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 Vecteurs dans l'espace

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MrTheYo



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MessageSujet: Vecteurs dans l''espace   Jeu 21 Mai - 15:13

Salut!
Voici un autre exercice que je dois faire avec des vecteurs dans l'espace et, c'est pas vraiment ma spécialité... j'ai tenté quelques trucs mais, non sans mal donc, sur le coup là je suis à la ramasse. J'aurais donc besoin d'un coup de main svp.

Voici l'énoncé :
--------------------------------------------------

Soit le cube ABCDEFGH dans l'espace.



1. Démontrer que la droite (AG) est orthogonale aux plans (EDB) et (HFC) sans utiliser de repère.
2. On définit le repère (a;AB;AD;AE).
Déterminer une équation des plans (EDB) et (HFC).
3. Prouver que deux plans sont parallèles.
4. Déterminer les coordonnées de l'isobarycentre de E,D,B.
Prouver que ce point est sur la droite (AG), quelle est sa position sur [AG]?
On admettra que l'isobarycentre de F, H, C est aussi sur (AG).
5. Montrer que la droite (AG) est orthogonale aux deux plans (EDB) et (FHC).
--------------------------------------------------

Voici mes réponses :

1. Pour démontrer qu'une droite et un plan sont orthogonaux, je dois démontrer que la droite (AG) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (EDB) puis, du plan (HFC).
Mais là, je ne sais pas comment faire...


2. Bon... Ici, j'ai tenté d'introduire un vecteur normal selon la méthode de mon cahier de cours mais, ya un petit problème sur les coordonnées du vecteur n : je ne sais pas quoi prendre donc, j'ai pris au hasard :
Soit M(x;y;z) appartient à (EDB).
M appartient à (EDB) <--> Vecteur(AM) perpendiculaire à Vecteur(n)
<--> Vecteur(AM) . Vecteur(n) = 0

Si Vecteur(n) (1;2;3) } Vecteur(AM)(x;y;z)
Si A(0;0;0) } Vecteur(n) (1;2;3)
<--> x + 2y + 3z = 0
C'est pas ça je pense....


3. J'ai trouvé ça :
"Deux plans sont parallèles si et seulement si les quatre vecteurs directeurs sont coplanaires. Dans un espace de dimension trois, deux plans sont ou bien parallèles (sans points commun ou confondus) ou bien sécants suivant une droite."
Les 4 vecteurs directeurs?

4. Je sais le calculer dans deux dimensions :
G = (mEzE + mDzD + mBzB / (mA+mB + mC) mais en 3 dimensions j'ai jamais vu...


Déjà sur ces questions, je bloque pas mal...
Des explications sont donc les bienvenues.
Merci d'avance.
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Jeu 21 Mai - 15:56

On continue sur la géométrie dans l'espace!

Cela faisait vraiment longtemps que j'en avais pas fait et il m'a donc fallu un petit temps pour retrouver une démonstration à la première question qui me laissait plutôt sec à la première lecture.

Alors comme tu le dis, on va partir de la définition:

Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à deux sécantes de ce plan.

Bon et bien allons-y que pouvons-nous utiliser?

Le plus simple à se dire, c'est qu'il n'y a pas trente six moyens de montrer que deux droite sont perpendiculaires:

-Soit il y a un argument de géométrie dû directement aux propriétés de la figure
-Soit on utilise que deux droites perpendiculaires ont un produit scalaire nul

A première vu (et même à deuxième), je ne vois pas comment conclure par des considération géométrique de façon directe. Par conséquent, il va falloir calculer des produit scalaire. Comment?

- A l'aide de coordonnée dans un repère orthonormé
- A l'aide de relation de Chasle avec des considération géométrique

On nous impose de travailler sans repère (vu que c'est la deuxième partie qui va exploiter le filon). Par conséquent, il va falloir y aller directement de façon géométrique.

Bon maintenant, le cadre est posé, il faut mettre les mains dans le cambouis pour continuer.
Pour la droite (AG), on va considérer le vecteur AG. Il ne sert à rien d'aller chercher très loin.
Pour les deux sécantes de notre plan (ABD), on pourrait prendre des vecteurs compliqués mais pourquoi ne pas faire simple? Prendre ED, EB ou DB tout simplement. Il faut en choisir deux sur les trois cela suffit d'après notre définition.

Et puis, il nous reste à calculer le produit scalaire des ses deux vecteurs avec AG en espérant trouver 0 grâce aux propriétés de la figure.

Je te laisse continuer la réflexion pour le moment, n'oublie que nous allons utiliser la relation de Chasles sur le vecteur AG car un vecteur qui traverse une figure n'est pas très pratique pour utiliser des propriétés de celle-ci. Est-ce quel e raisonnement est plus clair et te paraît intuitif?

Bon courage!

