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 Spé : Cône et surfaces

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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Spé : Cône et surfaces   Mar 2 Juin - 15:43

Bonjour,

Nous avons donc:

y²=4*(z²-n²)

Si nous arrivons à dire que z²-n² est un entier naturel, on aura montrer que y²=4*p=2*q (avec q=2*p) c'est à dire que 2 divise y².

Et ensuite tu doit avoir un théorème qui te dit que:

Pour un entier a, un nombre premier p, on a:
Si p divise a²
Alors p divise a.

La seul difficulté réside donc dans le fait de montrer que z²-n² est un entier naturel.

Est-ce que jusque là nous sommes d'accord?

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MessageSujet: Re: Spé : Cône et surfaces   Ven 5 Juin - 16:42

Jusque là oui, nous sommes d'accord.
Il faut donc montrer que z²-n² est entier.

Déjà, z² et n² sont positifs car un carré est toujours positif.
Donc si z²>n² on aura un nombre positif.

Mais, pour que z²-n² soit entier il faut que z² et n² soient entiers et là...
Je ne vois pas comment on peut trouver ça..
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Spé : Cône et surfaces   Ven 5 Juin - 17:17

Bonjour,

Alors tu as résumé en gros ce qu'il fallait faire et montrer. Alors pour répondre à ta dernière question, on a relire l'énoncer de cette question 2):

Citation :
2. Soit M(x;y;z) un point du cône dont les coordonnées sont des nombres entiers.
Démontrer que x et y sont de même parité.

Donc je pense qu'on a trouvé ce qui allait être utilisé pour dire que z² et x² sont bien des entiers. Ce qui signifie bien que n² est un entier et que de plus, z²-n² est un entier relatif (c'est à dire positif ou négatif).

D'ailleurs d'une façon général, on en parle pas de parité si nous ne travaillons pas sur des entiers. En effet, quelle serait la parité de 2.16 par exemple? C'est une question qui n'a pas de sens car par définition un nombre pair ou impair est d'abord et avant tout un entier naturel.

Donc maintenant, il faudrait montrer que z²-n² est positif ou nul. Comment faire? Et bien nous allons d'abord regarder ce que nous savons.

Nous savons que les coordonnées de M sont telles que x²+y²=4*z². CE qui nous donne déjà beaucoup d'information entre les trois coordonnées.

En effet, x² et y² sont positifs, par conséquent si on les ajoute on aura: x²≤x²+y² et y²≤x²+y². Ceci normalement ne devrait pas te poser de problème de compréhensions car on ajoute un nombre positif ou nul à un entier (donc positif ou nul) donc l'addition est bien supérieur à chacun des entiers considérés.

On n'a donc par hypothèse: x²≤4z² en particulier (car x²+y²=4z²)

Maintenant, si je considère x pair, on peut donc l'écrire x=2*n avec n un entier. Mais nous avons une restriction sur n car x² vérifie l'inégalité au-dessus.

Par conséquent, (2*n)≤4z² <=> 4n²≤4z² <=> n²≤z²

Est-ce que tu comprends la démarche? On arrive donc au fait que ≤z²-n² et sachant que z²-n² est un entier relatif, on en conclut qu'il s'agit d'un entier naturel.

Conclusion, par quoi est divisible y²? Sachant que nous avons y²=4*(z²-n²).

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Spé : Cône et surfaces   Sam 6 Juin - 19:37

y²=4*(z²-n²)
y² est divisible par 4 soit 22 donc y² est forcément pair.

On a donc x² et y² pair donc la question est à moitié résolue.
Reste à reprendre la démarche avec 2n + 1 si je ne me trompes pas.
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MessageSujet: Re: Spé : Cône et surfaces   Sam 6 Juin - 20:06

Bonsoir,

La question n'esst qu'un quart résolue en fait. eN effet, on vietn donc de montrer que y²=2*q avec q=2*(z²-n²) qui est un entier naturel. Donc y² est bien divisible par deux.

On a un nombre premier 2 qui divise y².

Est-ce que 2 divise y?

Indication: Utiliser la décomposition en facteur premier de y pour s'en convaincre.

Bon courage!

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Dernière édition par Blagu'cuicui le Dim 7 Juin - 8:15, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Spé : Cône et surfaces   Sam 6 Juin - 20:55

y=2*q
avec q=2*(z²-n²)
donc :
y = 2 * 2*(z²-n²)

On a deux fois le facteur deux donc c'est forcément pair
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MessageSujet: Re: Spé : Cône et surfaces   Dim 7 Juin - 8:14

Bonjour,

Désolé, j'ai oublié un carré en route dans mon dernier message car nous avons y²=2*q avec q=2*(z²-n²).

