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 Exercices avec plans et autres

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MrTheYo



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MessageSujet: Re: Exercices avec plans et autres   Ven 22 Mai - 22:07

Citation :
Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.
Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5)
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!


5.
Citation :
a distance d'un point à une droite est égale à la distance du point jusqu'au projeté orthogonale de ce point sur le plan.

Soit H le projeté orthogonal de C sur le plan P. Je cherche à calculer la distance CH.
--> Je dois calculer les coordonnées (xH;yH;zH) de notre point H sachant que :
- H appartient au plan P : ses coordonnées vérifient l'équation du plan P.
- On sait que H appartient à la droite (CH) : ses coordonnées vérifient l'équation paramétrique de la droite (CH).

Je cherche l'équation paramétrique de (CH) :
(CH) est orthogonale à P et passe par C. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (CH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (CH) à partir des coordonnées du point C et des coordonnées de n.

Citation :
Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.
Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5)
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!


5.
Citation :
La distance d'un point à une droite est égale à la distance du point jusqu'au projeté orthogonale de ce point sur le plan.

Soit H le projeté orthogonal de C sur le plan P. Je cherche à calculer la distance CH.
--> Je dois calculer les coordonnées (xH;yH;zH) de notre point H sachant que :
- H appartient au plan P : ses coordonnées vérifient l'équation du plan P.
- On sait que H appartient à la droite (CH) : ses coordonnées vérifient l'équation paramétrique de la droite (CH).

Je cherche l'équation paramétrique de (CH) :
(CH) est orthogonale à P et passe par C. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (CH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (CH) à partir des coordonnées du point C et des coordonnées de n.

On sait que CH est colinéaire à n la normale à notre plan P.
On peut donc dire que tous points M(x;y;z) de la droite (CH) est tels que CM=t*n.
avec n(1;-2;1) et CM(x;y+2;z-3) donc :
x = 1*t
y + 2 = -2*t
z - 3 = 1*t
Donc :
x=0+1*t
y=-2+(-2)*t
z=3+1*t
avec :
xH-2yH+zH+1=0
t - 2(-2-2t) + (3+t) +1 = 0
t + 4 + 4t + 3 + t + 1 = 0
6t + 8 = 0
6t = -8
t = -8/6
DONC :
x= -8/6
y=-2+(-2)*(-8/6) = -2 + 16/6 = -12/6 + 16/6 = 4/6 = 2/3
z=3+1*t = 3 -8/6 = 18/6 - 8/6 = 10/6 = 5/3

Je peux maintenant calculer la distance HC :
HC = Racine[ (xC-xH)² + (yC-yH)² + (zC-zH
= Racine[ (0 + 8/6)² + (-2 -2/3)² + (3-5/3)²]
= Racine[ (64/36) + (-6/3 -2/3)² + (9/3 -5/3)²]
= Racine[ 16/9 + (-8/3)² + (4/3)²]
= Racine[ 16/9 + 64/9 + 16/9] = Racine[96/9] = 4*Racine(6)/3
Donc, cette affirmation est fausse!


6. Je cherche l'équation paramétrique de (DH) pour commencer.
(DH) est orthogonale à P et passe par H'. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (DH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (DH) à partir des coordonnées du point D et des coordonnées de n.
On sait que DH est colinéaire à n la normale à notre plan P.
On peut donc dire que tous points M(x;y;z) de la droite (DH) est tels que DM=t*n.
Je les prends où les coordonnées de n?


7. On a vu à la question 5 que le projeté orthogonal de C sur le plan P avait pour coordonnées (-4/3;2/3;5/3) donc cette affirmation est juste.
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MessageSujet: Re: Exercices avec plans et autres   Ven 22 Mai - 22:14

Comment avons-nous à la question 5) ?

Les coodonnées d'un vecteur normale à un plan dont on connaît l'équation "se lisent sur l'équation du plan".

Un plan a pour équation a*x+b*y+c*z+d=0.
Un vecteur normal à ce plan à pour coordonnées: (a;b;c).

Je te laisse relire la preuve de ceux-ci dans les message précédent, il fautp rendre un point du plan qu'on connaît A, et un vecteur normal n(a;b;c) au plan et on sait que tout point M du plan est tel que AM.n=0. Et en faisant le calcul, on retrouve bien comme coefficient devant x, y et z les coordonnées du vecteur normal.

