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 Equations différentielles

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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Equations différentielles   Sam 23 Mai - 22:13

Ok!

Donc là on a l'ensemble des solutions u de (E2). On sait donc que F est solution de (E1).

Mais quel est le lien entre les deux fonction u et F ?

D'ailleurs, dans la question 1) tu n'as pas écrit la conclusion ce qui t'embête d'ailleurs dans la question deux vu que tu ne vois pasl e lien entre les deux questions.

Citation :
1)
[...]

Donc F est solution de (E1): y'=0.022*y*(20-y)

Conclusion: Si F=1/u, alors, on a: F est solution de (E1) si et seulement si u est solution de (E2)

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Equations différentielles   Sam 23 Mai - 22:23

Désolé je suis crevé je reprendrais ça demain parce que je suis plus dedans.
Merci pour ton aide en tout cas c'est sympa.
A demain et bonne nuit!
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MessageSujet: Re: Equations différentielles   Dim 24 Mai - 9:16

1. On a :
F'(t)=0.022*F(t)*[20-F(t)]
F'(t)=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
avec F'(x) = -u'/u² donc :
-u'(t)/[u(t)]²=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
-u'(t)/[u(t)]²= 0.022/u(t) [(20u(t)-1)/u(t)]
-u'(t)/[u(t)]²= [0.022(20u(t)-1)] / [u(t)]²
-u'(t)/[u(t)]²= (0.44u(t) -0.022) / [u(t)]²
Donc :
-u'(t) * [u(t)]² = [u(t)]² * (0.44u(t) -0.022)
-u'(t) = (0.44u(t) -0.022)
u'(t) = -0.44u(t) +0.022 pour tout t strictement positif DONC :
u est solution de l'équation différentielle (E2) définie par : y'=-0.44*y+0.022

J'ai donc :
u'(t) = -0.44u(t) +0.022 avec f = 1/u donc u = 1/f
-f'(t)/[f(t)]² = -0.44(1/f) + 0.022
-f'(t)/[f(t)]² = -0.44/f + 0.022
-f'(t)/[f(t)]² = (-0.44 +0.022f)/f
[-f'(t)/[f(t)]] = -0.44 + 0.022f(t)
-f'(t) = (-0.44 + 0.022f(t)) * f(t)
-f'(t) = -0.44f(t) + 0.022[f(t)]²
f'(t) = 0.44f(t) - 0.022[f(t)]²
f'(t) = 0.022f(t)(20-f(t))
--> Si F=1/u, alors, on a: F est solution de (E1) si et seulement si u est solution de (E2)


2. (E2) : y' = -0.44y + 0.022 --> de type "y' = ay + b" donc :
y(t) = Ceat + (-b/a) = Ce-0.44t + 0.022/0.44 = Ce-0.44t + 0.05.
On a donc l'ensemble des solutions de (E2) et on sait que F est solution de (E1).
Donc si u est solution de (E2) alors F est solution de (E1)
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MessageSujet: Re: Equations différentielles   Dim 24 Mai - 9:23

Bonjour,

Donc ici le y(t) que tu as explicitée est une solution de (E2). ET si on considère toutes les valeurs de C possibles, nous avons mêem l'ensemble des solutions de (E2).

Donc ce que tu as appelé y c'est une fait une solution u de (E2).

i)Quel lien y a-t-il entre u et F par hypothèse de l'énoncer?
ii) Conclusion quel est l'ensemble des solutions de (E1) ?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Equations différentielles   Dim 24 Mai - 10:20

i)Quel lien y a-t-il entre u et F par hypothèse de l'énoncer?
ii) Conclusion quel est l'ensemble des solutions de (E1) ?

i) f = 1/u
ii) 1/u?
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MessageSujet: Re: Equations différentielles   Dim 24 Mai - 10:22

Nickel !!!

Conclusion, les fonction vérifiant (E1) sont de quelle forme ?

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MessageSujet: Re: Equations différentielles   Dim 24 Mai - 10:54

Elles auront la forme 1/u ??
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MessageSujet: Re: Equations différentielles   Dim 24 Mai - 11:06

Oui mais à ce moment là quelle est la forme de u(t) Smile.