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MrTheYo



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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Jeu 21 Mai - 16:26

1.
Citation :
Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à deux sécantes de ce plan.
Je vais employer ici la relation de Chasles.
Je vais considérer le vecteur AG pour la droite (AG) et les vecteurs BD et EB pour le plan (EBD).
Je calcule maintenant le produit scalaire suivant :

AG.BD = (AB+BC + CG) . (BA+AD)
= AB.BA + AB.AD + BC.BA + BC.AD + CG.BA + BA.AD
= -1 + 0 + 0 + BC.AD + 0 + 0 = -1 + BC.AD = -1 + 1 = 0
Donc, AG et BD sont orthogonaux.

AG.EB = (AB+BC + CG) . (EA + AB)
= AB.EA + AB.AB + BC.EA + BC.AB + CG.EA + CG.AB
= 0 + 1 + 0 + 0 -1 + 0 = 1 -1 = 0
Donc, AG et EB sont orthogonaux.

Donc, selon la définition, (AG) est perpendiculaire au plan (EBD).

Very Happy Very Happy Very Happy
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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Jeu 21 Mai - 16:37

Attention à la rigueur!!!

AB.BA=-AB² (qui a dit que le cube était de côté 1?)

Bon toutes les mesures sont égales car c'est un cube mais attention à ne pas écrire 1 out de même. A la rigueur tu annonce au début de ton exercice, je pose AB=a pour simplifier l'écriture et tu utilises l'égalité des arètes mais attention à ne pas faire des raccourcies trop rapides Wink.

Bon après au niveau de la rédaction, je ne sais jamais quand on détail trop ou pas assez. Tu va me dire que tout se voit sur le dessin. Mais peut-être mettre les égalité entre les vecteur lorsque tu les utilises comme par exemple AD=BC donxc AD.BC=a² ça mange pas de apin del e mettre après tout. Pour les perpendiculaire, je pense que c'est évident donc bon, ne rien marqué ne gênerait sans doute pas car on voit que tu as compris le principe. C'est toujours difficile de savoir où s'arrêter mais bon en mettre plus du mometn que c'est juste ne te pénalisera pas au cas où (mais il faut que ça soit juste) mais c'est vrai qu'ici ça peut suffir car la question est pas simple ne elle même donc rien que d'avoir trouvé la démarche rendral e correcteur assez laxiste sur toutes les justifications je pense mais bon il faut tout de mêem être rigoureux.

Bon je te laisse faire de même pour l'autre plan vu que la question n'est pas finie Wink.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Jeu 21 Mai - 17:03

1. Je pose AB = a
Citation :
Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à deux sécantes de ce plan.
Je vais employer ici la relation de Chasles.
Je vais considérer le vecteur AG pour la droite (AG) et les vecteurs BD et EB pour le plan (EBD).
Je calcule maintenant les produit scalaires suivants :

AG.BD = (AB+BC + CG) . (BA+AD)
= AB.BA + AB.AD + BC.BA + BC.AD + CG.BA + BA.AD
= -AB² + AB.BC + 0 + BC.AD + CG.GH + BA.AD
= -a² + 0 + 0 + BC.AD + 0 + 0 = -a² + AB² = -a² + a² = 0
Donc, AG et BD sont orthogonaux.

AG.EB = (AB+BC + CG) . (EA + AB)
= AB.EA + AB.AB + BC.EA + BC.AB + CG.EA + CG.AB
= 0 + a² + 0 + 0 -AB² + CG.HG = a² -a² + 0 = 0
Donc, AG et EB sont orthogonaux.

Donc, selon la définition, (AG) est perpendiculaire au plan (EBD).


--> Je réitère cette méthode pour démontrer que (AG) est également perpendiculaire au plan (HFC) :
Je vais considérer le vecteur AG pour la droite (AG) et les vecteurs HF et FC pour le plan (HFC)
Je calcule maintenant les produit scalaires suivants :

AG.HF = (AB+BC + CG) . (HG.GF)
= AB.HG + AB.GF + BC.HG + BC.GF + CG.HG + CG.GF
= AB.AB + 0 + 0 + BC.CB + 0 + 0
= a² -a² = 0
Donc, AG et HF sont orthogonaux.

AG.FC = (AB+BC + CG) . (FG + GC)
= AB.FG + AB.GC + BC.FG + BC.GC + CG.FG + CG.GC
= 0 + 0 + BC.BC + 0 + 0 -AB² = AB² - AB² = a² - a² = 0
Donc, AG et FC sont orthogonaux.

Donc, selon la définition, (AG) est perpendiculaire au plan (EBD).

--> Au final, (AG) est perpendiculaire aux plans (EDB) et (HFC).
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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Jeu 21 Mai - 17:16

Nickel!!

Bon mainteant, si tu as compris la démarche de l'exercice, on suppose maintenant qu'on ne sait pas que (AG) est perpendiculaire aux plan (ADB) et (HFC) et on va utiliser la méthode via un repère pour le redémontrer.

Alors ta résolution del a question 2) est assez troublante car on ne sait pas d'où sort le vecteur normal au plan n, est-il normal au plan? Aucune idée. Il ne peut pas être choisi au hasard en fait car il doit être orthogonal à EB et ED par exemple.

