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 [Term S] Comportement d'une suite [Exo 2]

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Mirabelle



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MessageSujet: [Term S] Comportement d'une suite [Exo 2]   Mer 16 Sep - 19:29

Rebonjour !

Je poste deux sujets l'un à la suite de l'autre, en précisant le numéro de l'exercice dans le titre du sujet. J'éspère que ça n'embrouillera personne ? Si ce n'est pas assez clair, je pourrais changer..

Alors, pour ce deuxième exercice, je suis bloquée dès le début pour une bête histoire de formule.
Voici l'énoncé :

Citation :
On considère la suite (un) définie par :
u0 = 8
un = racine carrée de (un-1 -1)² + 1 pour n > ou égal à 1. (la racine carrée englobe tous les termes).

1) Etudier les variations de la fonction f définie sur [0 ; + l'infini[ par f(x) : racine carrée de (x-1)²+1 puis représenter graphiquement les huits premiers termes de la suite (un). Que peut-on conjecturer pour cette suite ?

2) Etablir le sens de variation de (un).

3) Démontrer que (un) est minorée par 1, puis déterminer sa limite.

Alors voilà, comme dis plus haut je bloque dès la première question.

Citation :
1) Etudier les variations de la fonction f définie sur [0 ; + l'infini[ par f(x) : racine carrée de (x-1)²+1 puis représenter graphiquement les huits premiers termes de la suite (un). Que peut-on conjecturer pour cette suite ?

Pour étudier le sens de variation d'une fonction, je passe par sa dérivée. Seulement voilà, avec les formules de dérivation vues en première je crois que je ne peux pas dériver celle-là.. je me trompe ?

u(ax + b) ' = au' (ax+b) Est la formule la plus proche mais elle ne convient pas.

Une fois la dérivée faite je saurais continuer la question, il me manque juste cette foutue formule Neutral
Est-ce moi qui me débrouille mal ou bien le prof cherche à nous faire 'découvrir' quelque chose de nouveau par nous même ?

Merci d'avance pour votre aide,
bonne soirée !

Mirabelle
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: [Term S] Comportement d'une suite [Exo 2]   Mer 16 Sep - 20:37

Il y a toujours plusieurs manière de trouver la monotonie d'une fonction. La dérivation est la plus directe dans le sens où on ne se pose pas de questions, on dérive ne routine et on avance mais ce n'est pas la seule façon de conclure.

Ici, il s'agit d'une fonction composé du type √u avec u une fonction. Dont la dérivée est u'/(2*√u) mais si tu n'a pas vu cette formule c'est qu'il doit y avoir un autre moyen de conclure.

Quelles sont les moyens que tu connaîs pour montrer la croissance ou la décroissance d'une fonction sur un intervalle?

Bon courage!

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Mirabelle



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MessageSujet: Re: [Term S] Comportement d'une suite [Exo 2]   Jeu 17 Sep - 17:20

Cette formule est prévue au programme de terminale ? ou de première ? Je ne la trouve pas dans mes formules non.. Neutral

Je me souviens du chapitre sur les composées de fonctions, avec les f "rond" g par exemple..
J'ai tenté :

f(x) = racine carrée de (x-1)² + 1

Soit u : x -> (un-1 -1)² + 1 sur R
Soit v : x -> racine carrée de x sur [ 0; + infini [

Je cherche les variations de : (un-1 -1)² + 1

(un-1 -1)² > 0 car un carré est toujours positif
1 > 0
Donc (un-1 -1)² + 1 > 0 et donc u(x) est à valeurs dans [0 ; + l'infini [ et est strictement croissante.

la fonction racine carrée est une fonction de référence, strictement croissante.

u(x) et v(x) sont donc toutes deux croissantes ==> donc la fonction f(x) est croissante également.




En représentant graphiquement la fonction sur ma calculatrice, je vois que cette fonction est décroissante jusqu'à x=1 puis croissante.
Or dans l'énoncé il est bien précisé : un = racine carrée de (un-1 -1)² + 1 pour n > ou égal à 1.

Cette manière de faire est-elle bonne ?
Merci !

Bonne soirée
Mirabelle
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MessageSujet: Re: [Term S] Comportement d'une suite [Exo 2]   Jeu 17 Sep - 19:25

La dérivation de la fonction racine carrée est au programme de terminale sauf erreur. Ce qui est au programme de 1ère S c'est la dérivée de la fonction racine carrée simple sans composition avec une autre fonction.Donc c'est plutôt normale que tu ne connaisses pas mais je le citais pour te dire que tu auras des moyens d'aller plus vite après (si tu ne te plantes pas dans les calculs bien entendu Wink).

