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 Récapitulatif sur les fonctions

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MrTheYo



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Localisation : FRANCE
Date d'inscription : 20/11/2007

MessageSujet: Récapitulatif sur les fonctions   Dim 21 Juin - 11:12

Salut!
J'ai fait un récapitulatif sur les fonctions et j'aimerais que tu y jettes un oeil voir si tout est correct et voir si je n'ai rien oublié.



* Prouver qu'une droite d'équation y est asymptote de la courbe de la fonction f(x) :
--> Calculer f(x) - y.
--> Calculer la limite de cette différence : en + Infini, elle doit faire 0.


* Prouver qu'un point M est majorant de la fonction f(x) :
--> Calculer M - f(x).
-->Chercher le signe de la différence : si positif alors, M majorant de f(x).
(Remarque : pour un minorant, je suppose que c'est l'inverse non?)


* Calcul de limites si fonction indéterminée : "0/0" ; "Inf - Inf" ; "0 * Inf" ; "Inf/Inf" :
--> Pour un polynôme, on factorise le terme de plus fort degré et on calcule sa limite qui sera la même que celle du polynôme (marche aussi pour un quotient de polynôme : fonction rationnelle).
--> Pour les racines, on emploie la quantité conjuguée :
([ Racine(a) - Racine(b) ][ Racine(a) + Racine(b) ]) / [Racine(a) + Racine(b)]
--> Limite de fonction composée.
--> Théorème des gendarmes.

Après, je ne vois rien d'autres... Y a-t-il des choses que j'ai oubliées?

Merci d'avance!
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Récapitulatif sur les fonctions   Dim 21 Juin - 13:30

Bonjour,

J'ai repris ton message et l'ai modifié et complété au fur et à mesure. S'il y a des choses que tu ne comprends pas ou dont tu ne te souviens plus n'hésite pas à poser tes questions.


* Prouver qu'une droite d'équation y=ax+b est asymptote de la courbe de la fonction f(x) en +∞ (toujours préciser où on cherche une asymptote):
--> Calculer f(x) - y.
--> Calculer la limite de cette différence : en + Infini, elle doit faire 0.


* Prouver qu'un point M (M est un nombre et pas un point, on parle d'ailleurs de droite d'équation y=M) est un majorant (il n'est pasl e seul majorant) de la fonction f (on parle de majorant d'une fonction et non du nombre f(x)) :
--> Calculer M - f(x).
-->Chercher le signe de la différence : si positif pour tout x alors, M majorant de f. (Si pour tout x dans l'ensemble considéré, M-f(x)≥0 alors pour tout x dans l'ensemble considéré, M≥f(x) ce qui est la définition d'un majorant).
Remarque: un majorant n'est pas forcément atteint!!!! C'est à dire que si M est un majorant de f alors il n'existe pas forcément de x tel que f(x)=M (si il en existe un, alors M est un maximum de la fonction)

(Remarque : pour un minorant, je suppose que c'est l'inverse non?)

Si la différence est négative pour tout x dans l'ensemble considéré, cela signifie que M est un minorant de la fonction f (on dit aussi "f est minoré par la droite y=M)"


* Calcul de limites si fonction indéterminée : "0/0" ; "Inf - Inf" ; "0 * Inf" ; "Inf/Inf" :
--> Pour un polynôme, on factorise par le terme de plus fort haut degré et on calcule sa limite qui sera la même que celle du polynôme (marche aussi pour un quotient de polynôme : fonction rationnelle). ATTENTION: cette méthode est valable SEULEMENT pour des calculs de limite en +∞ ou -∞

--> Pour les racines, on emploie la quantité conjuguée :
([ Racine(a) - Racine(b) ][ Racine(a) + Racine(b) ]) / [Racine(a) + Racine(b)] = (a-b) / [Racine(a) + Racine(b)]
Cette méthode est aussi valable pour des quotient de racine où on cherche à enlever les racine du dénominateur par exemple.


--> Limite de fonction composée.
--> Théorème des gendarmes.

--> Limite d'un taux de variation qui tend vers la valeur de la dérivée de la fonction au point considéré.
Exemple: Limx-->0 Sin(x)/x = Limx-->0 [Sin(x)-Sin(0)]/ [x-0] = Limx-->0 Cos(x)=Cos(0)=1 (car "[Sin(x)]'=Cos(x)")

Après, je ne vois rien d'autres... Y a-t-il des choses que j'ai oubliées?


Étude de fonction:
a) Ensemble de définition et de dérivation de la fonction
b) Dérivation de la fonction sur son ensemble de dérivation
c) Recherche du signe de la dérivée
d) Tableau de variation de la fonction
e) recherche de limite aux bornes de l'intervalle (si nécessaire et si demandé)

Connaître les propriété des fonction logarithme népérien et exponentielle (sens de variation, fonction dérivée, propriétés fondamentales, limite particulière)

Une fonction croissante ne change pas le signe des inégalité
Une fonction décroissante change le signe des inégalité

Résolution d'équation:
a) Polynôme du second degré (calcul du discriminant, ...)
b) Théorème des valeurs intermédiaires (fonction strictement croissante (ou décroissante) qui change de signe entre deux point s'annule entre ses deux points)


après on peut parler de tout ce qui touche à la dérivation et à l'intégration mais bon ce sont d'autre chapitre en quelque sorte donc je pense qu'ici nous avons déjà un bon résumé du programme sur les fonction qu'il faut savoir en effet.

Bon courage pour la suite!

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MrTheYo



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MessageSujet: Re: Récapitulatif sur les fonctions   Dim 21 Juin - 16:22

Et pour prouver qu'une limite finie existe, on se sert de :
f(x+h) - f(x) / h non?
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Blagu'cuicui
Admin'cuicui


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MessageSujet: Re: Récapitulatif sur les fonctions   Dim 21 Juin - 16:39

Ha non!

Ce que tu écris estl e taux d'accroissement de la fonction f: pour un nombre réel x et un h strictement positif, le taux d'accroissement est:

[F(x+h)-F(x)]/h

Si la limite lorsque h tend vers 0 de ce taux d'accroissement existe cela signifie que la fonction est dérivable en x. ET on appelle F'(x) la valeur de cette limite.


Pour savoir si une limite existe ou pas, il y a des méthodes simple comme croissante+majorée ou décroissante+minorée par exemple. arès c'est au cas par cas qu'il faut regarder, il n'y a pas de méthode précise pour savoir si une limite existe ou pas en fait mise à part celel cité juste avant.

Bon courage!

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MrTheYo



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MessageSujet: Re: Récapitulatif sur les fonctions   Dim 21 Juin - 17:04

Ah d'accord...
Sinon, pour les complexes, peux-tu faire un petit récapitulatif stp?
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MessageSujet: Re: Récapitulatif sur les fonctions   Aujourd'hui à 4:04

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