Par contre, si tu veux utiliser cette voie là, il va falloire calculer les coordonnées de notre vecteur n(x;y;z).

Et le fait qu'il soit normal au plan (EBD) signifie qu'on a:

{n.EB=0
{n.ED=0
{n.BD=0

Trois équation à trois inconnues, il est normalement possible de trouver une solution si notre problème est bien posée.

Est-ce que tu assimiles la démarche? On ne joue pas au dé avec les coordonnées de la normal lorsque le plan est fixé il faut faire attention à rester logique.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Jeu 21 Mai - 17:28

1. Je pose AB = a
Citation :
Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à deux sécantes de ce plan.
Je vais employer ici la relation de Chasles.
Je vais considérer le vecteur AG pour la droite (AG) et les vecteurs BD et EB pour le plan (EBD).
Je calcule maintenant les produit scalaires suivants :

AG.BD = (AB+BC + CG) . (BA+AD)
= AB.BA + AB.AD + BC.BA + BC.AD + CG.BA + BA.AD
= -AB² + AB.BC + 0 + BC.AD + CG.GH + BA.AD
= -a² + 0 + 0 + BC.AD + 0 + 0 = -a² + AB² = -a² + a² = 0
Donc, AG et BD sont orthogonaux.

AG.EB = (AB+BC + CG) . (EA + AB)
= AB.EA + AB.AB + BC.EA + BC.AB + CG.EA + CG.AB
= 0 + a² + 0 + 0 -AB² + CG.HG = a² -a² + 0 = 0
Donc, AG et EB sont orthogonaux.

Donc, selon la définition, (AG) est perpendiculaire au plan (EBD).


--> Je réitère cette méthode pour démontrer que (AG) est également perpendiculaire au plan (HFC) :
Je vais considérer le vecteur AG pour la droite (AG) et les vecteurs HF et FC pour le plan (HFC)
Je calcule maintenant les produit scalaires suivants :

AG.HF = (AB+BC + CG) . (HG.GF)
= AB.HG + AB.GF + BC.HG + BC.GF + CG.HG + CG.GF
= AB.AB + 0 + 0 + BC.CB + 0 + 0
= a² -a² = 0
Donc, AG et HF sont orthogonaux.

AG.FC = (AB+BC + CG) . (FG + GC)
= AB.FG + AB.GC + BC.FG + BC.GC + CG.FG + CG.GC
= 0 + 0 + BC.BC + 0 + 0 -AB² = AB² - AB² = a² - a² = 0
Donc, AG et FC sont orthogonaux.

Donc, selon la définition, (AG) est perpendiculaire au plan (EBD).

--> Au final, (AG) est perpendiculaire aux plans (EDB) et (HFC).


2. Je vais définir un vecteur normal au plan (EDB) que je vais nommer n(x;y;z). Et le fait qu'il soit normal au plan (EBD) signifie qu'on a:

{n.EB=0
{n.ED=0
{n.BD=0

Je vais d'abord calculer les coordonnées de EB, ED, BD :
avec:
E(0;0;1) ; B(1;0;0) ; D(0;1;0) donc :
EB(1;0;-1) , ED(0;1;-1) , BD(-1;1;0) ce qui donne :

{n.(1;0;-1) = 0
{n.(0;1;-1) = 0
{n.(-1;1;0) = 0
Ca se fait pas ça je crois...
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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Jeu 21 Mai - 17:46

On le fait à la rigueur dans sa tête si on veut mais écrire des produit scalaire avec moitié vecteur moitié coorodnnées de vecteurs non c'est pas top top.

Le mieux c'est de calculer directement les produits scalaire à part et les injectés dans le système pour ainsi commencer à le résoudre. Car on connait les coordonnées de n, (x;y;z). On les cherche mais bon on peut tout de même faire des calculs avec.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Jeu 21 Mai - 18:11

1. Je pose AB = a
Citation :
Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à deux sécantes de ce plan.
Je vais employer ici la relation de Chasles.
Je vais considérer le vecteur AG pour la droite (AG) et les vecteurs BD et EB pour le plan (EBD).
Je calcule maintenant les produit scalaires suivants :

AG.BD = (AB+BC + CG) . (BA+AD)
= AB.BA + AB.AD + BC.BA + BC.AD + CG.BA + BA.AD
= -AB² + AB.BC + 0 + BC.AD + CG.GH + BA.AD
= -a² + 0 + 0 + BC.AD + 0 + 0 = -a² + AB² = -a² + a² = 0
Donc, AG et BD sont orthogonaux.

AG.EB = (AB+BC + CG) . (EA + AB)
= AB.EA + AB.AB + BC.EA + BC.AB + CG.EA + CG.AB
= 0 + a² + 0 + 0 -AB² + CG.HG = a² -a² + 0 = 0
Donc, AG et EB sont orthogonaux.

Donc, selon la définition, (AG) est perpendiculaire au plan (EBD).