On a donc 2 divise y². Nous ce qu'on voudrait c'est "2 divise y". Or j'affirme que le fait que 2 divise y² suffit pour conclure. Mais peut-être que tu n'as pas vu ce genre de raisonnement (j'ai un doute car c'est sans doute limite programme pour le bac mais bon au cas où je vais écrire la démarche).

Mais on peut le montrer si tu n'en es pas convaincu. Tu sais que tout entier naturel ce décompose en produit de facteur premier. Si je considère une décomposition de y en facteur premier on a:

y=p1a1*p2a2*...*pkak avec pi des nombres premiers distincts deux à deux.

Par conséquent, y²=(p1a1*p2a2*...*pkak)²=p12*a1*p22*a1*...*pk2*ak

Or on sait que 2 divise y²

Il existe donc un entier i compris entre 1 et k tel que 2 divise pi2*ai

Or pi est un nombre premier. Donc il n'est divisible que par 1 ou par lui-même.
Donc pi2*ai est divisible que par des puissance de pi ou par 1.

Conclusion: il existe un entier i compris entre 1 et k tel que pi=2 et 2*ai>0

Donc 2 divise le produit p1a1*p2a2*...*pkak=y (car il divise l'un des facteurs)

D'où 2 divise y <=> y est pair

--------------------


Cela te paraît peut-être complexe si tu n'as pas vu ce genre de raisonnement. Donc je vais t'en proposer un autre.

On avait donc y²=4*(z²-n²) avec z²-n² un entier naturel.

On sait que y est un entier naturel (car le point M a des coordonnées entières). Par conséquent, y=Racine[4*(z²-n²)] est un entier.

Conclusion, Racine[4*(z²-n²)]=2*Racine(z²-n²) est un entier c'est à dire que Racine(z²-n²) est bel et bien un entier naturel (car 2 l'est).

Par conséquent, y=2*m avec m=Racine(z²-n²) entier naturel.

Conclusion, y est pair!


Est-ce que c'est plus clair ainsi? Je te laisse reprendre les calculs pour montrer qu'en supposant x impair, on arrive bien à y impair.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Spé : Cône et surfaces   Dim 7 Juin - 17:51

On a M(x;y;z)
Je dois prouver que x et y sont impairs.
Des nombres impairs s'écrivent sous la forme : 2*n + 1
Mince je ne sais plus par où on avait commencé!
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MessageSujet: Re: Spé : Cône et surfaces   Dim 7 Juin - 19:31

Bonsoir,

Alors, il faut bien commencer par quelque chose alors allons-y. On pose: x=2n+1 et on va tenter de montrer que y est impair sachant que x²+y²=4z².

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Spé : Cône et surfaces   Lun 8 Juin - 16:55

Je pose x = 2n+1
On a : x²+y²=4z² donc :

(2n + 1)² + y² = 4z²
(2n +1)(2n+1) + y² = 4z²
4n² + 4n + 1 + y² = 4z²
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MessageSujet: Re: Spé : Cône et surfaces   Lun 8 Juin - 18:43

Jusque là, je suis d'accord.

Maintenant qu'est-ce qu'on peut dire sur la parité de y² ?

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MessageSujet: Re: Spé : Cône et surfaces   Mar 9 Juin - 15:58

Je pose x = 2n+1
On a : x²+y²=4z² donc :

(2n + 1)² + y² = 4z²
(2n +1)(2n+1) + y² = 4z²
4n² + 4n + 1 + y² = 4z²
y² = 4z² - 4n² + 4n + 1
y² = 4(z² - n² + n) + 1
y² = 2²(z² - n² + n) + 1
y = Racine(2² * (z² - n² + n) + 1)
y = 2 * (z²-n² +n) - 1

--> 2 * (z²-n² +n) sera forcément pair.
--> 2 * (z²-n² +n) - 1 sera forcément impair.
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MessageSujet: Re: Spé : Cône et surfaces   Mar 9 Juin - 16:13

bonjour,

Le passage de la première ligne à la deuxième dans cette citation:

Citation :
y = Racine(2² * (z² - n² + n) + 1)
y = 2 * (z²-n² +n) - 1

est incompréhensible!

