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 [1ère S Maroc] Les Limites à La Marocaine ^^

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MouaDoS

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MessageSujet: [1ère S Maroc] Les Limites à La Marocaine ^^   Mer 10 Juin - 0:03

BsR Tout le Monde !


voila je vous propose 2 Limites , comme dis à la Marocaine Laughing .. elle ne sont pas méchantes Laughing , sauf je dirai la 2ème , qui consiste un très bon bagage Smile


* limx-->0+ Tan[Pi*Cos(x)/2]

** limx-->0 [Sin(x)-x]/x3


allez a vous Laughing ( C'est tiré du Livre scolaire Marocain , Exercice 98 "Pour s'apporfondir" )
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: [1ère S Maroc] Les Limites à La Marocaine ^^   Mer 10 Juin - 23:28

Bonsoir,

La première limite est une limite de fonction composé tout à fait abordable.

Pour la deuxième limite, elle n'est pas faisable de façon brute en première S. Voici une idée de cheminement pour trouver la solution:

On pose pour x dans R\{0}, le fonction F(x)={Sin(x)-x]/x3.
a) Montrer que la limite lorsque x tend vers 0 de F(x) est égale à la limite lorsque x tend vers 0 de la fonction H définie par G(x)=[Cos(x)-1]/[3x²]
b) Montrer que la limite lorsque x tend vers 0 de G(x) est égale à la limite lorsque x tend vers 0 de la fonction H définie par H(x)=[-Sin(x)]/[6x]
c) Conclure

Indication: penser au taux d'accroissement en 0.

Bon courage!

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Dernière édition par Blagu'cuicui le Lun 13 Aoû - 15:05, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: [1ère S Maroc] Les Limites à La Marocaine ^^   Jeu 11 Juin - 15:50

Alors pour la première limite, n'ayant pas vu cette année les théorèmes sur les limites de fonctions composées j'ai cherché une méthode pour faire autrement et j'ai trouvé tout de suite un truc, à vous de me dire si c'est bon :

On sait que tan(x) = sin(x) / cos(x)

Donc tan[π*Cos(x)/2] = sin(π*Cos(x)/2) / cos(π*Cos(x)/2)

* Pour x=0, π*Cos(x)/2 = π*Cos(0)/2 = π/2 (car cos(0)=1)
Donc limx-->0+sin(π*Cos(x)/2) = 1

* Quand x tend vers 0+, cos(x) tend vers 1- donc π*Cos(x)/2 tend vers (π/2)- d'où cos(π*Cos(x)/2) tend vers 0+.


Donc, par quotient, limx-->0+ tan[π*Cos(x)/2] = +∞

Voilà ^^

Sinon pour la deuxième limite je n'ai pas encore cherché.
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: [1ère S Maroc] Les Limites à La Marocaine ^^   Jeu 11 Juin - 16:11

Bonjour,



La réponse est tout à fait juste!



Et d'ailleurs sans t'en rendre compte tu as tout de même calculer la limite d'une fonction composée ici:

limx-->0+sin(π*Cos(x)/2) = 1

Car tu as la fonction G(x)=π*Cos(x)/2 et la fonction F(x)=Sin(x)
ainsi, on définit H(x)=FoG(x)=sin(π*Cos(x)/2)

Et la limite de la fonction H en 0 est égale à la limite de la fonction F(t) lorsque t tend vers la limite de la fonction G(x) lorsque x tend vers 0. Ici, la limite de G est connu car G est continue en 0 et G(0)=π/2.

Et de plus, la limite de F en π/2 est égale à 1.

Bonne démarche en tout cas, tu verras l'année prochaine la théorie sur le sujet mais j'écrirai cela demain dans la suite du sujet par exemple.

Bon courage pour la deuxième limite qui n'est pas des plus simple c'est indéniable (n'étant pas du tout au programme d'ailleurs et très très peu utilisé en terminale S).

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MessageSujet: Re: [1ère S Maroc] Les Limites à La Marocaine ^^   Jeu 11 Juin - 18:16

Lol LE monstre !! ^^
Est-ce que j'aurais pu la faire sans avoir à "décomposer" en sin/cos ?

PS : comment on peut démontrer, pour la deuxième limite, que la limite d'une fonction est égale à la limite d'une autre fonction ? (c'est dans tes questions intermédiaires)
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: [1ère S Maroc] Les Limites à La Marocaine ^^   Jeu 11 Juin - 22:43

Tu n'étais pas obligé de décomposer en effet.

Si tu considères la fonction que nous avons sous les yeux comme H(x)=FoG(x) avec:

G(x)=Pi*Cos(x)/2 et F(x)=Tan(x)

Nous savons par continuité de la fonction G sur R que G(0)=Pi/2.

