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 Vecteurs dans l'espace

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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Ven 22 Mai - 22:16

Si il est colinéaire plutôt !!

Car si il est normal à notre plan et que (AG) est bien perpendiculaire à celui-ci, les deux vecteurs donc donc colinéaires.

Mais en fait c'est fini! En effet, on connaît déjà un vecteur normal au plan (EBD) (on en a eu besoin dans une question précédante) et on connait aussi les coordonnées du vecteur AI. Il ne reste plus qu'à conclure.

Bon courage pour la finalisation!

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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Ven 22 Mai - 22:44

On sait que AI(1/3;1/3;1/3) et n(1;1;1)
Comment veux-tu déjà conclure?
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Ven 22 Mai - 22:47

Si on montre que ces deux vecteurs sont colinéaire, on conclut t'es d'accord? (Car si AI est colinéaire au vecteur normal à (EBD) alors (AI) sera bien perpendiculaire à (EBD) et (AG) aussi vu que I appartient à (AG) ).

Donc est-ce que ces vecteurs sont colinéaires? Donne-moi le lien entre les deux vecteurs ça suffira pour le montrer Wink.

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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Ven 22 Mai - 22:57

(1/3)n = AI
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Ven 22 Mai - 23:00

Nickel!!!

Alors maintenant, on conclut la totalité de la question (colinéarité, puis orthogonalité puis orthogonale à l'un c'est être orthogonale à l'autre et puis bingo Wink !!).

Ca sent la fin de l'exercice !!!

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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Ven 22 Mai - 23:06

Donc les deux vecteurs sont colinéaires et...
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Ven 22 Mai - 23:10

Récapitulatif:

AI est colinéaire à n
I appartient à (AG)
n vecteur normal à (EBD)
(EBD) // (FHC)
l'isobarycentre de (FHC) appartient à (AG) => (AG) et (CHF) sont sécants

Il faut faire le lien entre tout ça pour avoir la conclusion total de cette question et donc de l'exercice.

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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Sam 23 Mai - 9:09

On retrouve donc le fait que (AG) soit orthogonal aux deux plans (EDB) et (FHC)
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Sam 23 Mai - 12:07

En effet, mais il faut détailler un peu pouruqoi c'est bien le cas.

AI est colinéaire à n
Or n est un vecteur orthogonale à (EBD)
Donc (AI) est orthogonal à (EBD)

Or I appartient à (AG)

Donc (AG) est perpendiculaire à (EBD)

Or on sait que (AG) est sécante avec (CHF) vu que l'isobarycentre de C, H et F appartient à (CHF) et à (AG).
De plus, (CHF) // (EBD)

Donc (AG) est perpendiculaire à (CHF)

Conclusion, (AG) est perpendiculaire aux plan (EBD) et (CHF)


Il fut détailler un peu la solution car il y a des étpae non négligeable ("lorsque deux plans sont parallèles toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre" est une étape non néglieable et de même pour le faire que les isobarycentre appartiennent à (AG) sinon nous ne saurions pas qu'il y a intersection).

Bon courage pour la suite!

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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Sam 23 Mai - 12:25

Impressionnant! En fait, chaque question de la seconde partie est un élément permettant de répondre à la dernière question. Je comprends mieux maintenant ^^.
Je reprends donc ton raisonnement pour la question 5. :

1. Je pose AB = a
Citation :
Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à deux sécantes de ce plan.
Je vais employer ici la relation de Chasles.
Je vais considérer le vecteur AG pour la droite (AG) et les vecteurs BD et EB pour le plan (EBD).
Je calcule maintenant les produit scalaires suivants :

AG.BD = (AB+BC + CG) . (BA+AD)
= AB.BA + AB.AD + BC.BA + BC.AD + CG.BA + BA.AD
= -AB² + AB.BC + 0 + BC.AD + CG.GH + BA.AD
= -a² + 0 + 0 + BC.AD + 0 + 0 = -a² + AB² = -a² + a² = 0
Donc, AG et BD sont orthogonaux.