De plus, tu as fait une erreur de signe lorsque tu as isolé y². En effet, on a en fait: y²=4*(z²-n²-n)-1

En fait, dès que tu prends la racine carrée ici, tu perds l'information principale:

4* (z²-n² +n) + 1 est de la forme 2*q+1 et q est un entier car (2n+1)²<4z² <=> 1<4*(z²-n²-n) donc z²-n²-n est positif et est un entier par hyptohèse sur n et z.

Du coup, on a le faire que y² est impaire.

Par l'absudre, suppose que y est pair et montre que cela contredit le fait que y² est impaire. (D'ailleurs la méthode par l'absurde pouvait aussi être utiliser pour montrer que si x est pair alors y est pair).

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Spé : Cône et surfaces   Jeu 11 Juin - 17:31

Par l'absurde, suppose que y est pair et montre que cela contredit le fait que y² est impaire. :

Je pose x = 2n
On a : x²+y²=4z² donc :

(2n)² + y² = 4z²
4n² + y² = 4z²
y² = 4z² - 4n²
y² = 4(z²-n²)

4(z²-n²) sera forcément pair
--> y² est pair --> y est pair.
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MessageSujet: Re: Spé : Cône et surfaces   Jeu 11 Juin - 17:51

Bonsoir,

Alors reprenons car là, j'ai l'impression que tu mélanges tout.

Supposons que x est pair.

Par l'absurde supposons que y impair et montrons que cela n'est pas possible:

Soit n et q tel que x=2n, y=2q+1

On a: (2n)²+(2q+1)²=4z² <=> 4n²+4q²+4q+1=4z² <=> 1=4*(z²-q-q²-n²) <=> 1/4=z²-q-q²-n²

Or z²-q-q²-n² est un entier

Absurde car 1/4 n'est pas un entier!

Conclusion: y est pair!

Maintenant, il reste à supposer que x est impair. Et par l'absurde, on suppose que y est pair. Et arriver à une contradiction.

Est-ce plus clair ainsi? Car ce que tu as écrit est bon mais cela montre que si x est pair alors y est pair (et encore tu n'a pas démontré que si y² était pair cela impliquait que y était lui aussi pair même si c'est quasi immédiat d'ailleurs).

Bon courage pour la suite!

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MessageSujet: Re: Spé : Cône et surfaces   Sam 13 Juin - 16:20

Supposons que x est impair.

Par l'absurde supposons que y pair et montrons que cela n'est pas possible:

Soit n et q tel que x=2q+1, y=2n

(2q+1)²+(2n)²=4z²
(2q+1)(2q+1) + 4n² = 4z²
4q² + 4q + 1 + 4n² = 4z²
1 = 4z² - 4q² - 4q - 4n²
1 = 4(z² - q² -q - n²)
1/4 = z² - q² - q - n²

z² - q² - q - n² est un entier
1/4 ne l'est pas.
Conclusion : y est impair.
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MessageSujet: Re: Spé : Cône et surfaces   Sam 13 Juin - 16:29

Nickel !!

Une bonne chose de fait mine de rien Smile. Donc tu as diverse méthode comme tu as pu le voir. Donc par l'absurde ça marche bien ici, sinon, c'est par des critère de divisibilité aussi mais bon, on avait du mal à se comprendre sur le sujet donc j'ai préféré passer par l'absurde au moins c'est plus clair Smile.

Pour la question 3), on connaît une équation de notre cône et on cherche l'intersection avec un plan d'équation z=1. Par conséquent, il s'agit de la résolution d'un système tout simplement contenant les deux équations. On trouve donc un cercle centré en (0,0,1) et d'équation dans le plan (z=1): x²+y²=4=2²
Donc le rayon est 2 dans le plan z=1.

Par conte, on veut les point d'intersection qui ont des coordonnées entières. Donc x, y et z sont entières. On sait que z=1, donc les point sont les points de coordonnées (x,y,1) tel que x et y soient entiers et x²+y²=4.

Jusque là je n'ai fait que redire ce que tu avait sensiblement dit dans ton premier sujet (en corrigeant les erreur dues à l'équation du cône qui était fausse).

Par contre quelles sont les point à coordonnées entières qui vérifie x²+y²=4 (sachant qu'on n'oublie pas qu'on a fait nue question précédente non négligeable ici)?


Bon courage!

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MessageSujet: Re: Spé : Cône et surfaces   Sam 13 Juin - 20:25

On a :
x²+y² = 4z²

Je cherche tous les points à coordonnées entières de l'intersection de notre cylindre avec celui d'équation z = 1.