Par conséquent, la limite lorsque x tend vers 0+ de H est égale à la limite lorsque x tend vers Pi/2 de F c'est à dire La limite de la fonction tangente lorsque x tend vers Pi/2. Et on retrouve bien +Infini.

Ici, tu constates déjà l'égalité entre deux limites car si je l'écrit proprement on a:

Limx-->0+H(x)=Limx-->Pi/2 F(x)= +Infini


Pour la deuxième limite dans les questions intermédiaires, je dis qu'une limite est égale à une autre car par exemple:

Si F est dérivable en a:
Limx-->a (F(x)-F(a)/(x-a)=F'(a)

Si F n'est pas dérivable en a, on a:
Limx-->a (F(x)-F(a)/(x-a)=Limx-->aF'(x)

Par exemple pour la fonction racine carrée qui n'est pas dérivable en 0+, on trouve que:
Limx-->0+ (F(x)-F(0)/(x-a)=+Inf et on a Limx-->0+ F'(x)=Limx-->0 1/[2*Racine(x)]=+Inf

On a bien égalité des deux limites.

Et c'est sur ce principe là qu'il faut chercher pour la deuxième limite quitte à l'appliquer plusieurs fois.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: [1ère S Maroc] Les Limites à La Marocaine ^^   Lun 13 Aoû - 13:28

Bonjour,

Citation :
H(x)=[-Sos(x)]/[6x]

Que veux dire Sos ? Est-ce une faute de frappe (sin(x)) ou une écriture que je rencontre souvent mais dont j'ignore le sens (fog, toj ...)?

Merci ^^
Scientia
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: [1ère S Maroc] Les Limites à La Marocaine ^^   Lun 13 Aoû - 15:04

Bonjour,

Tu as l'oeil et le bon en effet ! Il s'agit bien d'une erreur de frappe. La fonction considérée est la fonction opposée du sinus ici (la dérivée de la fonction cosinus en fait).

J'ai corrigé.

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MessageSujet: Re: [1ère S Maroc] Les Limites à La Marocaine ^^   Lun 13 Aoû - 16:06

Bonjour,

Pour moi, les cosinus, sinus et tangentes sont synonymes de casse-tête. C'est pourquoi ce qui suit peut-être faux ... ^^
Je me suis attaquée à la deuxième limite.

On a :

Donc :


-1/6 ≃ - 0.166666...
Graphiquement, la courbe de la fonction [sin(x)-x]/x3 ressemble à ça :

On voit que lorsque x tend vers 0, la fonction tend vers un réel situé entre 0 et 1, et lorsqu'on zoom :

On s'apperçoit que ce réel est situé plus précisément entre -0.166 et -0.168, ce qui conforte le résultat trouvé par calcul.

Mais encore, il se peut vraiment que mon cheminement soit faux,
Je vous remercie pour votre correction,
Scientia
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MessageSujet: Re: [1ère S Maroc] Les Limites à La Marocaine ^^   Lun 13 Aoû - 18:10

Excellent travail de recherche !

Mis à part, une erreur flagrante d'écriture car ta limite ne peut pas être égale à une fonction qui dépend de la variable qu'on fait tendre vers 0 à savoir x ;-). Il faudrait donc ET PARCE QUE les limites EXISTENT ici, écrire:

" Lim (blabla) = Lim (bidule) "

Sinon, la courbe pour la vérification est une très bonne initiative. Maintenant THE question, est-ce que la fonction que tu as tracé est continue autour de l'abscisse 0 ?

Sans rentrer dans la théorie de la continuité, je te redonne une "définition" (avec les mains dira-t-on)

""""Une fonction est continue lorsque sa courbe représentative n'a pas de trou"""" (c'est à dire qu'on peut la tracer sans lever le crayon)

C'est très intuitif comme façon de concevoir la continuité mais bon, cela donne déjà une bonne approche de celle-ci.


Enfin, pour en revenir à tes calculs, ils sont tout à fait juste mais serais-tu expliciter concrètement maintenant pourquoi les deux limites sont-elles égales après avoir dérivée le numérateur et le dénominateur ? C'est à dire expliciter concrètement les taux d'accroissement pour les rendre visible au correcteur. Il ne faut pas oublier qu'une formule n'est applicable que si elle fait partie du bagage du cours qui t'es donné. Or la formule de l'Hospital (car elle s'appelle comme cela, la formule/propriété que tu viens d'utiliser du monsieur du même nom) se démontre tout de même et heureusement.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: [1ère S Maroc] Les Limites à La Marocaine ^^   Mer 15 Aoû - 12:18

Bonjour,

Désolée pour le retard, mais je n'ai vraiment pas pu répondre ni même faire des maths avant aujourd'hui ^^.

