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 problème sur le calcul d'une primitive

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tartagliona



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MessageSujet: problème sur le calcul d'une primitive   Mer 9 Sep - 21:41

Bonjour à tous !

Comme l'indique le sujet du post, j'ai un problème sur le calcul d'une primitive, le pire,c'est que je suis sûre de ne pas m'être trompé... Mais quand je demande au prof si il n'y a pas une erreur dans l'énoncé il me dit que je devrait rester plus concentré...

Je vous appel à l'aide (siouplaît Sad ) !

Voici la fonction : f(x) = (1+3x) / (x^3 + x + racine de 3)

J'ai voulu faire ressortir la forme u'/u pour pouvoir primitiver en ln u, mais quand je dérive le dénominateur j'arrive à 1 + 3x²...
C'est là que ça bloque, comment supprimer un x à 3x² sans que ça touche le 1...c'est pas juste impossible ?

Merci à tout ceux et à toutes celles qui pourront m'aider à sortir des abysses !
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: problème sur le calcul d'une primitive   Mer 9 Sep - 22:15

Bonsoir et bienvenu parmi nous!

Alors je vais plaider ta cause pour ma part. En effet, il y a plusieurs moyen de calculer des primitives de fraction rationnelle (c'est à dire le quotient de deux polynômes):

- La première façon est la méthode direct c'est à dire qu'on remarque tout de suite qu'il s'agit de la dérivée d'un logarithme

- La deuxième repose sur la décomposition en élément simple du dénominateur. C'est à dire qu'on cherche à factoriser un maximum le dénominateur et ensuite on essaie d'écrire notre faction comme une addition de faction avec ces éléments simples au dénominateur.

Je vais te donner un exemple pour la deuxième méthode:

1/(x²-1) a pour racine +1 et -1

Ainsi on peut écrire: 1/(x²-1)=1/[(x-1)*(x+1)]= (1/2)*[1/(x-1) - 1/(x+1)]= (1/2)*1/(x-1) + (1/2)*1/(x+1)

Et je peux maintenant calculer les primitives des deux termes de l'addition.


Il y a une dernière méthode mais qui n'est pas vu en terminale car on ne voit pas encore la fonction x-->arctan(x) qui a pour dérivée 1/(1+x²) par exemple.

Et ici, ton polynôme du 3ème degré n'a pas de solution évidente et n'admet qu'une seule solution réelle qui a une tête assez moche et qu'on peut calculer si tu veux (il y a des méthodes pour calculer les racines des polynômes du troisième degré). Par conséquent, la décomposition en élément simple risque fort d'être compromise et il y a donc de forte chance pour qu'il y ait une erreur d'énoncer (soit il manque un carré au numérateur soit ce n'est pas un cube au dénominateur mais un carré mais le premier reste d'ailleurs plus probable).

Après, il se peut qu'il y ait une méthode que j'ignore ou que je n'ai pas vu pour calculer cette primitive (à moins qu'il y ait des questions intermédiaires dans cette exercice?). En tout cas si c'est le cas, n'hésite pas à l'écrire lorsque tu auras la correction, je ne suis pas infaillible après tout mais apprendre est toujours intéressant Smile. Par contre, on peut toujours regarder comment calculer la racine réelle du dénominateur pour voir ce que donnerait la décomposition ne élément simple de cette fraction.

Bonne courage pour la suite!

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tartagliona



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MessageSujet: Re: problème sur le calcul d'une primitive   Mer 9 Sep - 22:45

Merci infiniment de m'avoir répondu...et aussi tard surtout ! Wink

J'ai, comme tu l'as conseillé, essayé de décomposer le numérateur...mais j'arrive à quelque chose de pas très fructueux.
J'ai aussi essayé de factoriser le dénominateur, mais pour cela j'ai besoin de connaitre une solution évidente...que je ne trouve pas ! Tu as l'air de t'y connaître (mieux que moi en tout cas !). Peux-tu s'il te plaît me donner un exemple pour que je la cherche par moi même ?

Je crois que je vais redemander à mon prof de vérifié s'il ne s'est pas tromper (le plus mielleusement possible)...