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MrTheYo



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MessageSujet: Re: Exercices avec plans et autres   Ven 22 Mai - 22:28

Citation :
Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.
Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5)
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!


5.
Citation :
a distance d'un point à une droite est égale à la distance du point jusqu'au projeté orthogonale de ce point sur le plan.

Soit H le projeté orthogonal de C sur le plan P. Je cherche à calculer la distance CH.
--> Je dois calculer les coordonnées (xH;yH;zH) de notre point H sachant que :
- H appartient au plan P : ses coordonnées vérifient l'équation du plan P.
- On sait que H appartient à la droite (CH) : ses coordonnées vérifient l'équation paramétrique de la droite (CH).

Je cherche l'équation paramétrique de (CH) :
(CH) est orthogonale à P et passe par C. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (CH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (CH) à partir des coordonnées du point C et des coordonnées de n.

Citation :
Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.
Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5)
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!


5.
Citation :
La distance d'un point à une droite est égale à la distance du point jusqu'au projeté orthogonale de ce point sur le plan.

Soit H le projeté orthogonal de C sur le plan P. Je cherche à calculer la distance CH.
--> Je dois calculer les coordonnées (xH;yH;zH) de notre point H sachant que :
- H appartient au plan P : ses coordonnées vérifient l'équation du plan P.
- On sait que H appartient à la droite (CH) : ses coordonnées vérifient l'équation paramétrique de la droite (CH).

Je cherche l'équation paramétrique de (CH) :
(CH) est orthogonale à P et passe par C. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (CH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (CH) à partir des coordonnées du point C et des coordonnées de n.

On sait que CH est colinéaire à n la normale à notre plan P.
On peut donc dire que tous points M(x;y;z) de la droite (CH) est tels que CM=t*n.
avec n(1;-2;1) et CM(x;y+2;z-3) donc :
x = 1*t
y + 2 = -2*t
z - 3 = 1*t
Donc :
x=0+1*t
y=-2+(-2)*t
z=3+1*t
avec :
xH-2yH+zH+1=0
t - 2(-2-2t) + (3+t) +1 = 0
t + 4 + 4t + 3 + t + 1 = 0
6t + 8 = 0
6t = -8
t = -8/6
DONC :
x= -8/6
y=-2+(-2)*(-8/6) = -2 + 16/6 = -12/6 + 16/6 = 4/6 = 2/3
z=3+1*t = 3 -8/6 = 18/6 - 8/6 = 10/6 = 5/3

Je peux maintenant calculer la distance HC :
HC = Racine[ (xC-xH)² + (yC-yH)² + (zC-zH
= Racine[ (0 + 8/6)² + (-2 -2/3)² + (3-5/3)²]
= Racine[ (64/36) + (-6/3 -2/3)² + (9/3 -5/3)²]
= Racine[ 16/9 + (-8/3)² + (4/3)²]
= Racine[ 16/9 + 64/9 + 16/9] = Racine[96/9] = 4*Racine(6)/3
Donc, cette affirmation est fausse!


6. Je cherche l'équation paramétrique de (DH) pour commencer.
(DH) est orthogonale à P et passe par H'. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (DH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (DH) à partir des coordonnées du point D et des coordonnées de n.
On sait que DH est colinéaire à n la normale à notre plan P.
On peut donc dire que tous points M(x;y;z) de la droite (DH) est tels que DM=t*n.
Citation :
Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.
Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5)
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!


5.
Citation :
a distance d'un point à une droite est égale à la distance du point jusqu'au projeté orthogonale de ce point sur le plan.

Soit H le projeté orthogonal de C sur le plan P. Je cherche à calculer la distance CH.
--> Je dois calculer les coordonnées (xH;yH;zH) de notre point H sachant que :
- H appartient au plan P : ses coordonnées vérifient l'équation du plan P.
- On sait que H appartient à la droite (CH) : ses coordonnées vérifient l'équation paramétrique de la droite (CH).

Je cherche l'équation paramétrique de (CH) :
(CH) est orthogonale à P et passe par C. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (CH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (CH) à partir des coordonnées du point C et des coordonnées de n.