Alors je ne suis pas d'accord avec ce que tu dis:

Citation :
Donc (un-1 -1)² + 1 > 0 et donc u(x) est à valeurs dans [0 ; + l'infini [ et est strictement croissante

D'où vient la strictement croissance????? La fonction x|--->x² est positive ou nulle mais elle est décroissante sur ]-Inf;0] et croissante sur [0;+Inf[. Il n'y a pas de relation entre le signe de ta fonction et son sens de variation.

Attention donc à ne pas confondre. Il y a le lien qui existe et est bien réel entre le signe de la dérivée et le sens de variation de la fonction. Mais il n'y a pas de lien directe entre le signe de la fonction et son sens de variation.

Si je prend a et b dans [1;+Inf[ tel que a<b que pouvons nous dire de F(a) et F(b)? On cherche à comparer les deux. On revient en fait à la définition de la variation d'une fonction.

Est-ce que tu vois l'erreur fondamentale que tu as commise dans ton raisonnement?

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MessageSujet: Re: [Term S] Comportement d'une suite [Exo 2]   Lun 21 Sep - 18:22

Neutral

Excusez moi pour une telle erreur, effectivement elle est fondamentale..
J'ai tout repris depuis le début, j'en suis arrivée donc finalement à décomposer f(x) en trois fonctions de références. (chaque tiret représentera l'une de ces fonctions)

- (x-1)²

C'est un trinôme du second degré, après calcul du discriminant on se rend compte qu'il ne possède qu'une seule racine égale à 1. C'est un trinôme du signe de a donc positif, a correspond à 1, donc a>0, donc la fonction (x-1)² est une parabole tournée vers le haut de sommet x=1.

donc (x-1)² croissante sur [ 1 ; +inf [
et décroissante sur ] - inf ; 1 ]

-( x + 1) croissante car c'est une fonction affine de coefficient directeur positif.

- racine carrée de x, croissante sur ] 0 ; + inf [

J'ai ensuite fait un tableau de variations, et au final j'ai donc trouvé que f(x) est décroissante jusqu'à x=1, puis croissante jusqu'en + l'infini.

Pour la première question, je pense maintenant que mes résultats sont cohérents ?
Le seul soucis serait sûrement la rédaction, mes fonctions de référence ne sont pas notées "f rond g" ou quelque chose comme ça.. est-ce possible de le rédiger comme je l'ai fais ou n'est-ce pas assez rigoureux ?

Sur ma copie je serais plus précise et je détaillerais les calculs bien entendu, mais je pense que ce n'est pas nécessaire ici.. si non, je peux les rajouter.

Merci à vous et bonne soirée !
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MessageSujet: Re: [Term S] Comportement d'une suite [Exo 2]   Lun 21 Sep - 19:24

Bonsoir,

Ne t'excuse pas, faire des erreurs même fondamentales et comprendre d'où vient l'erreur est plus formateur que d'appliquer bêtement et de croire savoir quelque chose de fondamentale après tout Smile.

Sinon, la réponse est juste mais tu te poses une bonne question en effet. On sait que la fonction qu'il y a sous la racine est décroissante sur ]-Inf;1] et croissante sur [1;+Inf[, j'appelle H cette fonction là. Et, on sait que la fonction racine carrée est croissante sur [0;+Inf[ et j'appelle cette fonction là, G.

Ainsi, on a pour tout x dans R, F(x)=GoH(x)

A partir de là, vu que la fonction extérieure (la fonction G ici) est croissante, elle n'a pas d'impacte sur la croissance ou la décroissance de la fonction F. Pourquoi?

Car si F(a)<F(b) => GoH(a)<GoH(b) (la fonction G est croissante donc ne change pas le sens des inégalités tout simplement!)

En conclusion, dans notre cas de figure la fonction F a les même variation que la fonction polynôme qui est dans la racine carrée c'est à dire les variations de H et la conclusion que tu donnes est donc juste.

Pour ma part, dans la rédaction, je reviendrai à la définition des variation d'une fonction en prenant a<b et en appliquant H puis G tout simplement. C'est claire net et précis comme rédaction. Ensuite, si tu souhaite mettre en valeur tes connaissance sur les variations des fonctions composées, tu peux donner une rédaction un peu plus détaillées que celle que je viens de t'exposer pour te montrer que ton raisonnement était justem ais qu'il manquait des justifications tout simplement.