Citation :
Mis à part, une erreur flagrante d'écriture car ta limite ne peut pas être égale à une fonction qui dépend de la variable qu'on fait tendre vers 0 à savoir x ;-)
J'ai pas le droit de mettre le "=" ? Ou il suffit juste d'ajouter votre phrase ? Et d'ailleurs comment prouver avant même de commencer le calcul que les limites existent ?

Citation :
Maintenant THE question, est-ce que la fonction que tu as tracé est continue autour de l'abscisse 0 ?
La fonction [sin(x) - x]/x3 est définie sur R - {0} car le dénominateur ne peut pas être nul. Donc la fonction n'est pas continue autour de l’abscisse 0.

Citation :
Enfin, pour en revenir à tes calculs, ils sont tout à fait juste mais serais-tu expliciter concrètement maintenant pourquoi les deux limites sont-elles égales après avoir dérivée le numérateur et le dénominateur ? C'est à dire expliciter concrètement les taux d'accroissement pour les rendre visible au correcteur.
J'ai bien aimé cette question. Je n'ai pas vraiment eu le temps d'y réfléchir pleinement mais je poste quand même mon raisonnement.

Je rappelle la formule de l'Hospital telle que je l'ai comprise:
limx->ag(x)/f(x) = limx->ag'(x)/f'(x) si et seulement si limx->ag(x)/f(x) est une forme indéterminée de la forme "0/0" ou "∞/∞".

J'ai basé mon raisonnement sur les deux formes indéterminées 0/0 et ∞/∞.

On commence par 0/0 :
Si limx->ag(x)/f(x) est égal à la forme indéterminée 0/0, alors limx->ag(x)=0 et limx->af(x)=0.

Je rappelle la formule du taux d’accroissement (pour une fonction f) : limx->a[f(x)-f(a)]/(x-a).

On cherche donc la limite de g(x) lorsque x tend vers a, sachant que g est dérivable en a, on a : limx->a[g(x)-g(a)]/(x-a) = 0 donc la limite en a existe et on a donc : limx->ag(x) = g'(a).

Maintenant ∞/∞ :
Si limx->ag(x)/f(x) est égal à la forme indéterminée ∞/∞, alors limx->ag(x)=∞ et limx->af(x)=∞.

On cherche donc la limite de g(x) lorsque x tend vers a, et l'on sait que g n'est pas dérivable en a. Soit limx->a[g(x)-g(a)]/(x-a) = ∞. [Donc limx->ag'(x) = ∞. Moi ça me saute pas aux yeux .... Donc limx->a[g(x)-g(a)]/(x-a) = limx->ag'(x) = ∞]?

J'ai mis en rouge tous les "=" qui me dérangent (à vrai dire il y a pleins de choses qui me dérangent dans ce que je viens d'écrire ..., tout était clair dans ma tête, et une fois que j'ai voulu démontrer cette formule, je me suis même demandée ce qu'était une limite ... ).

Merci beaucoup,
Scientia
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MessageSujet: Re: [1ère S Maroc] Les Limites à La Marocaine ^^   Mer 15 Aoû - 20:57

Bonsoir,

Pour ma remarque, il s'agit d'écrire cela:

Limx->0 [Sin(x)-x]/x3 = Lim x->0 [Cos(x)-1]/[3x²]

Il s'agit d'une égalité sur les limites et non sur des fonctions. C'est à dire que les deux fonctions tendent vers la même limite.

En effet, tu as bien compris l'idée de l'Hospital qui est toute bête mais il fallait y penser :

On a:

[Sin(x)-x]/x3 = [ Sin(x)-x - [Sin(0) - 0 ] ] / [ x - 0 ] * [ x - 0 ] / [x3 - 03]

On retrouve donc explicitement les deux taux d'accroissement des deux fonctions P(x)=Sin(x)-x et Q(x)= x3 qui tendent respectivement vers le nombre dérivé en 0 des deux fonctions. Or ces deux fonctions fonction en 0 sont toujours égale à 0 et du coup, nous ne pouvons pas écrire une égalité sur des nombres dérivée car 0/0 est une forme indéterminée mais nous pouvons dire par contre que la limite est la même entre le quotient des deux fonctions et le quotient des fonctions dérivées.
Puis on recommence.

Pour l'autre possibilité d'appliquer la règle de l'Hospital, il s'agit d'une limite des deux fonctions qui sont égales à l'infini. Comment faire ? Et bien, on effectue le même raisonnement vu que la fonction est dérivable, donc les deux quotients tendront vers le nombre dérivée de la fonction.

Bon, il s'avère qu'en fait, il y a un truandage dans ce qui est écrit ci-dessus car je suppose que la limite du quotient de deux fonctions dérivées donnera une limite calculable.