Citation :
Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.
Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5)
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!


5.
Citation :
La distance d'un point à une droite est égale à la distance du point jusqu'au projeté orthogonale de ce point sur le plan.

Soit H le projeté orthogonal de C sur le plan P. Je cherche à calculer la distance CH.
--> Je dois calculer les coordonnées (xH;yH;zH) de notre point H sachant que :
- H appartient au plan P : ses coordonnées vérifient l'équation du plan P.
- On sait que H appartient à la droite (CH) : ses coordonnées vérifient l'équation paramétrique de la droite (CH).

Je cherche l'équation paramétrique de (CH) :
(CH) est orthogonale à P et passe par C. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (CH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (CH) à partir des coordonnées du point C et des coordonnées de n.

On sait que CH est colinéaire à n la normale à notre plan P.
On peut donc dire que tous points M(x;y;z) de la droite (CH) est tels que CM=t*n.
avec n(1;-2;1) et CM(x;y+2;z-3) donc :
x = 1*t
y + 2 = -2*t
z - 3 = 1*t
Donc :
x=0+1*t
y=-2+(-2)*t
z=3+1*t
avec :
xH-2yH+zH+1=0
t - 2(-2-2t) + (3+t) +1 = 0
t + 4 + 4t + 3 + t + 1 = 0
6t + 8 = 0
6t = -8
t = -8/6
DONC :
x= -8/6
y=-2+(-2)*(-8/6) = -2 + 16/6 = -12/6 + 16/6 = 4/6 = 2/3
z=3+1*t = 3 -8/6 = 18/6 - 8/6 = 10/6 = 5/3

Je peux maintenant calculer la distance HC :
HC = Racine[ (xC-xH)² + (yC-yH)² + (zC-zH
= Racine[ (0 + 8/6)² + (-2 -2/3)² + (3-5/3)²]
= Racine[ (64/36) + (-6/3 -2/3)² + (9/3 -5/3)²]
= Racine[ 16/9 + (-8/3)² + (4/3)²]
= Racine[ 16/9 + 64/9 + 16/9] = Racine[96/9] = 4*Racine(6)/3
Donc, cette affirmation est fausse!


6. Je cherche l'équation paramétrique de (DH) pour commencer.
(DH) est orthogonale à P et passe par H'. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (DH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (DH) à partir des coordonnées du point D et des coordonnées de n.
On sait que DH est colinéaire à n la normale à notre plan P.
On peut donc dire que tous points M(x;y;z) de la droite (DH) est tels que DM=t*n.
De plus, DM.n=0
Je calcule les coordonnées de DM(x-1;y-1;z+2).
Je bloque..


7. On a vu à la question 5 que le projeté orthogonal de C sur le plan P avait pour coordonnées (-4/3;2/3;5/3) donc cette affirmation est juste.


7. On a vu à la question 5 que le projeté orthogonal de C sur le plan P avait pour coordonnées (-4/3;2/3;5/3) donc cette affirmation est juste.
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Exercices avec plans et autres   Ven 22 Mai - 22:45

Citation :
Soit P le plan d'équation x -2y + z + 1 = 0.

Par conséquent, une normale à P à pour coordonnées (1;-2;1) tout simplement. Comme la question 5) c'est le mêem plan P Smile.

Je te laisse reprendre tes calculs pour trouver l'équation paramétrique de la droite orthogonale à P passange par D et résoudre le système pour trouver le point d'intersection de cette droite avec le plan P.

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MessageSujet: Re: Exercices avec plans et autres   Ven 22 Mai - 23:02

1.
Citation :
Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.
Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5)
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!


5.
Citation :
La distance d'un point à une droite est égale à la distance du point jusqu'au projeté orthogonale de ce point sur le plan.

Soit H le projeté orthogonal de C sur le plan P. Je cherche à calculer la distance CH.
--> Je dois calculer les coordonnées (xH;yH;zH) de notre point H sachant que :
- H appartient au plan P : ses coordonnées vérifient l'équation du plan P.
- On sait que H appartient à la droite (CH) : ses coordonnées vérifient l'équation paramétrique de la droite (CH).