--> Je réitère cette méthode pour démontrer que (AG) est également perpendiculaire au plan (HFC) :
Je vais considérer le vecteur AG pour la droite (AG) et les vecteurs HF et FC pour le plan (HFC)
Je calcule maintenant les produit scalaires suivants :

AG.HF = (AB+BC + CG) . (HG.GF)
= AB.HG + AB.GF + BC.HG + BC.GF + CG.HG + CG.GF
= AB.AB + 0 + 0 + BC.CB + 0 + 0
= a² -a² = 0
Donc, AG et HF sont orthogonaux.

AG.FC = (AB+BC + CG) . (FG + GC)
= AB.FG + AB.GC + BC.FG + BC.GC + CG.FG + CG.GC
= 0 + 0 + BC.BC + 0 + 0 -AB² = AB² - AB² = a² - a² = 0
Donc, AG et FC sont orthogonaux.

Donc, selon la définition, (AG) est perpendiculaire au plan (EBD).

--> Au final, (AG) est perpendiculaire aux plans (EDB) et (HFC).


2. Je vais définir un vecteur normal au plan (EDB) que je vais nommer n(x;y;z). Et le fait qu'il soit normal au plan (EBD) signifie qu'on a:

{n.EB=0
{n.ED=0
{n.BD=0

Je vais d'abord calculer les coordonnées de EB, ED, BD :
avec:
E(0;0;1) ; B(1;0;0) ; D(0;1;0) donc :
EB(1;0;-1) , ED(0;1;-1) , BD(-1;1;0) ce qui donne :

{(x;0;-z)=0
{(0;y;-z)=0
{(-x;y;0)=0
C'est ça que tu voulais dire?
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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Jeu 21 Mai - 19:23

Oulà! 2galité entre un scalaire (en l'ocurrence 0) et un triplet, c'est comme si en physique tu disais que 2kg = 3kms ce n'est pas cohérent.

Produit scalaire:
Soit n(x;y;z) et u(a;b;c) dans un repère orthonormal. On a:
n.u= x*a+y*b+z*c

C'est la même chose qu'en dimension 2 en fait vu que notre repère est orthogonale, il nous suffit de faire les calculs en supposant que notre repère est normée c'est à dire que notre cube est de côté 1 ce qui ne change pas grand chose, il suffirait de multiplier par la distance AB partout si on veut être très propre mais bon essayons déjà de faire simple. Pour la question précédente, on va supposer que AB=a=1 pour simplifier totalement l'écriture mais il faut le marquer.

Je pense que c'est plus clair maintenant. Je te laisse reprendre tes calculs.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Jeu 21 Mai - 19:44

1. Je pose AB = a
Citation :
Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à deux sécantes de ce plan.
Je vais employer ici la relation de Chasles.
Je vais considérer le vecteur AG pour la droite (AG) et les vecteurs BD et EB pour le plan (EBD).
Je calcule maintenant les produit scalaires suivants :

AG.BD = (AB+BC + CG) . (BA+AD)
= AB.BA + AB.AD + BC.BA + BC.AD + CG.BA + BA.AD
= -AB² + AB.BC + 0 + BC.AD + CG.GH + BA.AD
= -a² + 0 + 0 + BC.AD + 0 + 0 = -a² + AB² = -a² + a² = 0
Donc, AG et BD sont orthogonaux.

AG.EB = (AB+BC + CG) . (EA + AB)
= AB.EA + AB.AB + BC.EA + BC.AB + CG.EA + CG.AB
= 0 + a² + 0 + 0 -AB² + CG.HG = a² -a² + 0 = 0
Donc, AG et EB sont orthogonaux.

Donc, selon la définition, (AG) est perpendiculaire au plan (EBD).


--> Je réitère cette méthode pour démontrer que (AG) est également perpendiculaire au plan (HFC) :
Je vais considérer le vecteur AG pour la droite (AG) et les vecteurs HF et FC pour le plan (HFC)
Je calcule maintenant les produit scalaires suivants :

AG.HF = (AB+BC + CG) . (HG.GF)
= AB.HG + AB.GF + BC.HG + BC.GF + CG.HG + CG.GF
= AB.AB + 0 + 0 + BC.CB + 0 + 0
= a² -a² = 0
Donc, AG et HF sont orthogonaux.

AG.FC = (AB+BC + CG) . (FG + GC)
= AB.FG + AB.GC + BC.FG + BC.GC + CG.FG + CG.GC
= 0 + 0 + BC.BC + 0 + 0 -AB² = AB² - AB² = a² - a² = 0
Donc, AG et FC sont orthogonaux.

Donc, selon la définition, (AG) est perpendiculaire au plan (EBD).

--> Au final, (AG) est perpendiculaire aux plans (EDB) et (HFC).