AG.EB = (AB+BC + CG) . (EA + AB)
= AB.EA + AB.AB + BC.EA + BC.AB + CG.EA + CG.AB
= 0 + a² + 0 + 0 -AB² + CG.HG = a² -a² + 0 = 0
Donc, AG et EB sont orthogonaux.

Donc, selon la définition, (AG) est perpendiculaire au plan (EBD).


--> Je réitère cette méthode pour démontrer que (AG) est également perpendiculaire au plan (HFC) :
Je vais considérer le vecteur AG pour la droite (AG) et les vecteurs HF et FC pour le plan (HFC)
Je calcule maintenant les produit scalaires suivants :

AG.HF = (AB+BC + CG) . (HG.GF)
= AB.HG + AB.GF + BC.HG + BC.GF + CG.HG + CG.GF
= AB.AB + 0 + 0 + BC.CB + 0 + 0
= a² -a² = 0
Donc, AG et HF sont orthogonaux.

AG.FC = (AB+BC + CG) . (FG + GC)
= AB.FG + AB.GC + BC.FG + BC.GC + CG.FG + CG.GC
= 0 + 0 + BC.BC + 0 + 0 -AB² = AB² - AB² = a² - a² = 0
Donc, AG et FC sont orthogonaux.

Donc, selon la définition, (AG) est perpendiculaire au plan (EBD).

--> Au final, (AG) est perpendiculaire aux plans (EDB) et (HFC).


2. Je vais définir un vecteur normal au plan (EDB) que je vais nommer n(x;y;z). Et le fait qu'il soit normal au plan (EBD) signifie qu'on a:

{n.EB=0
{n.ED=0
{n.BD=0

Je vais d'abord calculer les coordonnées de EB, ED, BD :
avec:
E(0;0;1) ; B(1;0;0) ; D(0;1;0) donc :
EB(1;0;-1) , ED(0;1;-1) , BD(-1;1;0) ce qui donne :

{(x*1) + (y*0) + (-1 *z) = 0
{(x*0) + (y*1) + (-1 *z) = 0
{(-1*x) + (1*y) + (0*z) = 0
DONC :
x -z = 0
y -z =0
-x + y = 0

x = z d'après la première équation
y = z d'après a seconde équation
DONC : x = y = z

Je prends donc n(1;1;1) et j'introduis le point M(x;y;z) :

n.BM = 1 * (xM-xB) + 1 * (yM-yB) + 1 * (zM-zB) = 0
<=> (x -1) + (y -0) + (z -0) = 0
Donc l'équation de (EBD) est x+y+z=1.

Je fais de même pour l'équation de (HFC) :
Je vais définir un vecteur normal au plan (HFC) que je vais nommer n'(x;y;z). Et le fait qu'il soit normal au plan (HFC) signifie qu'on a:

{n'.HF=0
{n'.FC=0
{n'.HC=0

Je vais d'abord calculer les coordonnées de HF, FC, HC :
avec:
H(0;1;1) ; F(1;0;1) ; C(1;1;0) donc :
HF(1;-1;0) , FC(0;1;-1) , HC(1;0;-1) ce qui donne :

{(x*0) + (y*1) + (1 *z) = 0
{(x*0) + (y*1) + (-1 *z) = 0
{(1*x) + (0*y) + (-1*z) = 0
DONC :
y + z = 0
y -z =0
x - z= 0

y = z d'après la première équation.
y = z d'après la seconde équation.
x = z d'après la dernière équation.
DONC : x = y = z

Je prends donc n'(1;1;1) et j'introduis le point M(x;y;z) appartenant à (HFC) :

n.FM = 1 * (xM-xF) + 1 * (yM-yF) + 1 * (zM-zF) = 0
<=> (x -1) + (y -0) + (z -1) = 0
Donc l'équation de (EBD) est x+y+z = 2.

3. On sait que n(1;1;1) et n'(1;1;1) donc ils sont égaux donc les normales respectifs aux deux plans sont égales donc:
Ils sont parallèles.