Je cherche l'équation paramétrique de (CH) :
(CH) est orthogonale à P et passe par C. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (CH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (CH) à partir des coordonnées du point C et des coordonnées de n.

On sait que CH est colinéaire à n la normale à notre plan P.
On peut donc dire que tous points M(x;y;z) de la droite (CH) est tels que CM=t*n.
avec n(1;-2;1) et CM(x;y+2;z-3) donc :
x = 1*t
y + 2 = -2*t
z - 3 = 1*t
Donc :
x=0+1*t
y=-2+(-2)*t
z=3+1*t
avec :
xH-2yH+zH+1=0
t - 2(-2-2t) + (3+t) +1 = 0
t + 4 + 4t + 3 + t + 1 = 0
6t + 8 = 0
6t = -8
t = -8/6
DONC :
x= -8/6
y=-2+(-2)*(-8/6) = -2 + 16/6 = -12/6 + 16/6 = 4/6 = 2/3
z=3+1*t = 3 -8/6 = 18/6 - 8/6 = 10/6 = 5/3

Je peux maintenant calculer la distance HC :
HC = Racine[ (xC-xH)² + (yC-yH)² + (zC-zH
= Racine[ (0 + 8/6)² + (-2 -2/3)² + (3-5/3)²]
= Racine[ (64/36) + (-6/3 -2/3)² + (9/3 -5/3)²]
= Racine[ 16/9 + (-8/3)² + (4/3)²]
= Racine[ 16/9 + 64/9 + 16/9] = Racine[96/9] = 4*Racine(6)/3
Donc, cette affirmation est fausse!

6. Je cherche l'équation paramétrique de (DH) pour commencer.
(DH) est orthogonale à P et passe par H'. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (DH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (DH) à partir des coordonnées du point D et des coordonnées de n.
On sait que DH est colinéaire à n la normale à notre plan P.
On peut donc dire que tous points M(x;y;z) de la droite (DH) est tels que DM=t*n.
De plus, DM.n=0
Je calcule les coordonnées de DM(x-1;y-1;z+2).
et avec P le plan d'équation x -2y + z + 1 = 0 --> n(1;-2;1) (Cf. question 5).


7. On a vu à la question 5 que le projeté orthogonal de C sur le plan P avait pour coordonnées (-4/3;2/3;5/3) donc cette affirmation est juste.



Je continuerais ça demain là, je suis plus dedans...
Merci en tout cas!
A demain!
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MessageSujet: Re: Exercices avec plans et autres   Sam 23 Mai - 11:59

Bonjour,

J'ai modifié ton dernier message car il y avais 4 fois le même copier-coller à l'intérieur (de la question 1 à la question 4). Je ne sais pas à quoi celà est dû, mais si tu as IE8, mets-toi en affichage de compatibilité car sinon les long messages ont tendance à buguer à première vu.

Pour la quesiton 6), on a donc n et DM, on va donc pouvoir déterminer l'équation paramétrique de la droite perpendiculaire à P passant par P. Ensuite, il nous restera à résoudre le système pour trouver les coordonnées du point d'intersection entre P et cette droite.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercices avec plans et autres   Sam 23 Mai - 12:15

Mince... Pourtant j'ai le dernier Firefox mais bon, lui aussi il est bien bugué. Sur le coup là, ils ont un peu foiré...

Reprenons :

1.
Citation :
Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.
Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5)
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!


5.
Citation :
La distance d'un point à une droite est égale à la distance du point jusqu'au projeté orthogonale de ce point sur le plan.

Soit H le projeté orthogonal de C sur le plan P. Je cherche à calculer la distance CH.
--> Je dois calculer les coordonnées (xH;yH;zH) de notre point H sachant que :
- H appartient au plan P : ses coordonnées vérifient l'équation du plan P.
- On sait que H appartient à la droite (CH) : ses coordonnées vérifient l'équation paramétrique de la droite (CH).

Je cherche l'équation paramétrique de (CH) :
(CH) est orthogonale à P et passe par C. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (CH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (CH) à partir des coordonnées du point C et des coordonnées de n.