Au fait, je suis en bts (je connais arctan), j'ai poster le sujet dans la partie lycée car je sais que les terminales font des primitives (j'espère que ça ne pose pas de problème).

Merci encore !
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: problème sur le calcul d'une primitive   Jeu 10 Sep - 17:51

Bonsoir,

Il n'y a pas de soucis pour pour l'endroit où tu as poster car en effet, je vais juste le préciser qu'il s'agit d'un exercice "pour aller plus loin" en quelque sorte (et dans l'état actuel, on va pas bien loin d'ailleurs xD).

Alors, on sait que lorsqu'un polynôme à coefficients réels admet une racine complexe alors le conjugué de cette racine est aussi racine du polynôme P(z)bar=0 <=> P(zbar)=0

Sachant qu'un polynôme du troisième degré à 3 racines au maximum, il a donc forcément une racine réelle. Déjà cela nous donne l'existence d'une racine (qui est loin d'être évidente ici comme tu vas le constater).

Alors pour trouver maintenant la racine réelle, il va falloir se ramener à ce qu'on sait faire c'est à dire résoudre des équations du second degré et non du troisième degré. La première chose à faire lorsqu'on a une équation du type a*x3+b*x²+cx+d=0 c'est de se ramener à l'équation X3+p*X+q=0. On a de la chance ici nous sommes déjà dans cette configuration là. Mais sinon, pour s'y ramener rien de plus simple, on considère que les deux premiers termes ax3+bx² est le début d'un cube et ainsi on peut supprimer le terme en x² tout simplement (comme l'expression canonique lorsqu'on a des équations du second degré).

A partir de là, il va falloir connaître une astuce de calcul. La méthode que je te propose est en fait la méthode de Cardan (ils étaient plusieurs sur le sujet mais bon c'est lui dont on se souvient le plus souvent). Et l'astuce réside dans le fait de considérer deux nouvelles variables quelconques u et v telles que z=u+v soit solution de notre équation du troisième degré.

On raisonne donc par analyse synthèse c'est à dire que dans un premier temps on suppose que z=u+v est solution et on va trouver des conditions nécessaires pour que cela soit vraie et on vérifiera après si ces conditions sont suffisantes. Pour trouver ces conditions nécessaires, je te conseille de calculer (u+v)3 et le but va être d'expliciter a et b tel que (u+v)3+a*(u+v) +b =0. Cela va revenir à exprimer u3+v3 en fonction de q et u*v en fonction de p.

Nous verrons la finalisation lorsqu'on sera arrivé là.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est pas claire.

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MessageSujet: Re: problème sur le calcul d'une primitive   Mer 30 Sep - 13:54

Bonjour !

Des nouvelles de ce devoir ! Après avoir demandé une seconde fois à mon prof de revoir son énoncé, et après qu'il ait remarqué après des semaines de correction que toute la classe ne trouvait pas la solution, il a finalement remarqué ou étais son erreur et s'en est excusé auprès de la classe.... Rolling Eyes Rolling Eyes Rolling Eyes

C'était donc bien un carré qu'il y avait au numérateur !

Je remercie donc Blagu'cuicui de m'avoir soutenu dans cette terrible épreuve.

J'ajoute qu'il m'a été très difficile de résoudre le polynôme du dénominateur, voir disons-le franchement carrément impossible ! Pourrai-tu, s'il te plaît, me rassurer en me disant que je n'aurai pas besoin de résoudre ce type de polynôme pendant mon bts ? Je reprends la fac l'année prochaine (architecture) et rien que l'idée d'être confronté a ce type d'exercice m'effraie !

Merci encore ! cheers
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: problème sur le calcul d'une primitive   Mer 30 Sep - 17:20

Bonsoir!

Comme quoi, on ne peut pas tout gérer non plus. Cependant, l'avantage c'est qu'on a mis en place quelques réflexions intéressantes justement parce que l'exercice n'était pas trivial en soi ce qui je trouve n'est pas un mal après tout Wink.