4. Tous les points ont le même poids.
Soit I l'isobarycentre :
xI = [xE + xD + xB]/[3] = 1/3
yI = [yE + yD + yB]/3 = 1/3
zI = [zE + zD + zB] = 1/3

Donc I(1/3;1/3;1/3)

Pour prouver qu'un point appartient à une droite :
--> I appartient à (AG) c'est dire que A, I et G sont alignés par exemple.
Je vais prouver que A, I et G sont alignés en prouvant que AI et AG :
AI(1/3;1/3;1/3)
AG(1-(1/3);1-(1/3);1-(1/3)) --> AG(2/3;2/3;2/3)
Donc :
(1/3)(2/3) - (1/3)(2/3) = 2/6 - 2/6 = 0
(1/3)(2/3) - (1/3)(2/3) = 2/6 - 2/6 = 0
Donc AG et AI sont colinéaires donc :
A, I et G sont alignés donc I appartient à la droite (AG).
On s'aperçoit de plus que 2 * AI = AG donc :
AI = AG/2
Donc I est le milieu du segment [AG].

5. On sait que AI(1/3;1/3;1/3) et n(1;1;1)
Donc : (1/3)n = AI DONC :
AI est colinéaire à n
Or n est un vecteur orthogonal à (EBD)
Donc (AI) est orthogonale à (EBD)

Or I appartient à (AG)

Donc (AG) est perpendiculaire à (EBD)

Or on sait que (AG) est sécante avec (CHF) vu que l'isobarycentre de C, H et F appartient à (CHF) et à (AG).
De plus, (CHF) // (EBD)

Donc (AG) est perpendiculaire à (CHF)

Conclusion, (AG) est perpendiculaire aux plan (EBD) et (CHF)
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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Sam 23 Mai - 13:44

C'est ça!

En fait, la question 3) est la conclusion de la deuxième partie de ton exercice qui consiste à retrouver par une autre méthode le fait que (AG) est perpendiculaire aux deux plans.

Donc l'exercice te construit une démarhce pas à pas pour arriver au résultat. Dès fois, il y a des choses qui ne servent pas dans les énoncers mais lorsque nous sommes dans l'exercice lui-même, il faut se dire que la totalité doit servir (à 95% je dirai).

En effet, comme je te le disais l'année dernière et encore cette année, il faut comprendre que la seule question "intéressante" d'un exercice c'est la dernière. Le reste n'est là que pour te proposer un chemin pour arriver à cette question là et pouvoir y répondre. Chaque exercice a une démarche précise qui n'est pas forcément celle à laquelle tu aurais pensé si on t'avait laissé l'exercice de façon brut mais au moins elle permet d'arriver au bout ce qui estl e principale.

Donc lorsque tu arrives à la dernière question, elle doit faire appel à ce qui précède de façon presque systématique car, on essaie de voir si tu as compris la démarche même de l'exercice et si tu sais mettre en évidence toutes les données du problèmes qu'on t'a fait mettre en évidence au fur et à mesure des questions. En fait, lorsque tu appliques un théorème de façon brut, il ne te viendrait pas à l'idée d'oublier des hypothèses (genre Pythagore, Thalès, l'ensemble de définition d'une fonction, ...) et bien là, il ne doit pas te venir à l'idée d'oublier des hypothèse avant d'appliquer ta conclusion. CAr la dernière question est souvent su avant d'y arriver, donc si tu écris "la solution est la solution" même sans t'en apparcevoir (ce qui peut être possible la preuve) et bien le correcteur prendra pour un coup de bluff et se braquera à analyser méticuleusemetn la suite de ta copie pour voir si tu ne bluff pas autre part.

En tout cas cette exercice est vraiment magnifique au niveau des révisions:

- Relation de Chasle
- Produit scalaire
- Caractérisation de l'orthogonalité dans l'espace par le produit scalaire
- Détermination de vecteur normal à un plan
- Détermination d'équation de plan à partir d'un vecteur normal
- Notion de parallèlisme dans l'espace
- Colinéarité de vecteur
- Notion d'isobarycentre
- Calcul de coordonnées de barycentre dans l'espace
- Théorème de perpendicularité d'une droite et de deux plan dans l'espace

Bon courage pour la suite!

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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Sam 23 Mai - 14:08

D'accord.
Un grand merci pour ton aide en tout cas!!
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MessageSujet: Re: Vecteurs dans l'espace   Aujourd'hui à 2:24

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