Alors maintenant, qu'on a les variation, on va pouvoir représenter la fonction puis conjecturer quelque chose pour les termes de la suites (croissante, décroissante, convergente??? en gros c'est ça le genre de conjectures qu'on attend dans ce genre de questions).

Bon courage! Et n'hésite pas si quelque chose n'est pas clair à demander plus d'explications!

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Dernière édition par Blagu'cuicui le Mar 22 Sep - 19:06, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: [Term S] Comportement d'une suite [Exo 2]   Mar 22 Sep - 17:36

La rédaction des composées n'a jms été mon point fort Rolling Eyes

Alors...
f(x) = racine carrée de (x-1)² + 1

On décompose f(x) en deux fonctions (de référence ?? (x-1)²+1 peut elle etre considérée comme fonction de référence ?!)

Soit H : x ---> (x-1)²+1 sur R
Soit G : x ---> racine carrée de x sur ] 0 ; + inf [

H est à valeurs dans ] 0 ; + inf [ car (x-1)² + 1 > 0.
Donc, on a pour tout x dans R, f(x) = GoH(x).

Et maintenant ? Comment caser mon histoire de parabole tournée vers le haut de sommet 1, mes tableaux de variations ?
A moins que par cette méthode on n'en ait plus besoin.. ?

Merci beaucoup !
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MessageSujet: Re: [Term S] Comportement d'une suite [Exo 2]   Mar 22 Sep - 19:09

Bonsoir,

Alros la rédaction jusque là est nickel mais comment avancer? C'est une bonne question!

Et bien, on avance en trouvant les variation de G et de H. Bon pour la fonction racine carrée c'est une fonction de référence donc on a le droit de dire qu'elle est croissante sur R+ sans aucun problème. Maintenant, il nous reste à savoir les variations de la fonction polynôme du second degré et c'est là qu'on passe en mode recherche de varaition et que tu peux écrire proprement pourquoi c'est croissant sur [1;+∞[ et décroissant sur l'autre intervalle.

Ensuiote, on conclue avec la propriété sur les composée ou si tu n'es pas à l'aise, je te montrerai une autre méthode (qui n'est autre que la démonstration n fait lol) pour conclure.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: [Term S] Comportement d'une suite [Exo 2]   Mar 22 Sep - 19:34

Merci !

Oui, alors pour G c'est facilement réglé.
Par contre pour H, je devrais plutôt la décomposer encore en deux fonctions différentes, non ?

d'une part (x-1)², d'autre part x+1.

Merci !
Bonne soirée
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MessageSujet: Re: [Term S] Comportement d'une suite [Exo 2]   Mar 22 Sep - 19:52

H tu peut l'étudier directement en fait.

Le but étant d'acoir son sens de variation, tu peux donc faire une dérivation de la fonction pour trouver son sens de variation tout simplement car là, on sait faire après tout. C'est pour cela que la redécomposer ne serait pas judicieux je pense car tu ne ferait que redire en plus compliquer le faire que tout va dépendre de la partie qui est au carrée ce qui va apparaître directement dans l'étude de la fonction de façon brute tout simplement.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: [Term S] Comportement d'une suite [Exo 2]   Mer 23 Sep - 16:38

Ah ben oui ! Bien sûr, il faut utiliser la dérivée.

h(x) : x²-2x+2
h'(x) : 2x-2

(2x-2) > 0 pour x appartient à [1; +inf[
(2x-2) < 0 pour x appartient à ]-inf; 1]

Puis j'ai fait le tableau de variation.
Donc h(x) croissante sur [1,+inf[ et décroissante sur ]-inf; 1]

G : x --> racine carrée de x, fonction de référence croissante sur [0; + inf[.

Puis je pense qu'il ne nous reste plus qu'à conclure ?

Citation :
Ensuiote, on conclue avec la propriété sur les composée ou si tu n'es pas à l'aise, je te montrerai une autre méthode (qui n'est autre que la démonstration n fait lol) pour conclure

Je veux bien apprendre votre autre méthode oui, si vous avez le temps de m'expliquer. ^^
Je rends mon DM demain Smile Piou !

Bonne soirée !


______

J'édite mon message : mon dm est prêt et fini, jme suis débrouillée en cafouillant un peu pour conclure sur la composée. ^^ Je suis arrivée au bout du reste des questions aussi.
Mais votre méthode m'interesserait tout de même..