On sait que CH est colinéaire à n la normale à notre plan P.
On peut donc dire que tous points M(x;y;z) de la droite (CH) est tels que CM=t*n.
avec n(1;-2;1) et CM(x;y+2;z-3) donc :
x = 1*t
y + 2 = -2*t
z - 3 = 1*t
Donc :
x=0+1*t
y=-2+(-2)*t
z=3+1*t
avec :
xH-2yH+zH+1=0
t - 2(-2-2t) + (3+t) +1 = 0
t + 4 + 4t + 3 + t + 1 = 0
6t + 8 = 0
6t = -8
t = -8/6
DONC :
x= -8/6
y=-2+(-2)*(-8/6) = -2 + 16/6 = -12/6 + 16/6 = 4/6 = 2/3
z=3+1*t = 3 -8/6 = 18/6 - 8/6 = 10/6 = 5/3

Je peux maintenant calculer la distance HC :
HC = Racine[ (xC-xH)² + (yC-yH)² + (zC-zH
= Racine[ (0 + 8/6)² + (-2 -2/3)² + (3-5/3)²]
= Racine[ (64/36) + (-6/3 -2/3)² + (9/3 -5/3)²]
= Racine[ 16/9 + (-8/3)² + (4/3)²]
= Racine[ 16/9 + 64/9 + 16/9] = Racine[96/9] = 4*Racine(6)/3
Donc, cette affirmation est fausse!

6. Je cherche l'équation paramétrique de (DH) pour commencer.
(DH) est orthogonale à P et passe par H'. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (DH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (DH) à partir des coordonnées du point D et des coordonnées de n.
On sait que DH est colinéaire à n la normale à notre plan P.
On peut donc dire que tous points M(x;y;z) de la droite (DH) est tels que DM=t*n.
De plus, DM.n=0
Je calcule les coordonnées de DM(x-1;y-1;z+2).
et avec P le plan d'équation x -2y + z + 1 = 0 --> n(1;-2;1) (Cf. question 5).

Je prends les coordonnées de DM dans lesquelles je remplace par celles de n?

7. On a vu à la question 5 que le projeté orthogonal de C sur le plan P avait pour coordonnées (-4/3;2/3;5/3) donc cette affirmation est juste.
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MessageSujet: Re: Exercices avec plans et autres   Sam 23 Mai - 13:32

Mais non!

Regarde ce que tu écris:

Citation :
On sait que DH est colinéaire à n la normale à notre plan P.
On peut donc dire que tous points M(x;y;z) de la droite (DH) est tels que DM=t*n

On cherche l'équation paramétrique de la droite dirigée par n passant par D, il nous suffit donc d'exprimer l'égalité DM=t*n pour chaque coordonnées et nous auront notre équation paramétrique.

Regarde la démarche utilisé dans le 5), si tu ne la comprend pas dit le moi car savoir trouver une équation paramétrique d'une droite est vraiment primordiale (comme tu le constates sur trois exercices différents).

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercices avec plans et autres   Sam 23 Mai - 14:06

Donc :
DM(x-1;y-1;z+2).
n(1;-2;1)

x-1 = t*1 --> x - 1 = t
y-1 = -2 * t --> y - 1 = -2t
z +2 = 1 *t --> z + 2 = t
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MessageSujet: Re: Exercices avec plans et autres   Sam 23 Mai - 16:20

Nickel !!!

Maintenant, il ne reste plus qu'à faire l'intersection de cette droite avec le plan P pour déterminer les coordonnées de H.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercices avec plans et autres   Sam 23 Mai - 18:05

Donc :
DM(x-1;y-1;z+2).
n(1;-2;1)

x-1 = t*1 --> x - 1 = t
y-1 = -2 * t --> y - 1 = -2t
z +2 = 1 *t --> z + 2 = t

On a P d'équation x-2y+z+1 = 0
(t+1) -2(-2t+1) + (t-2) + 1 = 0
t + 1 + 4t -2 +t -2 + 1 = 0
6t = 2
t = 2/6 = 1/3
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MessageSujet: Re: Exercices avec plans et autres   Sam 23 Mai - 18:08

En effet, ce qui nous permet donc de déterminer les coordonnées de H.

Il nous restera plus après qu'à savoir si H appartient à la sphère ou pas pour savoir s'il y a bien tangence du plan et de la sphère.