2. Je vais définir un vecteur normal au plan (EDB) que je vais nommer n(x;y;z). Et le fait qu'il soit normal au plan (EBD) signifie qu'on a:

{n.EB=0
{n.ED=0
{n.BD=0

Je vais d'abord calculer les coordonnées de EB, ED, BD :
avec:
E(0;0;1) ; B(1;0;0) ; D(0;1;0) donc :
EB(1;0;-1) , ED(0;1;-1) , BD(-1;1;0) ce qui donne :

{(x*1) + (y*0) + (-1 *z) = 0
{(x*0) + (y*1) + (-1 *z) = 0
{(-1*x) + (1*y) + (0*z) = 0
DONC :
x -z = 0
y -z =0
-x + y = 0
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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Jeu 21 Mai - 19:47

C'est tout à fait ça!

Il ne reste plus qu'à résoudre ce système de trois équation à trois inconnues.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Jeu 21 Mai - 20:01

1. Je pose AB = a
Citation :
Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à deux sécantes de ce plan.
Je vais employer ici la relation de Chasles.
Je vais considérer le vecteur AG pour la droite (AG) et les vecteurs BD et EB pour le plan (EBD).
Je calcule maintenant les produit scalaires suivants :

AG.BD = (AB+BC + CG) . (BA+AD)
= AB.BA + AB.AD + BC.BA + BC.AD + CG.BA + BA.AD
= -AB² + AB.BC + 0 + BC.AD + CG.GH + BA.AD
= -a² + 0 + 0 + BC.AD + 0 + 0 = -a² + AB² = -a² + a² = 0
Donc, AG et BD sont orthogonaux.

AG.EB = (AB+BC + CG) . (EA + AB)
= AB.EA + AB.AB + BC.EA + BC.AB + CG.EA + CG.AB
= 0 + a² + 0 + 0 -AB² + CG.HG = a² -a² + 0 = 0
Donc, AG et EB sont orthogonaux.

Donc, selon la définition, (AG) est perpendiculaire au plan (EBD).


--> Je réitère cette méthode pour démontrer que (AG) est également perpendiculaire au plan (HFC) :
Je vais considérer le vecteur AG pour la droite (AG) et les vecteurs HF et FC pour le plan (HFC)
Je calcule maintenant les produit scalaires suivants :

AG.HF = (AB+BC + CG) . (HG.GF)
= AB.HG + AB.GF + BC.HG + BC.GF + CG.HG + CG.GF
= AB.AB + 0 + 0 + BC.CB + 0 + 0
= a² -a² = 0
Donc, AG et HF sont orthogonaux.

AG.FC = (AB+BC + CG) . (FG + GC)
= AB.FG + AB.GC + BC.FG + BC.GC + CG.FG + CG.GC
= 0 + 0 + BC.BC + 0 + 0 -AB² = AB² - AB² = a² - a² = 0
Donc, AG et FC sont orthogonaux.

Donc, selon la définition, (AG) est perpendiculaire au plan (EBD).

--> Au final, (AG) est perpendiculaire aux plans (EDB) et (HFC).


2. Je vais définir un vecteur normal au plan (EDB) que je vais nommer n(x;y;z). Et le fait qu'il soit normal au plan (EBD) signifie qu'on a:

{n.EB=0
{n.ED=0
{n.BD=0

Je vais d'abord calculer les coordonnées de EB, ED, BD :
avec:
E(0;0;1) ; B(1;0;0) ; D(0;1;0) donc :
EB(1;0;-1) , ED(0;1;-1) , BD(-1;1;0) ce qui donne :

{(x*1) + (y*0) + (-1 *z) = 0
{(x*0) + (y*1) + (-1 *z) = 0
{(-1*x) + (1*y) + (0*z) = 0
DONC :
x -z = 0
y -z =0
-x + y = 0

x = z d'après la première équation
y = z d'après a seconde équation
DONC : x = y = z
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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Jeu 21 Mai - 20:08

En effet! Donc tu constates que le vecteur que tu avais choisi n'était pas orthogonale au plan.

Donc on peut prendre par exemple n(1;1;1) (pourquoi faire compliquer après tout).

Maintenant quel est le lien entre normal à un plan et sont équation? Comment allons-nous conclure pour l'équation de ce plan?

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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Jeu 21 Mai - 20:14

Je dois remplacer x,y et z par 1, 1, 1 dans l'équation du plan.
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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Jeu 21 Mai - 20:30

Le but est de trouverl 'équation du plan, nous ne l'avons pas par conséquent.

Rappel:

Soit n(a;b;c) est un vecteur normal au plan P et A(xA,yA,zA) un point de P,
Alors:

M(x;y;z) est un point de P <=> n.AM=0 <=> a*(x-xA)+b*(y-yA)+c*(z-zA)=0


Tu te souviens de cela? Donc là, on a un point de notre plan et un vecteur normal, il ne nous restep lus qu'à conclure.

En espérant que cela est plus clair maintenant.

Bon courage pour la finalisation de cette équation là et pour faire l'autre équation de plan!

