(C;2m)}

D'où ta conclusion par associativité (et il faut le marqué, ce sont des point clé du raisonnement. Il fautl es mettre en valeur), mais cette étape là doit être écrite car c'est ça qui fait marcher le tout.

Ta dérivée est bonne mais un peut de pratique de calcul:

-4x²+16=4*(-x²+4)=4*(4-x²)

Donc -4x²+16=4*(x-2)(x+2)

Ensuite, il s'agit en effet de faire un tableau de signe puis d'en déduire le sens de variation de F.


Enfin les limites sont justes mais peut-être faire un intermédiaire pour dire comme tu les calculs (mettre x² en facteur en bas et ainsi de suite pour pouvoir conclure) car écrit comme cela il s'agit d'une forme indéterminée infini/inifini.

Tu n'aimes pas beaucoup détailler tes résultats mais ça te jouera des tours dans des devoirs fait attention Wink. Prendre e bonnes habitudes permets d'éviter les pertes de points assez rageant car le résultat et la démarches est justes mais pas bien écrite.


Pourl a question d), tu fais une erreur car d'accord à l'infini cela tend vers 0 donc 0 est une des borne de l'intervalle mais il nous manque l'autre borne de l'intervalle. Et c'est ton tableau de variation qui va te le donner car il y a un extremum en fait.

La quatrième question fait le lien entre la question 2) et la 3) vu que le barycentre est définie par une égalité dontl e coefficient est exactement la fonction que tu viens d'étudier. Je te laisse déjà reprendre un peu les questions précédente et surtout la 3)d) car c'est elle qui va nous permettre de conclure pour la 4).

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercice sur les Barycentres   Jeu 21 Mai - 19:56

Mes calculs sont développés mais sur mon brouillon. Etant donné que je ne suis pas chez moi, j'ai un couvre feu. ><

Merci pour les rectifications, c'est modifié.

Donc pour le d) la réponse est l'intervalle: [-1;1] non ?
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MessageSujet: Re: Exercice sur les Barycentres   Jeu 21 Mai - 20:04

En effet, je ne peux lire ton brouillon Wink. Je précisais par mesure préventive (mieux vaut être vacciné que malade comme on dit Smile).

Sinon, f(x) prend bien ses valeur dans l'intervalle [-1;1] c'est tout à fait juste.

Conclusion pour la question 4)?

Je te rappelle que DG=[4m/(m²+4)]*DI et que F(x)=4x/(x²+4) et d'après la dernière question f(x) est dans l'intervalle [-1;1]

Conclusion pour la position de G? (Il ne fautp as oublié tout ce qu'on a fait et la valeur très concrète de notre problème vu qu'on peut le visualiser sur un dessin)

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercice sur les Barycentres   Jeu 21 Mai - 20:12

Si j'ai bien compris,

G apparient à [2/5;4/5] de DI. C'est cela ?
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MessageSujet: Re: Exercice sur les Barycentres   Jeu 21 Mai - 20:24

Hmmm D'où sort le 2/5 et le 4/5 ?

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MessageSujet: Re: Exercice sur les Barycentres   Jeu 21 Mai - 20:27

Je dirai plutot g appartient à 4/5 de DI. (J'ai modifié m par les extremes.)
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MessageSujet: Re: Exercice sur les Barycentres   Jeu 21 Mai - 20:31

Haaa je m'en doutais !!!

C'est quoi qui appartient à [-1;1] ??

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MessageSujet: Re: Exercice sur les Barycentres   Jeu 21 Mai - 20:36

Et bien x et de ce fait dans la question 4 m. Non ?
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MessageSujet: Re: Exercice sur les Barycentres   Jeu 21 Mai - 20:38

Que te demande la question 3)d) et comment as-tu trouvé ton intervalle [-1;1]?

Attention, on manipule plusieurs choses en même temps et ici ce n'est pas m qui est donc [-1;1] car tu as mal assimilé la question 3)d) je pense. relis-là et regarde comment tu y as répondu, tu va comprendre l'erreur, je pense Wink.

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MessageSujet: Re: Exercice sur les Barycentres   Jeu 21 Mai - 20:44

Je remplace m par soit -2 soit par 2 ? Ce qui nous fais g appartient à DI?
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MessageSujet: Re: Exercice sur les Barycentres   Jeu 21 Mai - 20:54

Mais recommence pas ce qui a déjà été fait en fait.

Que nous dit la question 3)d) avec x=m ?

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MessageSujet: Re: Exercice sur les Barycentres   Jeu 21 Mai - 21:06

Que x appartient à [-1;1]
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MessageSujet: Re: Exercice sur les Barycentres   Jeu 21 Mai - 21:14

NON !!!

Que F(x) appartient à [-1;1] car x appartient à R lui !! C'est ton tableau de variation qui te l'a donné en plus.

Donc F(m) parcourt [-1;1].

Conclusion pour l'emplacmeent de G?

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MessageSujet: Re: Exercice sur les Barycentres   Jeu 21 Mai - 21:58

Ben pour moi, G a pour ensemble DI. xD
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MessageSujet: Re: Exercice sur les Barycentres   Jeu 21 Mai - 22:06

Alors G prend toutes les positions possibles sur le segment [DI] (c'est un segment on met des crochets Razz).

Mais est-ce que se sont les seules positions possibles?

Par exemple si je prend m=-2, j'ai F(m)=-1, où est le point G à ce moment là?

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MessageSujet: Re: Exercice sur les Barycentres   Jeu 21 Mai - 22:12

Sur [ID]?
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MessageSujet: Re: Exercice sur les Barycentres   Jeu 21 Mai - 22:17

Attend 30s Nicolas. Essayons d'être un brin logique Wink.

Je pose m=-2, j'ai F(-2)=4*(-2)/((-2)²+4)=-1. C'est c'est d'après l'étude de 3)

Mais j'ai d'après 2), DG=F(m)*DI (j'espère qu'on était d'accord jusque là et que tu avias remarqué le lien depuis que je te l'avais suggéré sinon je comprend mieux ton erreur et tu aurais du m'interrompre plus tôt).

Je prend m=-2, j'ai donc DG=F(-2)*DI=(-1)*DI=-DI

Donc G peut être tel que DG=-DI

Où se situe se point G?? Si [DI] ????

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MessageSujet: Re: Exercice sur les Barycentres   Jeu 21 Mai - 22:28

Sur D ?
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MessageSujet: Re: Exercice sur les Barycentres   

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Exercice sur les Barycentres
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