Merci !
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MessageSujet: Re: [Term S] Comportement d'une suite [Exo 2]   Mer 23 Sep - 23:39

Bonsoir et désolé du "retard" de la réponse!

Alors la méthode est tout à fait juste et pour conclure on va revenir à la définition de la croissance ou de la décroissance d'une fonction.

Soit a,b deux réel dans ]-Inf;1] tels que a<b≤1

J'applique H qui est décroissante sur ]-Inf; 1] d'après l'étude des variation de H, donc H(a)>H(b)≥H(1) (on change le sens de l'inégalité car H décroissante)

Or H(1)=1²-2*1+2=1>0

Donc H(a)>H(b)>0

Donc en peu appliquer la fonction G (car l'ensemble de définition est [0;+Inf[) qui est croissante sur [0;+Inf[, donc GoH(a)>GoH(b)

C'est à dire que si a<b<1 alors F(a)>F(b)

D'où F est décroissante sur ]-Inf;1]

Je te laisse le rédiger lorsqu'on prend a, b dans [1;+Inf[ tels que 1<a<b c'est exactement le même procédé en fait sauf que la fonction H sur cette intervalle est croissante tout simplement.

On revient en fait à la définition de la croissance ou de la décroissance d'une fonction tout simplement.

J'espère qu'ainsi c'est plus clair au niveau du raisonnement lorsqu'on ne sait pas dérivée une fonction (ce qui ne durera pas longtemps dès que tu auras complété le chapitre sur la dérivée de fonctions composées Smile).

Ensuite qu'elles ont été tes idées pour le sens de variation de (un)?

Le fait que ton devoir était pour aujourd'hui ne nous empèche pas de continuer d'en discuter pour accroître tes réflexes pour certaine méthode et ainsi améliorer la fluidité de ton raisonnement et ta rapidité de résolution de problème.

Bon courage pour la suite!

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MessageSujet: Re: [Term S] Comportement d'une suite [Exo 2]   Dim 27 Sep - 9:53

Bonjour !

Alors, le dm nous a été rendu. ^^ mais sans correction par contre..
L'exercice 1 dont je parlais dans un autre sujet était bon, j'ai eu tous les points donc nous avons bien fait comme il fallait.

Pour la suite de l'exercice 2, j'ai tout d'abord démontré qu'elle était décroissante avec une relation de récurrence.
Soit Pn : "un+1 < un"
Il suffisait de rajouter membre à membre tout ce qu'il fallait pour trouver un.

Ensuite il a fallu prouver que la suite était minorée par 1, je l'ai également fait par relation de récurrence.
Soit Qn : " un> 1"
Encore une fois il suffisait d'ajouter ou de multiplier par étape.

Ensuite, comme nous avons prouvé qu'elle est décroissante et minorée, il en découlait donc qu'elle était convergente et donc qu'elle avait une limite.
On avait corrigé une annale de bac qui reprenait cela, j'ai donc repris la même façon de faire.
Je me suis d'ailleurs pas mal embrouillée sur cette question, j'ai repris "bêtement" ce que nous avions écrit en cours mais c'est la seule chose que je n'ai pas bien compris dans le dm
Neutral

lim un-1 = lim un = L
donc lim racine carrée de (un-1 -1)² + 1 = lim racine carrée de (un-1)² + 1 = L

[ lim un = L
n->+inf

lim racine carrée (x-1)²+1 = racine carrée de (L-1)² + 1 ]
x->+inf

Et donc ce que j'ai mis entre crochets nous donne :

donc lim un+1 = racine carrée de (L-1)² + 1
n-> +inf

Donc L solution de l'équation :

x = racine carrée de (x-1)²+1

et on trouve lim un = 1, ce qu'il fallait donc trouver.

N'y a-t-il pas un autre moyen de faire pour cette dernière question ?
Merci beaucoup !
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MessageSujet: Re: [Term S] Comportement d'une suite [Exo 2]   Dim 27 Sep - 13:11

Bonjour,

J'aimerai bien savoir comment tu as rédigé la réponse à la questions sur les variation (un) car on n'a vu que notre fonction sous-jacente n'était pas forcément croissante sur [0;+Inf[ ce qui me perturbe un peu vu ta remarque.