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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Jeu 21 Mai - 20:42

1. Je pose AB = a
Citation :
Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à deux sécantes de ce plan.
Je vais employer ici la relation de Chasles.
Je vais considérer le vecteur AG pour la droite (AG) et les vecteurs BD et EB pour le plan (EBD).
Je calcule maintenant les produit scalaires suivants :

AG.BD = (AB+BC + CG) . (BA+AD)
= AB.BA + AB.AD + BC.BA + BC.AD + CG.BA + BA.AD
= -AB² + AB.BC + 0 + BC.AD + CG.GH + BA.AD
= -a² + 0 + 0 + BC.AD + 0 + 0 = -a² + AB² = -a² + a² = 0
Donc, AG et BD sont orthogonaux.

AG.EB = (AB+BC + CG) . (EA + AB)
= AB.EA + AB.AB + BC.EA + BC.AB + CG.EA + CG.AB
= 0 + a² + 0 + 0 -AB² + CG.HG = a² -a² + 0 = 0
Donc, AG et EB sont orthogonaux.

Donc, selon la définition, (AG) est perpendiculaire au plan (EBD).


--> Je réitère cette méthode pour démontrer que (AG) est également perpendiculaire au plan (HFC) :
Je vais considérer le vecteur AG pour la droite (AG) et les vecteurs HF et FC pour le plan (HFC)
Je calcule maintenant les produit scalaires suivants :

AG.HF = (AB+BC + CG) . (HG.GF)
= AB.HG + AB.GF + BC.HG + BC.GF + CG.HG + CG.GF
= AB.AB + 0 + 0 + BC.CB + 0 + 0
= a² -a² = 0
Donc, AG et HF sont orthogonaux.

AG.FC = (AB+BC + CG) . (FG + GC)
= AB.FG + AB.GC + BC.FG + BC.GC + CG.FG + CG.GC
= 0 + 0 + BC.BC + 0 + 0 -AB² = AB² - AB² = a² - a² = 0
Donc, AG et FC sont orthogonaux.

Donc, selon la définition, (AG) est perpendiculaire au plan (EBD).

--> Au final, (AG) est perpendiculaire aux plans (EDB) et (HFC).


2. Je vais définir un vecteur normal au plan (EDB) que je vais nommer n(x;y;z). Et le fait qu'il soit normal au plan (EBD) signifie qu'on a:

{n.EB=0
{n.ED=0
{n.BD=0

Je vais d'abord calculer les coordonnées de EB, ED, BD :
avec:
E(0;0;1) ; B(1;0;0) ; D(0;1;0) donc :
EB(1;0;-1) , ED(0;1;-1) , BD(-1;1;0) ce qui donne :

{(x*1) + (y*0) + (-1 *z) = 0
{(x*0) + (y*1) + (-1 *z) = 0
{(-1*x) + (1*y) + (0*z) = 0
DONC :
x -z = 0
y -z =0
-x + y = 0

x = z d'après la première équation
y = z d'après a seconde équation
DONC : x = y = z

Je prends donc n(1;1;1). :

{n.EB=0
--> x -z = 0 ??
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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Jeu 21 Mai - 20:53

E et B font partir du plan, et les coordonnées de n sont déjà connu que veux-tu calculer avec ton produit scalaire?

Nous avons résolu notre système puis déduit les coordonnées d'un des vecteurs normaux au plan (EBD). Maintenant, on connaît n(1;1;1) et on connaît les coordonnées d'un point du plan B(1;;0) par exemple.

Il nous reste à utiliser la caractérisation de l'équation d'un plan par la normal à celui-ci pour conclure et c'est ce que je t'ai rappelé dans mon dernier message.

S'il y a quelque chose qui n'est pas clair n'hésite pas à m'interrompre et à me poser des questions.

Je te laisse reprendre donc calcul.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Jeu 21 Mai - 21:35

1. Je pose AB = a
Citation :
Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à deux sécantes de ce plan.
Je vais employer ici la relation de Chasles.
Je vais considérer le vecteur AG pour la droite (AG) et les vecteurs BD et EB pour le plan (EBD).
Je calcule maintenant les produit scalaires suivants :

AG.BD = (AB+BC + CG) . (BA+AD)
= AB.BA + AB.AD + BC.BA + BC.AD + CG.BA + BA.AD
= -AB² + AB.BC + 0 + BC.AD + CG.GH + BA.AD
= -a² + 0 + 0 + BC.AD + 0 + 0 = -a² + AB² = -a² + a² = 0
Donc, AG et BD sont orthogonaux.

AG.EB = (AB+BC + CG) . (EA + AB)
= AB.EA + AB.AB + BC.EA + BC.AB + CG.EA + CG.AB
= 0 + a² + 0 + 0 -AB² + CG.HG = a² -a² + 0 = 0
Donc, AG et EB sont orthogonaux.

Donc, selon la définition, (AG) est perpendiculaire au plan (EBD).


--> Je réitère cette méthode pour démontrer que (AG) est également perpendiculaire au plan (HFC) :
Je vais considérer le vecteur AG pour la droite (AG) et les vecteurs HF et FC pour le plan (HFC)
Je calcule maintenant les produit scalaires suivants :

AG.HF = (AB+BC + CG) . (HG.GF)
= AB.HG + AB.GF + BC.HG + BC.GF + CG.HG + CG.GF
= AB.AB + 0 + 0 + BC.CB + 0 + 0
= a² -a² = 0
Donc, AG et HF sont orthogonaux.