Cette intersection aura la forme d'un cercle d'équation :
x²+y²= 4 = 2²

Je cherche donc x et y :
x²+y²=4
--> Déjà, on sait que x et y ont même parité.

Par contre, pour determiner x et y...
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MessageSujet: Re: Spé : Cône et surfaces   Sam 13 Juin - 20:41

Alors c'est tout à fait ça, la difficulté va être de déterminer x et y.

nous savons que x ety sont des entiers de même parité. Et on sait aussi que x²+y²=4.

Par conséquent, x²≤4 et y²≤4

Par croissance de la racine carré et positivité de x et y, on a: x≤2 et y≤2.

Je pense que nous allons vite trouver les couples possibles vérifiant ce que nous souhaitons.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Spé : Cône et surfaces   Sam 13 Juin - 20:57

Les négatifs sont comptés?
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MessageSujet: Re: Spé : Cône et surfaces   Sam 13 Juin - 21:12

S'ils sont considérée comme des entiers naturels, on ne prend pas en compte les entiers négatifs. C'est vrai que le teste de l'énoncer n'est pas très clair là-dessus mais vu qu'on parlait de parité dans la question précédente, je pense qu'on peut considérer qu'il s'agit d'entiers naturels et par conséquent que tout est positif.

Bon courage pour finaliser cette questions!

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MessageSujet: Re: Spé : Cône et surfaces   Sam 13 Juin - 21:19

des entiers positifs inférieurs ou égaux à 2..
A part x = 2 et y = 0 je vois pas...
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MessageSujet: Re: Spé : Cône et surfaces   Dim 14 Juin - 12:45

Bonjour,

C'est déjà une bonne chose ça, il y a un point d'intersection donc (2;0) mais il y en a un autre car si x=0 et y=2 ça marche aussi!

Donc il y a exactement deux points d'intersection à coordonnées entières entre le cône et le plan qui sont (0;2) et (2;0). Certaines questions paraissent compliquées alors qu'elles sont simples, il n'y a pas de problème ici en fait.

Pour la question suivante, tu disais que l'intersection allait avoir une forme de triangle mais c'est inexacte. En effet, si tu regarde un cône le seul moyen d'avoir l'union de deux droites c'est de considérer un plan de coupe qui contient l'axe de rotation (et donc le point O qui est le sommet du cône) sinon, nous avons une parabole en fait. Et c'est ce que va nous donner la fin de la question 4.

Mais pour la question 4)b), il s'agit donc de donner une équation de l'intersection dans le repère (I;i,k). C'est à dire qu'on pose y=1 dans l'équation du cône et nous avons exactement ce qu'on cherche.

La dernière question est là pour nous faire retrouver l'équation du type y=ax²+bx+c c'est à dire retrouver l'équation d'une parabole car dans le repère (I;i,k) l'équation n'est pas celle-ci car l'axe de notre parabole n'est pas l'axe des ordonnées comme on en a l'habitude, nous allons donc effectuer une rotation du repère pour ramener les axes là où il faut pour retrouver l'équation que nous connaissons.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Spé : Cône et surfaces   Dim 14 Juin - 18:49

x² + y² = 4z²
Je remplace ici y par 1 :
x² + 1 = 4z²
C'est juste ça?

c. Dans le plan (P) on considère le nouveau repère (I;u;v) avec :
u = 2i + k
et
v = -2i + k.
Déterminer l'équation de la courbe (H) dans ce nouveau repère. Quelle est la nature de (H)?

J'ai pas compris ta méthode...
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MessageSujet: Re: Spé : Cône et surfaces   Dim 14 Juin - 19:09

x²+1=4z² est bien l'équation de notre courbe dans le repère (I;i,k).

La dernière question, je n'ai pas donné de méthode mais j'ai explicité le but de cette question. Car lorsque tu regarde l'équation x²+1=4z² tu es bien incapable de voir qu'il s'agit en fait de l'équation d'une parabole.

Donc on va changer le repère pour retrouver une forme qu'on connaît mieux. On va donc prendre un point M(x;z) dans le repère (I;i,k) et on sait donc que:

IM=x*i+z*k

Maintenant, on voudrait savoir les coordonnées de notre point dans le repère (I;u,v) sachant que u=2i+k et v=-2i+k.

On a les coordonnées de M dans l'ancien repère et on a les nouveau vecteur de base en fonction des anciennes. Il nous reste donc à effectuer le changement de variable c'est à dire exprimer i et k en fonction de u et v.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Spé : Cône et surfaces   Aujourd'hui à 16:34

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