On a u(t) en résolvant (E2) qu'on sait résoudre et on en déduit F(t) qui est solution de (E1) graceà l'équivalence. Mais la question te demande d'expliciter l'ensemble des solutions de (E2) dans un premier temps (ce que tu as fait) puis de (E1) dans un deuxième temps (ce qui reste à mettre en évidence).

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Equations différentielles   Dim 24 Mai - 11:33

La forme est : u = 1/f
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MessageSujet: Re: Equations différentielles   Dim 24 Mai - 12:18

Bon, j'ai du mal à me faire comprendre, je pense. Je vais essayer autrement.

La première question te demande de trouver l'ensemble des solutions de (E2): y'=-0.44y+0.022

Les solution de cette équation sont toute de la forme suivante:

Pour tout t>0, y(t)= C*e-0.44*t + 0.05 avec C dans R

Pourquoi appelle-t-on cela un ensemble de solution? Car on a donné la forme d'une solution de manière générale et qu'on peut écrire cela sous forme d'un ensemble de fonction:

{t (t>0) |--> C*e-0.44*t + 0.05 / CЄR}= "Ensemble des fonctions solution de l'équation différentielle (E2)"=S2


Maintennat, la deuxième partie de la question te demande d'expliciter l'ensemble des solution de (E1) (que je note S1).

Comment faire sachant qu'on ne connaît que l'ensemble S2?

Et bien on sait d'après la question 1) que si uЄS2 alors FЄS1 avec F=1/u

Donc je prend une fonction quelconque dans S2 que j'appelle u c'està dire que pour CЄR, je pose pour tout t>0, u(t)=C*e-0.44*t + 0.05

Maintenant, je sais que F(t)=1/u(t) est solution de (E1) (vu que si uЄS2 alors FЄS1 avec F=1/u).

Conclusion: ???


J'espère que les idées sont plus simples exprimées ainsi car j'ai pasl 'impression que ce soit très clair pour toi ce qu'est un ensemble de solution d'une équation différentielle. Donc si c'étaitl e cas sans doute que ce message éclaircira sinon, il complètera ce que tu savais déjà au pire.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Equations différentielles   Dim 24 Mai - 12:39

En fait, je vois pas pourquoi ça prouve que 1/u(t) est solution de S1
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MessageSujet: Re: Equations différentielles   Dim 24 Mai - 12:52

Donc c'est l'équivalence démontrée en 1) qui à l'air de te poser des soucis d'interprétation.

En fait, si je garde mes ensembles S1 et S2 respectivement pour l'ensemble des solutions de (E1) et de (E2). On a montré que:

L'énoncer nous dit que FЄS1 et on pose F=1/u. Ce sont deux hyptohèse faite par l'énoncer lui-même:

Citation :
f est solution de l'équation différentielle :

(E1) : y' = 0.022y(20-y)

1. On pose f = 1/u.

Maintenant dans la question 1), on montre (par double implication (=>) puis (<=) ou par équivalence (<=>) ) que:

En posant que F=1/u (pour une fonction u qui ne s'annule pas sinon la fraction n'est pas définie), on a:

FЄS1 <=> uЄS2



Donc maintenant cette question est acquise et on peut l'utiliser directement dans les questions suivante. Et c'est ce qu'on fait dans la deuxième partie de la question 2). En effet, la première partie nous permet d'expliciter la forme des fonction qui compose S2 puis après on nous demande la forme des fonction qui compose S1.

C'est à dire qu'on cherche la forme générale d'une fonction FЄS1 sachant qu'on connaît la forme des fonction uЄS2.

D'après la question 1), on sait que uЄS2 => F(=1/u) Є S1

Est-ce que ça commence à être plus clair ou c'est toujours aussi flou ?

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MessageSujet: Re: Equations différentielles   Dim 24 Mai - 13:03

Donc l'ensemble des solutions de (E1) est :
1/[C*e-0.44*t + 0.05]
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MessageSujet: Re: Equations différentielles   Dim 24 Mai - 13:09

C'est tout à fait ça.