Bon courage pour la finalisation!

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MessageSujet: Re: Exercices avec plans et autres   Sam 23 Mai - 18:57

Donc :
DM(x-1;y-1;z+2).
n(1;-2;1)

x-1 = t*1 --> x - 1 = t
y-1 = -2 * t --> y - 1 = -2t
z +2 = 1 *t --> z + 2 = t

On a P d'équation x-2y+z+1 = 0
(t+1) -2(-2t+1) + (t-2) + 1 = 0
t + 1 + 4t -2 +t -2 + 1 = 0
6t = 2
t = 2/6 = 1/3

Je peux désormais calculer les coordonnées de H :
x = t +1 = 1/3 + 3/3 = 4/3
y = -2t + 1 = -2(1/3) +1 = -2/3 + 3/3 = 1/3
z = t - 2 = 1/3 - 6/3 = -5/3
Donc H(4/3;1/3;-5/3)
Je regarde maintenant si H appartient à la sphère :
J'ai besoin de son équation non?
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MessageSujet: Re: Exercices avec plans et autres   Sam 23 Mai - 19:22

En effet, nous avons besoin de son équation.

Mais quelle est l'équation d'une sphère de centre D et de rayon Racine(6)/3 ? (C'est la même chose qu'un cercle en dimention 2 sauf qu'il y a une coordonnée de plus).

Un autre moyen de savoir si H est sur la sphère serait de calculer la distance DH tout simplement (ce qui revient au même d'ailleurs mais c'était pour faire des révision sur l'équation d'un cercle).

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercices avec plans et autres   Sam 23 Mai - 19:25

Un cercle a pour équation x² +y² = 0 non?
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MessageSujet: Re: Exercices avec plans et autres   Sam 23 Mai - 19:32

Ha non, jen e pense pas !

x²+y²=0 a une unique solution dans R qui est le couple (0;0). En effet c'est l'équation d'un cercle de centre 0 et de rayon r=0.

Un cercle en dimension 2 de centre D et de rayon r, s'exprime en écrivant le fait que tout point M du cercle est tel que: DM²=r²

c'est à dire (x-xD)²+(y-yD)²=r²


Dans l'espace une sphère de centre D et de rayon r se caractérise de la même façon c'est à dire que tout point M de la sphère est tel que DM=r² ce qui s'écrit:

(x-xD)²+(y-yD)²+(z-zD)²=r²


C'est très simple à retrouver, il suffit de se souvenir qu'un point d'un cerlce en dimension deux ou d'une sphère en dimension 3 est caractérisé par sa distance au centre du cercle ou de la sphère tout simplement.

Don courage pour finaliser cette question!

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MessageSujet: Re: Exercices avec plans et autres   Sam 23 Mai - 19:38

Donc :
DM(x-1;y-1;z+2).
n(1;-2;1)

x-1 = t*1 --> x - 1 = t
y-1 = -2 * t --> y - 1 = -2t
z +2 = 1 *t --> z + 2 = t

On a P d'équation x-2y+z+1 = 0
(t+1) -2(-2t+1) + (t-2) + 1 = 0
t + 1 + 4t -2 +t -2 + 1 = 0
6t = 2
t = 2/6 = 1/3

Je peux désormais calculer les coordonnées de H :
x = t +1 = 1/3 + 3/3 = 4/3
y = -2t + 1 = -2(1/3) +1 = -2/3 + 3/3 = 1/3
z = t - 2 = 1/3 - 6/3 = -5/3
Donc H(4/3;1/3;-5/3)
Je regarde maintenant si H appartient à la sphère :
(x-xD)²+(y-yD)²+(z-zD)²=(Racine(6)/3)²
est l'équation de la sphère de centre D et de rayon Racine(6)/3.
DONC :
(x-1)²+(y-1)²+(z+2)²=6/9=2/3
DONC:
(4/3 - 3/3)² + (1/3 -3/3)² + (-5/3 + 6/3)² = 1/9 + -4/9 +1/9 = -2/9
J'ai dû me planter...
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MessageSujet: Re: Exercices avec plans et autres   Sam 23 Mai - 19:42

Citation :
-4/9

Un carré négatif Wink. Hmmm j'ai un doute poru le coup à moins que tu travailles en complexe mais je n'avaisp as remarqué Wink.