Sinon, la seul chose exigible en terminale (et pour toi en BTS aussi) c'est de savoir trouver une valeur approchée de la solution d'une équation du troisième degré. C'est à dire faire une étude de fonction puis utiliser un logiciel/calculatrice pour approcher la valeur ou sinon, utiliser le théorème des valeur intermédiaires pour encadrer la solution. Mais connaître la méthode de Cardan-Bombelli n'est pas exigible du tout ne t'inquiète pas et moi-même je ne la connaît pas par coeurs et je suis obliger de refaire les manipulation à la main pour retrouver les astuces de calcul qui ne sont pas évidentes donc encore moins exigible et surtout en terminale.

Ce qu'il faut se rappeler c'est que si la racine n'est pas évidente (genre -2, -1, 0, 1, 2 voire peut-être -3 et 3 mais ça commence à faire beaucoup) c'est qu'on ne demande pas de résolution pure mais une valeur approchée ou sinon, on vous guidera pour effectuer la résolution tout simplement.

Mais, il ne faut pas être effrayé par se genre d'exercice car c'est sur ce genre d'exercice qu'on comprend mieux les choses car on est réellement obliger de mobiliser nos connaissance au service d'un problème concret qui nous tiens tête et c'est là qu'on vois tout l'intérêt de comprendre ce qu'on fait lorsqu'on applique tel ou tel théorème ou qu'on est dans telle ou telle situation et non d'appliquer bêtement des méthodes toutes faites. Cela permet donc d'avoir un certain recule par rapport à notre propre savoir d'une part et ensuite cela permet aussi d'avoir un certain intérêt non rébarbatif ou hyper cadré de faire des mathématiques et d'être satisfait lorsqu'on a trouver car la solution n'était pas évidente Smile.

Bon courage ne tout cas pour la suite!

ps: tu peux toujours proposer une résolution de ton exercice avec l'énoncer modifier même si cela est plus facile, l'exercice reste intéressant comme application de cours en tout cas.

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MessageSujet: Re: problème sur le calcul d'une primitive   Mer 30 Sep - 20:07

bonsoir !

Effectivement, tu n'as pas tort, résoudre cet exercice avec le mauvais enoncé ne me fera pas de mal...j'avais déjà commencé avec tes indications et je dois avouer que le nombre de ligne sur mon brouillon ma laissé penser que je m'étais tromper quelque part. Je dois être certainement habitué à factoriser des polynômes en deux temps trois mouvement...

En tout cas je vais me remettre dessus !

Avec la version "énoncé corrigé", F(x)= ln (x^3 + x + racine de 3)

Je termine un autre devoir et je me remets dessus !
Merci pour tout !
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: problème sur le calcul d'une primitive   Mer 30 Sep - 20:16

Alors il est vrai ton mensonge? Razz.

En effet, es-tu sur de ta solution avec l'énoncer corrigé? J'exagère un peu mais il y a une erreur de rigueur qui coûte très cher!! En effet pour x=-2, on a:

(-2)3+(-2)+Racine(3)= -8 - 2 +Racine(3) = -10+Racine(3)<0 !!!! Or la fonction logarithme népérien n'est pas définie sur les négatif !!! Attention donc aux erreurs "bêtes" de fin de calcul Smile.

Je te laisse corriger ton erreur.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: problème sur le calcul d'une primitive   Mer 30 Sep - 21:38

euhhh Question Question

c'est égal à ln (x3 + x + racine de 3) + constante ??????

c'est ça j'ai oublié la constante... cyclops
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: problème sur le calcul d'une primitive   Jeu 1 Oct - 13:43

Bonjour,

Ca ne change rien la cosntante au fait que pour x=-2 ce qu'il y a dans le logarithme est totalement négatif ce qui est donc largement en dehors de la définition du logarithme népérien, non? Vu que celui-ci est définie sur ]0;+∞[.

Ta réponse est une erreur classique (c'est d'ailleurs pour cela que je te demandais la réponse dansl 'espoir de ne pas voir la faute Wink).

En effet sur ]-∞;0[ quelle est la primitive de 1/x ??? (La primitive existe bien entendu, je ne suis pas si fourbe que cela).

Bon courage!

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