Ca paraît bête une fois écrit mais bon, ce n'est pas une évidence si nous avions pas la question 1).

Du coup, il nous reste à déterminer la constante pour qu'on est notre fonction F définie par F(0)=0.01 pouar faire la question suivante.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Equations différentielles   Dim 24 Mai - 13:43

Je comprends mieux c'est déjà ça! Very Happy

Reprenons :

i)Quel lien y a-t-il entre u et F par hypothèse de l'énoncer?
ii) Conclusion quel est l'ensemble des solutions de (E1) ?

i) f = 1/u
ii) 1/[C*e-0.44*t + 0.05]

Je cherche donc la valeur de C avec : F(0)=0.01
1/[C*e-0.44*0+ 0.05] = 0.01
1/[C*e0 + 0.05] = 0.01
1/[C + 0.05] = 0.01
1 = 0.01[C + 0.05]
1 = 0.01C + 5*10^-4
[1 -5*10^-4] / 0.01 = C = 99.95
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MessageSujet: Re: Equations différentielles   Dim 24 Mai - 13:51

Nickel!!

Donc pour tout t>0, F(t)= ??

Bon manque de chance nous n'avonsp as tout à fait la forme qu'il nous demande. Est-ce qu'on pourrait la retrouver à partir de la fonction qu'on vient de mettre en évidence?

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MessageSujet: Re: Equations différentielles   Dim 24 Mai - 13:55

i)Quel lien y a-t-il entre u et F par hypothèse de l'énoncer?
ii) Conclusion quel est l'ensemble des solutions de (E1) ?

i) f = 1/u
ii) 1/[C*e-0.44*t + 0.05]

Je cherche donc la valeur de C avec : F(0)=0.01
1/[C*e-0.44*0+ 0.05] = 0.01
1/[C*e0 + 0.05] = 0.01
1/[C + 0.05] = 0.01
1 = 0.01[C + 0.05]
1 = 0.01C + 5*10^-4
[1 -5*10^-4] / 0.01 = C = 99.95

Donc pour tout t>0, F(t)= 1/[99.95*e-0.44*t + 0.05]
Ils demandent quelle forme?
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MessageSujet: Re: Equations différentielles   Dim 24 Mai - 14:06

Celle de la question 3) petit malin Razz:

Citation :
f(t) = 20/[1 + 1999*e-0.44t]

Comment on passe de celle que tu as à celle-ci ?

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MessageSujet: Re: Equations différentielles   Dim 24 Mai - 14:12

Pourquoi doit-on le mettre sous cette forme?

Sinon, on multiplie par 20 et on a notre forme.
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MessageSujet: Re: Equations différentielles   Dim 24 Mai - 14:16

En effet, on multiplie par 20 au numérateur et au dénominateur et nous avons la forme que nous cherchons.

Bon alors il y a deux réponse à ta question. La première très scolaire et très naïve qui consisterait à dire "C'estl a question qui demande de le mettre sous cette forme là, donc on le mets sous cette forme là".

Bon c'est bien beau mais pourquoi l'énoncer nous donne cette forme là plus qu'une autre? Et bien c'est pour facilité la résolution de la question suivante tout simplement car on met en évidence le 20 au numérateur et celui-ci se retrouver dans l'encadrement ce qui ne doit pas être anodin.

Alors est-ce que tu as des idée pour la question suivante jsutement par rapport à ce que je viens de dire ?