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MessageSujet: Re: Exercices avec plans et autres   Sam 23 Mai - 19:52

Donc :
DM(x-1;y-1;z+2).
n(1;-2;1)

x-1 = t*1 --> x - 1 = t
y-1 = -2 * t --> y - 1 = -2t
z +2 = 1 *t --> z + 2 = t

On a P d'équation x-2y+z+1 = 0
(t+1) -2(-2t+1) + (t-2) + 1 = 0
t + 1 + 4t -2 +t -2 + 1 = 0
6t = 2
t = 2/6 = 1/3

Je peux désormais calculer les coordonnées de H :
x = t +1 = 1/3 + 3/3 = 4/3
y = -2t + 1 = -2(1/3) +1 = -2/3 + 3/3 = 1/3
z = t - 2 = 1/3 - 6/3 = -5/3
Donc H(4/3;1/3;-5/3)
Je regarde maintenant si H appartient à la sphère :
(x-xD)²+(y-yD)²+(z-zD)²=(Racine(6)/3)²
est l'équation de la sphère de centre D et de rayon Racine(6)/3.
DONC :
(x-1)²+(y-1)²+(z+2)²=6/9=2/3
DONC:
(4/3 - 3/3)² + (1/3 -3/3)² + (-5/3 + 6/3)² = 1/9 + 4/9 +1/9 = 6/9 =2/3
Donc l'affirmation est juste!!!!!!!
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MessageSujet: Re: Exercices avec plans et autres   Sam 23 Mai - 20:04

Et bien, il n'y a plus grand chose à dire j'ai l'impression Smile. Tout est fini pour cette exercice.

Une simple remarque la question 7) est faisable en regardant la colinéarité entre CE et le vecteur normal à P puis en vérifiant que E appartient bien au plan P. C'est un moyen de vérification et non constructif mais bon cela peut aussi servir au cas où car c'estp lus direct à faire.

Au niveau des thèmes abordés par celui-ci au vu des révisions, on retrouve quasiment dans l'ordre:

- Définition d'un plan par trois point non alignés (et caractérisation d'un plan d'une manière générale)
- Les possibilités d'intersection entre une droite et un plan (confondus, parallèles ou sécants)
- L'unicité d'un plan passant par trois points non alignés
- Equation cartésienne d'un plan
- Caractérisation de l'orthogonalité de deux droites dans l'espace
- Notion de produit scalaire dans un repère orthonormé
- Définition du vecteur normal à un plan à partir de son équation cartésienne
- Équation paramétrique d'une droite dans l'espace à parti d'un vecteur directeur et d'un point
- Distance d'un point à un plan
- Équation d'une sphère dans l'espace définie par son centre et son rayon
- Notion de colinéarité dans l'espace

Une joli plage de révision quand même.

Bon courage pour la suite!

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MrTheYo



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MessageSujet: Re: Exercices avec plans et autres   Sam 23 Mai - 20:12

Je récapitule :

1.
Citation :
Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.
Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bel et bien un plan.


2. --> Il existe une unique droite passant par deux points. Donc si A et C appartiennent tous les deux au plan P, alors la droite (AC) sera contenue dans le plan P.

Je dois donc voir si les points A et C appartiennent au plan P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .
Donc A appartient au plan P

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, vu que C n'appartient pas au plan P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. --> Si A, B et D définissent un unique plan (ABD) et que les coordonnées des trois points vérifient l'équation qu'on nous propose alors elle sera bien l'équation du plan (ABD).

Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si les trois points A, B et D sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
Par conséquent, A, B et D définissent un unique plan (ABD).

Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. --> Deux droites sont orthogonale si et seulement si le produit scalaire d'un de leur vecteur directeur est nul.

J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5) (qui sont respectivement des vecteurs directeurs de (AB) et de (CD) )
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!


5.
Citation :
La distance d'un point à un plan est égale à la distance du point jusqu'au projeté orthogonal de ce point sur le plan.