Sinon, pour la minoration, il y a un moyen d'aller plus vite sur la rédaction. En effet, tu ne te sert pas du tout de la question 1) ce qui en soi n'est pas logique lorsqu'on fait des mathématiques (à quoi cela sert de faire des questions inutile? Wink). En effet, dans ta récurrence, tu initialises sans soucis. Puis ensuite, tu sait que la fonction F est croissante sur [1;+Inf[, donc tu peux appliquer directement F à l'inégalité ce qui donne F(un)≥F(1).
Or F(1)=1 et un+1=F(un). Conclusion, un+1≥1 ce qui conclut l'hérédité.

Pour la dernière question ta rédaction est assez horrible en effet Razz. Alors un conseil, ce que tu ne comprends pas dans tous les cas tu ne l'écris pas car d'une part c'est plus franc et d'autre part celà t'évitera de retenir des méthodes sorties du chapeau comme on dit.

En fait ici, le fait que (un) soit décroissante et minoré implique que cette suite est convergente. Par conséquence, la suite (un) admet une limite que nous ne connaissons pas encore mais cette limite existe et on peut donc lui donner un nom L.

Maintenant, on sait par définition que un≥1. Donc en passant à la limite quand n tend vers +Inf dans cette expression, on obtient le fait que L≥1 (en effet la limite lorsque n tend vers +Inf de la suite est L et la limite de 1 c'est lui-même vu qu'il ne dépend pas de n). Donc LЄ[1;+Inf[

Or nous savons aussi que un+1=F(un) et que F est continue sur [0;+Inf[. Par conséquent, F est continue en L ce qui nous permet de passer à la limite dans cette égalité. A gauche c'est la limite de notre suite donc c'est L et à droite c'est la limite d'une fonction appliqué en un qui tend vers L.

Par conséquent, on obtient: L=F(L).

Conclusion, L est la solution de cette équation L=F(L) dans l'intervalle [1;+Inf[. Et la seule solution à ceci est L=1 ce qui implique que la limite de la suite est bien 1.

Dans un cadre général, on n'écrit JAMAIS "lim[....]=lim [....]". Car cela n'a de sens que lorsque les limites de chaque côté existent d'une part et d'autre par ce la ne permet pas de faire des calculs concret pour aboutir à des égalités car on parle d'égalité de limite et non d'objet manipulable directement. Donc on passe à la limite dans les égalités en écrivant ce qu'on fait mais on n'écrit pas "limite=limite" ce qui alourdirait l'écriture sans donner d'information. Et on ne marque que le résultat du passage à la limite.

En espérant avoir éclairci le dernier point surtout et améliorer la rédaction du deuxième.

Bon courage pour la suite et n'hésite pas si des choses reste flou à demander des précisions!

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MessageSujet: Re: [Term S] Comportement d'une suite [Exo 2]   Dim 4 Oct - 11:09

Excusez moi de ce petit retard, j'avais pas mal de boulot cette semaine..

Soit a et b deux réels dans [1;+inf[ tels que 1<a<b
G est une fonction de référence strictement croissante sur [1;+inf[ donc G(1)<G(a)<G(b)

Or G(1) = 1 > 0

Donc 0 < G(1) < G(a) < G(b)

Donc, si 1<a<b alors G(a) < G(b)
d'où G croissante sur [1;+inf[

Voilà ce que vous m'avez demandé de rédiger. ^^ J'éspère que c'est bon ?

Je note les conseils que vous m'avez donné Very Happy Merci beaucoup !
L'interro pour ce chapitre est passé, nous attendons juste nos notes.

C'est parti pour les nombres complexes !!
Bon dimanche Like a Star @ heaven
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MessageSujet: Re: [Term S] Comportement d'une suite [Exo 2]   Dim 4 Oct - 12:24

Bonjour,

J'ai corrigé le fait que G était croissante sur [1;+Inf[ et non sur [0;+Inf[ car on prenait a et b dans [1;+Inf[ au départ. Ce qui conclut donc pour la réccurence au fait que (un) est décroissante si tous les termes de (un) sont supérieur à 1. Mais pouvons-nous l'affirmer vu qu'on ne suppose pas dans notre hypothèse de récurrence que un+1 soit supérieur ou égale à 1.

Il faut donc ajouter cette hypothèse à l'hypothèse de récurrence si nous voulons conclure. Car la fonction F est décroissante sur [0;1] ce qui nous amènerait que (un) est croissante si nous les termes un sont inférieur ou égale à 1.

Bon courage pour les complexes!

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MessageSujet: Re: [Term S] Comportement d'une suite [Exo 2]   Aujourd'hui à 2:25

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[Term S] Comportement d'une suite [Exo 2]
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