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MessageSujet: Re: Equations différentielles   Dim 24 Mai - 14:28

Je vais tout d'abord vérifier la rédaction de cette question. Le tout nous donne :

1. On a :
F'(t)=0.022*F(t)*[20-F(t)]
F'(t)=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
avec F'(x) = -u'/u² donc :
-u'(t)/[u(t)]²=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
-u'(t)/[u(t)]²= 0.022/u(t) [(20u(t)-1)/u(t)]
-u'(t)/[u(t)]²= [0.022(20u(t)-1)] / [u(t)]²
-u'(t)/[u(t)]²= (0.44u(t) -0.022) / [u(t)]²
Donc :
-u'(t) * [u(t)]² = [u(t)]² * (0.44u(t) -0.022)
-u'(t) = (0.44u(t) -0.022)
u'(t) = -0.44u(t) +0.022 pour tout t strictement positif DONC :
u est solution de l'équation différentielle (E2) définie par : y'=-0.44*y+0.022

J'ai donc :
u'(t) = -0.44u(t) +0.022 avec f = 1/u donc u = 1/f
-f'(t)/[f(t)]² = -0.44(1/f) + 0.022
-f'(t)/[f(t)]² = -0.44/f + 0.022
-f'(t)/[f(t)]² = (-0.44 +0.022f)/f
[-f'(t)/[f(t)]] = -0.44 + 0.022f(t)
-f'(t) = (-0.44 + 0.022f(t)) * f(t)
-f'(t) = -0.44f(t) + 0.022[f(t)]²
f'(t) = 0.44f(t) - 0.022[f(t)]²
f'(t) = 0.022f(t)(20-f(t))
--> Si F=1/u, alors, on a: F est solution de (E1) si et seulement si u est solution de (E2)


2. (E2) : y' = -0.44y + 0.022 --> de type "y' = ay + b" donc :
y(t) = Ceat + (-b/a) = Ce-0.44t + 0.022/0.44 = Ce-0.44t + 0.05.
On a donc l'ensemble des solutions de (E2) et on sait que F est solution de (E1).
Donc si u est solution de (E2) alors F est solution de (E1)
i)Quel lien y a-t-il entre u et F par hypothèse de l'énoncer?
ii) Conclusion quel est l'ensemble des solutions de (E1) ?

i) f = 1/u
ii) 1/[C*e-0.44*t + 0.05]

Je cherche donc la valeur de C avec : F(0)=0.01
1/[C*e-0.44*0+ 0.05] = 0.01
1/[C*e0 + 0.05] = 0.01
1/[C + 0.05] = 0.01
1 = 0.01[C + 0.05]
1 = 0.01C + 5*10^-4
[1 -5*10^-4] / 0.01 = C = 99.95

Donc pour tout t>0, F(t)= 1/[99.95*e-0.44*t + 0.05] = 20/[1 + 1999e-0.44t].


3. Je calcule la limite de 1/u?
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MessageSujet: Re: Equations différentielles   Dim 24 Mai - 15:07

Alors il y a des problème de rédaction car tu ne mets pas en évidence les hyptohèses et les conclusions dans tes démarches:

Citation :
Je vais tout d'abord vérifier la rédaction de cette question. Le tout nous donne :

1. --> On suppose que F=1/u est solution de l'équation différentielle (E1): y'=0.022*y*(20-y).
Démontrons que u est solution de l'équation différetielle (E2): y'=-0.44*y+0.022


On a pour tout t strictement positif:
F'(t)=0.022*F(t)*[20-F(t)]
F'(t)=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
avec F'(x) = -u'/u² donc :
-u'(t)/[u(t)]²=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
-u'(t)/[u(t)]²= 0.022/u(t) [(20u(t)-1)/u(t)]
-u'(t)/[u(t)]²= [0.022(20u(t)-1)] / [u(t)]²
-u'(t)/[u(t)]²= (0.44u(t) -0.022) / [u(t)]²
Donc :
-u'(t) * [u(t)]² = [u(t)]² * (0.44u(t) -0.022)
-u'(t) = (0.44u(t) -0.022) (car u ne s'annule pas par hypothèse)
u'(t) = -0.44u(t) +0.022 pour tout t strictement positif DONC :
Donc u est solution de l'équation différentielle (E2) définie par : y'=-0.44*y+0.022

(On a montré que: F solution de (E1) => u solution de E2)

-->Maintenant, on suppose que u est solution de (E2): y'=-0.44*y+0.022.
Démontrons que F=1/u est solution de (E1): y'=0.022*y*(20-y)