Soit H le projeté orthogonal de C sur le plan P. Je cherche à calculer la distance CH.
--> Je dois calculer les coordonnées (xH;yH;zH) de notre point H sachant que :
- H appartient au plan P : ses coordonnées vérifient l'équation du plan P.
- On sait que H appartient à la droite (CH) : ses coordonnées vérifient l'équation paramétrique de la droite (CH).

Je cherche l'équation paramétrique de (CH) :
(CH) est orthogonale au plan P et passe par C. Vu qu'elle est orthogonale au plan P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (CH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (CH) à partir des coordonnées du point C et des coordonnées de n.

On sait que CH est colinéaire à n la normale à notre plan P.
On peut donc dire que tous points M(x;y;z) de la droite (CH) est tels que CM=t*n.
avec n(1;-2;1) et CM(x;y+2;z-3) donc :
{x = 1*t
{y + 2 = -2*t
{z - 3 = 1*t

Donc :
{x=0+1*t
{y=-2+(-2)*t
{z=3+1*t
avec :
xH-2yH+zH+1=0
t - 2(-2-2t) + (3+t) +1 = 0
t + 4 + 4t + 3 + t + 1 = 0
6t + 8 = 0
6t = -8
t = -4/3
DONC :
x= -4/3
y=-2+(-2)*(-8/6) = -2 + 16/6 = -12/6 + 16/6 = 4/6 = 2/3
z=3+1*t = 3 -8/6 = 18/6 - 8/6 = 10/6 = 5/3

Je peux maintenant calculer la distance HC :
HC = Racine[ (xC-xH)² + (yC-yH)² + (zC-zH)² ]
= Racine[ (0 + 8/6)² + (-2 -2/3)² + (3-5/3)²]
= Racine[ (64/36) + (-6/3 -2/3)² + (9/3 -5/3)²]
= Racine[ 16/9 + (-8/3)² + (4/3)²]
= Racine[ 16/9 + 64/9 + 16/9] = Racine[96/9] = 4*Racine(6)/3
Donc, cette affirmation est fausse!

6. --> Je considère H' le projeté de D sur le plan P. Le but est de savoir si H' est sur la sphère ou pas.

Je cherche l'équation paramétrique de (DH') pour commencer.
(DH') est orthogonale au plan P et passe par H'. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal au plan P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (DH').
Je peux maintenant trouver l'équation de (DH') à partir des coordonnées du point D et des coordonnées de n.
On sait que DH' est colinéaire à n la normale à notre plan P.
On peut donc dire que tous points M(x;y;z) de la droite (DH') est tels que DM=t*n.

Je calcule les coordonnées de DM(x-1;y-1;z+2).
et avec P le plan d'équation x -2y + z + 1 = 0 --> n(1;-2;1) (Cf. question 5).

Donc :
DM(x-1;y-1;z+2).
n(1;-2;1)

{x-1 = t*1 --> x - 1 = t
{y-1 = -2 * t --> y - 1 = -2t
{z +2 = 1 *t --> z + 2 = t

On a P d'équation x-2y+z+1 = 0
(t+1) -2(-2t+1) + (t-2) + 1 = 0
t + 1 + 4t -2 +t -2 + 1 = 0
6t = 2
t = 2/6 = 1/3

Je peux désormais calculer les coordonnées de H' :
x = t +1 = 1/3 + 3/3 = 4/3
y = -2t + 1 = -2(1/3) +1 = -2/3 + 3/3 = 1/3
z = t - 2 = 1/3 - 6/3 = -5/3
Donc H'(4/3;1/3;-5/3)
Je regarde maintenant si H' appartient à la sphère de centre D et de rayon RAcine(6)/3 d'équation:
(x-xD)²+(y-yD)²+(z-zD)²=(Racine(6)/3)²

DONC :
(x-1)²+(y-1)²+(z+2)²=6/9=2/3
DONC:
(4/3 - 3/3)² + (1/3 -3/3)² + (-5/3 + 6/3)² = 1/9 + 4/9 +1/9 = 6/9 =2/3
Donc l'affirmation est juste!!!!!!!


7. D'après la question 5), E est bien le projeté orthogonal de C sur le plan P.

Merci pour tout!
Heureux d'avoir compris les mécanismes
Very Happy
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MessageSujet: Re: Exercices avec plans et autres   Aujourd'hui à 16:33

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