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 [TERM S] Exercice de spé Pondichéry 2009

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Nakor



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MessageSujet: [TERM S] Exercice de spé Pondichéry 2009   Dim 21 Juin - 16:56

Voici le lien du sujet de bac, c'est l'exercice 2.

Même avec le corrigé qui est disponible sur le même site ici, je ne comprends pas la question 3.a).

J'avais le début de l'idée qu'ils mettent dans le corrigé ( zn+1 = (1-i)zn + i et montrer que c'est une suite géométrique), mais ensuite je comprends pas comment ils enchainent le raisonnement avec le point invariant ?

Merci,

Nakor.
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: [TERM S] Exercice de spé Pondichéry 2009   Dim 21 Juin - 17:27

Bonsoir,

Alors en fait le piège est justement de croire que (zn) est une suite géométrique. En effet, un suite (un) géométrique à un terme général qui s'écrit un=u0*qn.

Or ici, on nous dit de montrer que zn=1-(1-i)n.

Donc on constate ici que si on veut voir une suite géométrique, il faut regarder la suite un=zn-1

En effet, si leur formule est juste, on aura (un) suite géométrique de premier terme u0=-1 et de raison q=1-i. Ainsi un=(-1)*(1-i)n et sachant que un=zn-1, on retrouve bien zn=1-(1-i)n.

Donc cette idée là si on l'a c'est la plus rapide car comme tu l'écris, on sait que zn+1=(1-i)*zn+i

Donc un+1=zn+1-1=(1-i)zn+(i-1)=(1-i)*(zn-1)

Conclusion, un+1=(1-i)*un Donc (un) est une suite géométrique de raison q=1-i et u0=z0-1=0-1=-1

On retrouve bien ce qu'on cherche.

Bon maintenant, il faut savoir que les corrigés trouvé sur le net donne UNE démonstration possible (pour les site les plus sérieux car dès fois il y a des erreurs dans les corrections mais ici ce n'est pas le cas). Ils n'ont pas vocation a donner toutes les preuves possibles et toutes les explications possibles. Ici le soucis c'est que le correcteur ce la joue correcteur fatigué et écrit peu de détails ce qui peut gêner en effet. D'ailleurs, il revient à ce que j'ai fait au-dessus mais de façon plus rapide et plus automatique, on va dire.

En effet, que savons-nous d'une similitude à centre?

Il s'agit d'une transformation qui fait tourner un point par rapport au centre puis qui multiplie la distance au centre par un facteur k. D'ailleurs,o n peut apprendre la formule d'une similitude comme suit:

Une similitude S de centre C(ω), de rapport k et d'angle θ envoie un point M(z) sur un point M'(z') par la relation:
z'=k*e[su]i*θ[/sup]*(z-ω)+ω

Cette formule tombe du ciel dans votre court mais elle se démontre (certain professeur démontre cette formule d'ailleurs):

On sait qu'une Une similitude S de centre C, de rapport k et d'angle θ est telle que:

CM=k*CM'
(CM,CM')=θ [2*pi]

Ce qui s'écrit en complexe:

|z-ω|=k*|z'-ω|
Arg[(z'-ω)/(z-ω)]=θ <=> Arg(z'-ω)-Arg(z-ω)=θ <=> Arg(z'-ω)=θ+Arg(z-ω)

On a le module et l'argument du complexe z'-ω, on peut donc l'écrire en complexe: z'-ω=|z'-ω|*ei*Arg(z'-ω)

On remplace par leur valeur ce qui nous donne: z'-ω=k*|z-ω|*ei*[θ+Arg(z'-ω)]=k*ei*θ*|z-ω|*ei*Arg(z-ω)

Or |z-ω|*ei*Arg(z-ω)=z-ω (c'est l'écriture complexe de z-ω)

Conclusion: z'-ω=k*ei*θ*(z-ω)

Et c'est sur cette formule écrite ainsi quel e correcteur fait la différence. En effet, il écrit en fait: z'-ω=A*(z-ω) et sachant qu'ici ω=1 et A=1-i la conclusion est immédiate.

En espérant que ceci soit plus clair!

Bon courage pour la suite!

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Nakor



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MessageSujet: Re: [TERM S] Exercice de spé Pondichéry 2009   Dim 21 Juin - 18:17

Ah oui ok ! Merci ! (la démonstration de la formule on l'avait vu en cours il me semble)
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MessageSujet: Re: [TERM S] Exercice de spé Pondichéry 2009   Aujourd'hui à 16:32

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[TERM S] Exercice de spé Pondichéry 2009
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