J'ai donc pour tout t strictement positif:
u'(t) = -0.44u(t) +0.022 avec f = 1/u donc u = 1/f
-f'(t)/[f(t)]² = -0.44[1/f(t)] + 0.022
-f'(t)/[f(t)]² = -0.44/f(t) + 0.022
-f'(t)/[f(t)]² = (-0.44 +0.022f(t))/f(t)
[-f'(t)/[f(t)]] = -0.44 + 0.022f(t)
-f'(t) = (-0.44 + 0.022f(t)) * f(t)
-f'(t) = -0.44f(t) + 0.022[f(t)]²
f'(t) = 0.44f(t) - 0.022[f(t)]²
f'(t) = 0.022f(t)(20-f(t))
Donc F est solution de (E1)

--> Si F=1/u, alors, on a: F est solution de (E1) si et seulement si u est solution de (E2)


2. (E2) : y' = -0.44y + 0.022 --> de type "y' = ay + b" donc :
y(t) = Ceat + (-b/a) = Ce-0.44t + 0.022/0.44 = Ce-0.44t + 0.05.
On a donc l'ensemble des solutions de (E2) et on sait que F est solution de (E1).
Or si u est solution de (E2) alors F est solution de (E1) d'après la question 1)

[...
i)Quel lien y a-t-il entre u et F par hypothèse de l'énoncer?
ii) Conclusion quel est l'ensemble des solutions de (E1) ?

i) f = 1/u
ii) 1/[C*e-0.44*t + 0.05]

...]

Donc l'ensemble des solutions de (E1) sont les fonctions definie pour tout t strictement positif par F(t)=1/u(t) avec u(t)=C*e-0.44t + 0.05 solution de (E2).
D'où l'ensemble des solutions de (E1) sont les fonction définie pour tout t strictement positif par F(t)=1/[C*e-0.44*t + 0.05]


3.
Je cherche donc la valeur de C avec : F(0)=0.01
1/[C*e-0.44*0+ 0.05] = 0.01
1/[C*e0 + 0.05] = 0.01
1/[C + 0.05] = 0.01
1 = 0.01[C + 0.05]
1 = 0.01C + 5*10^-4
[1 -5*10^-4] / 0.01 = C = 99.95

Donc pour tout t>0, F(t)= 1/[99.95*e-0.44*t + 0.05] = 20/[1 + 1999e-0.44t].


4. Je calcule la limite de 1/u?


Pour la question 4), on ne calcule pas de limite, il s'agit d'encadrer F(t) pour tout t strictement positif tout simplement en encadrant le dénominateur.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Equations différentielles   Dim 24 Mai - 15:42

Je vais tout d'abord vérifier la rédaction de cette question. Le tout nous donne :

1. --> On suppose que F=1/u est solution de l'équation différentielle (E1): y'=0.022*y*(20-y).
Démontrons que u est solution de l'équation différentielle (E2): y'=-0.44*y+0.022

On a pour tout t strictement positif:
F'(t)=0.022*F(t)*[20-F(t)]
F'(t)=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
avec F'(x) = -u'/u² donc :
-u'(t)/[u(t)]²=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
-u'(t)/[u(t)]²= 0.022/u(t) [(20u(t)-1)/u(t)]
-u'(t)/[u(t)]²= [0.022(20u(t)-1)] / [u(t)]²
-u'(t)/[u(t)]²= (0.44u(t) -0.022) / [u(t)]²
Donc :
-u'(t) * [u(t)]² = [u(t)]² * (0.44u(t) -0.022)
-u'(t) = (0.44u(t) -0.022) (car u ne s'annule pas par hypothèse)
u'(t) = -0.44u(t) +0.022 pour tout t strictement positif DONC :
Donc u est solution de l'équation différentielle (E2) définie par : y'=-0.44*y+0.022

(On a montré que: F solution de (E1) => u solution de E2)

-->Maintenant, on suppose que u est solution de (E2): y'=-0.44*y+0.022.
Démontrons que F=1/u est solution de (E1): y'=0.022*y*(20-y)