Pour être réellement correcte, il faut partir de la fin c'est à dire appliquer la règle de l'Hostpital pour la fonction H(s)= -Sin(x)/(6x) dont les deux dérivées tendent vers une limite finie qui ne donne pas une forme indéterminée. Ainsi, on peut avoir accès à la limite de ce quotient là.
Par effet dominos, on a donc accès à la limite de la fonction (-Cos(x)-1)/ (3x²) en appliquant la règle de l'Hospitale vu que le quotient des dérivée admet une limite (que nous avons calculé). Et enfin, avoir accès toujours par la règle de l'Hospital à la fonction de départ. Il suffit en fait de trouver un quotient qui admet une limite pour remonter et appliquer la règle de l'Hospital autant de fois qu'il le fallait pour être tout à fait rigoureux.

Enfin, en effet, la fonction n'est pas contenue en 0 car pas définie en 0 c'est un fait. Mais, en mathématiques, on peut définir une fonction à l'aide de deux autres c'est à dire qu'on peut définir une nouvelle fonction qui elle sera continue:

Soit T la fonction définie sur R par:

Pour tout x dans R,
T(x)= [Sin(x) - x] / x3 pour x dans R\{0} et -1/6 pour x=0

C'est ce qu'on appelle un prolongement de la fonction par continuité. Et cette nouvelle fonction est bien continue car la limite de la fonction x |-> [Sin(x)-x] / x3 en 0 est égale à -1/6

Voilà en gros l'une des utilités du calcul de limite (outre calculer des nombres dérivées) c'est à dire prolonger si cela est possible des fonctions pas continue partout en fonction continue sur R.

Bonne continuation!

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MessageSujet: Re: [1ère S Maroc] Les Limites à La Marocaine ^^   Jeu 16 Aoû - 15:15

Bonjour,

J'ai encore deux petites questions :

Citation :
[Sin(x)-x]/x3 = [ Sin(x)-x - [Sin(0) - 0 ] ] / [ x - 0 ] * [ x - 0 ] / [x3 - 03]

On retrouve donc explicitement les deux taux d'accroissement des deux fonctions P(x)=Sin(x)-x et Q(x)= x3 qui tendent respectivement vers le nombre dérivé en 0 des deux fonctions.

Sachant que la formule du taux d'accroissement est (pour une fonction f) : [f(x)-f(a)]/(x-a), je ne comprends pas comment [ x - 0 ] / [x3 - 03] pourrait être le taux d'accroissement de la fonction Q(x) = x3.

Si j'applique la formule, j'ai [Q(x)-Q(0)]/(x-0) <=> (x3 - 0)/x <=> x3/x : en gros l'inverse de x/x3. Mais c'est vrai que si on multiplie les deux quotients que vous avez donné, on se ramène à [Sin(x)-x]/x3.

Citation :
Pour tout x dans R,
T(x)= [Sin(x) - x] / x3 pour x dans R\{0} et -1/6 pour x=0

C'est ce qu'on appelle un prolongement de la fonction par continuité. Et cette nouvelle fonction est bien continue car la limite de la fonction x |-> [Sin(x)-x] / x3 en 0 est égale à -1/6
C'est-à-dire que si une fonction admet une limite en un x0 et qu'elle n'est pas définie en x0, elle est tout de même continue ?

Merci beaucoup pour vos explications,
Scientia
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MessageSujet: Re: [1ère S Maroc] Les Limites à La Marocaine ^^   Jeu 16 Aoû - 17:34

Bonjour,

Citation :
je ne comprends pas comment [ x - 0 ] / [x3 - 03] pourrait être le taux d'accroissement de la fonction Q(x) = x3.

En effet, j'ai été un peu rapide, alors je détaille:

[ x - 0 ] / [x3 - 03] = 1 / [ [x3 - 03 [ x - 0 ] ]

par la propriété sur l'inverse d'une fraction: 1/ [a/b] = b/a

Ainsi, le numérateur tend vers 1 en 0 et le dénominateur tend vers la dérivée de la fonction Q en 0.

Citation :
C'est-à-dire que si une fonction admet une limite en un x0 et qu'elle n'est pas définie en x0, elle est tout de même continue ?

Non. En fait, la fonction elle-même ne peut être continue car elle ne l'est pas à la base peut importe la valeur de la limite au point où elle n'est pas continue. Cependant, il est possible de définir une autre fonction qui elle sera continue à partir de celle-ci en ajoutant au point qui pose problème la limite si celle-ci est finie.

Bonne continuation!

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MessageSujet: Re: [1ère S Maroc] Les Limites à La Marocaine ^^   Jeu 16 Aoû - 18:45

Bonsoir,

J'ai compris ^^. Merci beaucoup pour vos explications.

Scientia
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MessageSujet: Re: [1ère S Maroc] Les Limites à La Marocaine ^^   

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[1ère S Maroc] Les Limites à La Marocaine ^^
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