AG.FC = (AB+BC + CG) . (FG + GC)
= AB.FG + AB.GC + BC.FG + BC.GC + CG.FG + CG.GC
= 0 + 0 + BC.BC + 0 + 0 -AB² = AB² - AB² = a² - a² = 0
Donc, AG et FC sont orthogonaux.

Donc, selon la définition, (AG) est perpendiculaire au plan (EBD).

--> Au final, (AG) est perpendiculaire aux plans (EDB) et (HFC).


2. Je vais définir un vecteur normal au plan (EDB) que je vais nommer n(x;y;z). Et le fait qu'il soit normal au plan (EBD) signifie qu'on a:

{n.EB=0
{n.ED=0
{n.BD=0

Je vais d'abord calculer les coordonnées de EB, ED, BD :
avec:
E(0;0;1) ; B(1;0;0) ; D(0;1;0) donc :
EB(1;0;-1) , ED(0;1;-1) , BD(-1;1;0) ce qui donne :

{(x*1) + (y*0) + (-1 *z) = 0
{(x*0) + (y*1) + (-1 *z) = 0
{(-1*x) + (1*y) + (0*z) = 0
DONC :
x -z = 0
y -z =0
-x + y = 0

x = z d'après la première équation
y = z d'après a seconde équation
DONC : x = y = z

Je prends donc n(1;1;1) :

n.EB = 1 * (xB-xE) + 1 * (yB-yE) + 1 * (zB-zE) =0
= (1-0) + (0 - 0) + (0-1) = 1 -1 = 0.
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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Jeu 21 Mai - 21:41

Hé ho !!!

Prend du recule, le point B est un point particulier du plan! Forcément tu retrouve 0, on a tout fait pour Wink.

Mais l'équation d'un pln c'est en prenant un point M(x;y;z) quelconque du plan et son équation se déduit avec le fait que:

n.EM=0 (tous les vecteurs du plan sont orthogonale à la normal, c'est ça qui est écrit en fait et cela caractérise bien l'équation de notre plan)

Je te laisse reprendre les calculs mais je n'ai pas l'impression que cela soit clair pour le coup. Je veux bien ré-expliquer il n'y a pas de soucis.

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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Jeu 21 Mai - 21:45

1. Je pose AB = a
Citation :
Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à deux sécantes de ce plan.
Je vais employer ici la relation de Chasles.
Je vais considérer le vecteur AG pour la droite (AG) et les vecteurs BD et EB pour le plan (EBD).
Je calcule maintenant les produit scalaires suivants :

AG.BD = (AB+BC + CG) . (BA+AD)
= AB.BA + AB.AD + BC.BA + BC.AD + CG.BA + BA.AD
= -AB² + AB.BC + 0 + BC.AD + CG.GH + BA.AD
= -a² + 0 + 0 + BC.AD + 0 + 0 = -a² + AB² = -a² + a² = 0
Donc, AG et BD sont orthogonaux.

AG.EB = (AB+BC + CG) . (EA + AB)
= AB.EA + AB.AB + BC.EA + BC.AB + CG.EA + CG.AB
= 0 + a² + 0 + 0 -AB² + CG.HG = a² -a² + 0 = 0
Donc, AG et EB sont orthogonaux.

Donc, selon la définition, (AG) est perpendiculaire au plan (EBD).


--> Je réitère cette méthode pour démontrer que (AG) est également perpendiculaire au plan (HFC) :
Je vais considérer le vecteur AG pour la droite (AG) et les vecteurs HF et FC pour le plan (HFC)
Je calcule maintenant les produit scalaires suivants :

AG.HF = (AB+BC + CG) . (HG.GF)
= AB.HG + AB.GF + BC.HG + BC.GF + CG.HG + CG.GF
= AB.AB + 0 + 0 + BC.CB + 0 + 0
= a² -a² = 0
Donc, AG et HF sont orthogonaux.

AG.FC = (AB+BC + CG) . (FG + GC)
= AB.FG + AB.GC + BC.FG + BC.GC + CG.FG + CG.GC
= 0 + 0 + BC.BC + 0 + 0 -AB² = AB² - AB² = a² - a² = 0
Donc, AG et FC sont orthogonaux.

Donc, selon la définition, (AG) est perpendiculaire au plan (EBD).

--> Au final, (AG) est perpendiculaire aux plans (EDB) et (HFC).