J'ai donc pour tout t strictement positif:
u'(t) = -0.44u(t) +0.022 avec f = 1/u donc u = 1/f
-f'(t)/[f(t)]² = -0.44[1/f(t)] + 0.022
-f'(t)/[f(t)]² = -0.44/f(t) + 0.022
-f'(t)/[f(t)]² = (-0.44 +0.022f(t))/f(t)
[-f'(t)/[f(t)]] = -0.44 + 0.022f(t)
-f'(t) = (-0.44 + 0.022f(t)) * f(t)
-f'(t) = -0.44f(t) + 0.022[f(t)]²
f'(t) = 0.44f(t) - 0.022[f(t)]²
f'(t) = 0.022f(t)(20-f(t))
Donc F est solution de (E1)

--> Si F=1/u, alors, on a: F est solution de (E1) si et seulement si u est solution de (E2)


2. (E2) : y' = -0.44y + 0.022 --> de type "y' = ay + b" donc :
y(t) = Ceat + (-b/a) = Ce-0.44t + 0.022/0.44 = Ce-0.44t + 0.05.
On a donc l'ensemble des solutions de (E2) et on sait que F est solution de (E1).
Or si u est solution de (E2) alors F est solution de (E1) d'après la question 1)

[...
i)Quel lien y a-t-il entre u et F par hypothèse de l'énoncer?
ii) Conclusion quel est l'ensemble des solutions de (E1) ?

i) f = 1/u
ii) 1/[C*e-0.44*t + 0.05]



Donc l'ensemble des solutions de (E1) sont les fonctions d"finie pour tout t strictement positif par F(t)=1/u(t) avec u(t)=C*e-0.44t + 0.05 solution de (E2).
D'où l'ensemble des solutions de (E1) sont les fonction définie pour tout t strictement positif par F(t)=1/[C*e-0.44*t + 0.05]

3.
Je cherche donc la valeur de C avec : F(0)=0.01
1/[C*e-0.44*0+ 0.05] = 0.01
1/[C*e0 + 0.05] = 0.01
1/[C + 0.05] = 0.01
1 = 0.01[C + 0.05]
1 = 0.01C + 5*10^-4
[1 -5*10^-4] / 0.01 = C = 99.95

Donc pour tout t>0, F(t)= 1/[99.95*e-0.44*t + 0.05] = 20/[1 + 1999e-0.44t].


4. J'ai beau chercher je vois pas... C'était pas bon ce que j'avais fait?
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MessageSujet: Re: Equations différentielles   Dim 24 Mai - 15:50

Ce que tu as fait c'est calculer pout t=0 et t=20.

Cependant, on veut un encadrement valable pour tout t strictement positif. Donc la démarche est erronée vu que t u commence par fixer des valeurs de t.

Tu voulais prendre la limite à l'infini j'imagine ce qui nous donne limx->+Inf F(t)=20 (car l'exponentielle tend vers 0 en -Infini)

Mais le soucis 'est qu'on ne connaît pas les variatino de F et par conséquent, on ne peut pas savoir si F(t) reste inférieur strictement à 20 ou pas en ne calculant que la limite.

Avec cette phrase, tu pourrais penser à faire une étude de viriation de F ce qui te permettre de déduire q'elle reste bien entre 0 et 20, c'est une première approche à la rigueur qui peut être utile lorsqu'on est complétement bloqué et sans idées.

Cependant, j'ai l'intime conviction que nous ne sommes pas bloqué du tout. Pourquoi?

Pourrais-tu encadrer A(t)=1 + 1999e-0.44t pour t strictement positif en te servant de ce qu'on connaît de la fonction exponentielle. L'encadrement n'a pas besoin d'être très fin, tu peux y aller de bon coeur pour faire l'encadrement.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Equations différentielles   Dim 24 Mai - 16:04

e-0.44t > 0 car l'exponentielle est toujours strictement positive.
1999e-0.44t > 0 car 1999 est positif
1 + 1999e-0.44t > 0
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