2. Je vais définir un vecteur normal au plan (EDB) que je vais nommer n(x;y;z). Et le fait qu'il soit normal au plan (EBD) signifie qu'on a:

{n.EB=0
{n.ED=0
{n.BD=0

Je vais d'abord calculer les coordonnées de EB, ED, BD :
avec:
E(0;0;1) ; B(1;0;0) ; D(0;1;0) donc :
EB(1;0;-1) , ED(0;1;-1) , BD(-1;1;0) ce qui donne :

{(x*1) + (y*0) + (-1 *z) = 0
{(x*0) + (y*1) + (-1 *z) = 0
{(-1*x) + (1*y) + (0*z) = 0
DONC :
x -z = 0
y -z =0
-x + y = 0

x = z d'après la première équation
y = z d'après a seconde équation
DONC : x = y = z

Je prends donc n(1;1;1) et j'introduis le point M(x;y;z) :

n.AM = 1 * (xM-xA) + 1 * (yM-yA) + 1 * (zM-za) = 0
avec A(0;0;0) donc :
n.AM = x + y + z = 0
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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Jeu 21 Mai - 22:05

Alors tu appliques la formule mais il faudrait l'adapter un peu quand même Wink. Est-ce que le point A appartient à notre plan ici? Je ne pense pas Smile.

Il faut donc prendre un point de notre plan si on veux avoir l'équation de notre plan. Je ne sais pas B, E ou D comme tu veux.

J'espère que ça commence à s'éclaircir mais je pense qu'il y a de la fatigue aussi là.

En tout cas, j'espère que pour l'équation de l'autre plan, ça sera encore plus clair.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Jeu 21 Mai - 22:12

1. Je pose AB = a
Citation :
Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à deux sécantes de ce plan.
Je vais employer ici la relation de Chasles.
Je vais considérer le vecteur AG pour la droite (AG) et les vecteurs BD et EB pour le plan (EBD).
Je calcule maintenant les produit scalaires suivants :

AG.BD = (AB+BC + CG) . (BA+AD)
= AB.BA + AB.AD + BC.BA + BC.AD + CG.BA + BA.AD
= -AB² + AB.BC + 0 + BC.AD + CG.GH + BA.AD
= -a² + 0 + 0 + BC.AD + 0 + 0 = -a² + AB² = -a² + a² = 0
Donc, AG et BD sont orthogonaux.

AG.EB = (AB+BC + CG) . (EA + AB)
= AB.EA + AB.AB + BC.EA + BC.AB + CG.EA + CG.AB
= 0 + a² + 0 + 0 -AB² + CG.HG = a² -a² + 0 = 0
Donc, AG et EB sont orthogonaux.

Donc, selon la définition, (AG) est perpendiculaire au plan (EBD).


--> Je réitère cette méthode pour démontrer que (AG) est également perpendiculaire au plan (HFC) :
Je vais considérer le vecteur AG pour la droite (AG) et les vecteurs HF et FC pour le plan (HFC)
Je calcule maintenant les produit scalaires suivants :

AG.HF = (AB+BC + CG) . (HG.GF)
= AB.HG + AB.GF + BC.HG + BC.GF + CG.HG + CG.GF
= AB.AB + 0 + 0 + BC.CB + 0 + 0
= a² -a² = 0
Donc, AG et HF sont orthogonaux.

AG.FC = (AB+BC + CG) . (FG + GC)
= AB.FG + AB.GC + BC.FG + BC.GC + CG.FG + CG.GC
= 0 + 0 + BC.BC + 0 + 0 -AB² = AB² - AB² = a² - a² = 0
Donc, AG et FC sont orthogonaux.

Donc, selon la définition, (AG) est perpendiculaire au plan (EBD).

--> Au final, (AG) est perpendiculaire aux plans (EDB) et (HFC).


2. Je vais définir un vecteur normal au plan (EDB) que je vais nommer n(x;y;z). Et le fait qu'il soit normal au plan (EBD) signifie qu'on a:

{n.EB=0
{n.ED=0
{n.BD=0

Je vais d'abord calculer les coordonnées de EB, ED, BD :
avec:
E(0;0;1) ; B(1;0;0) ; D(0;1;0) donc :
EB(1;0;-1) , ED(0;1;-1) , BD(-1;1;0) ce qui donne :

{(x*1) + (y*0) + (-1 *z) = 0
{(x*0) + (y*1) + (-1 *z) = 0
{(-1*x) + (1*y) + (0*z) = 0
DONC :
x -z = 0
y -z =0
-x + y = 0

x = z d'après la première équation
y = z d'après a seconde équation
DONC : x = y = z

Je prends donc n(1;1;1) et j'introduis le point M(x;y;z) :

n.BM = 1 * (xM-xB) + 1 * (yM-yB) + 1 * (zM-zB) = 0
<=> (x -1) + (y -0) + (z -0) = 0
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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Jeu 21 Mai - 22:20

C'est tout à fait ça!!!!

Donc l'équation de (EBD) est x+y+z=1.

Nous sommes d'accord?

Si tu as bien compris la méthode je te laisse l'applique pour le plan (FHC). C'est exactement la même méthode si tu l'as comprise. Sinon n'hésite pas à faire une pose pour qu'on reprenne celle-ci ensemble car elle est très intuitive en fait.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Jeu 21 Mai - 22:32

D'accord.
Je continuerais ça demain là, j'ai un peu de mal et je vais faire des erreurs.
A demain et merci pour ton aide!
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