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 Distance d'un point à une courbe

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nana17



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MessageSujet: Distance d'un point à une courbe   Ven 25 Sep - 9:58

Encore un exercice ou je ne comprend pas tout et comme cette année je veux réussir en maths alors me voila pour rechercher encore de l'aide, et puis ici au moins je comprend tout aprés

Alors soit C la courbe représentative de la fonction f définie par f(x)=x² et B(4;0)
On admet que la distance BM admet un minimun quand M décrit C; Ce minimum est appelé distance du point B à la courbe C
Le but de l'exercice est de trouver où doit se trouver M pour que BM soit minimale

1) M est un point quelconque de la courbe C. Faire une conjecture sur la position du point M pour laquelle la distance BM semble minimale.
On appelle ce point M0

2) soit d la droite perpandiculaire en M0 à la droite (BM0)
Quelle semble être la position particulière de la droite d,

3)Déterminer par le calcul une valeur approchée à 10^(-3) près des coordonnées du point M0


1) conjecture: La distance BM semble minimale quand le segment [BM] (j'arrive pas à mettre les crochets) est perpandiculaire à la tangente de C


2) la droite d semble être tangente à la courbe

3) je sais qu'ici on demande d'appliquer le théoréme des valeurs intermediaires, mais pour cela je ne sais pas si on doit faire le tableau de variation de la fonction f car sa me parait trop simple sinon!
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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une courbe   Ven 25 Sep - 11:17

Bonjour,

D'après la structure de l'exercice, je dirai que tu en dis de trop à la première réponse. En effet, tu parles déjà de tangente à la courbe alors que la tangente n'est abordée qu'à la deuxième question. En fait à la première question, on te demande juste de donner des valeurs approximatives aux coordonnées du point M0.

Ensuite, tu traces la tangente et là tu conjectures le fait que cette tengante est perpendiculaire au segment [BMO].

Pour la dernière question, je ne vois pas à priori où tu vois aparaître le théorème des valeurs intermédaires. Je dirais que vu la construction de l'exercice, le fait qu'on te parle de tangente à la courbe en un point n'est pas anodin. Et que par conséquent, il serait plus judicieux de déterminer l'équation de la droite qui est perpendiculaire à la tangente à C en M0.

Pourquoi?

Car en fait d'après la question 2), on sait que M0 appartient à C et que la tangente en ce point est perpendiculaire à (BM0). Ce qui signifie qu'on a la question suivante:


Trouver les coordonnées de M0 tel que

- M0 appartienne à C
- M0 appartiennent à la droite perpendiculaire à T passant par B


La seule inconnue dans tout ceci est l'équation de la droite perpendiculaire à T passant par B. Et pour entamer la recherche, je vais te poser une question:

Quel lien y a-t-il entre les coefficients directeurs de deux droites perpendiculaires dans un repère orthonormale?


Bon courage! Et n'hésite pas à poser tes questions si le raisonnement que j'ai mis en place n'est pas clair dans sa totalité car il est assez intéressant de le connaître celui-ci (savoir passer d'une recherche de coorodnnées à une recherche de point d'intersection en fait).

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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une courbe   Dim 27 Sep - 16:32

Bonjour


Alors pour la 1 et 2 c'est bon j'ai modifié mon erreur, par contre la 3 est toujours aussi compliqué

pour le lien des coefficients directeurs de deux droites perpendiculaires c'est que le produit de leurs coefficients directeurs

est égal à -1.
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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une courbe   Dim 27 Sep - 16:56

Alors c'est tout à fait exacte!

Deux droites sont perpendiculaires dans un repère orthonormé si et seulement si le produit de leur coefficient directeur est égale à -1.

Et bien maintennat, mettons les mains dans le caboui Wink. Donc on cherche les coordonnées du point M0(x0;y0) pour qu'on puisse calculer BM0, nous sommes toujours d'accord là-dessus?

Alors allons-y:
i)Quel est le coefficient directeur d'une tangente en M0(x0;y0)?
ii) Quel est donc l'équation de la droite perpendiculaire à cette tengante passant par B?

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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une courbe   Dim 27 Sep - 17:06

Alors le coefficient directeur d'une tangente en Mo est f'(xo)
soit y=ax+ b la droite qui passe par B et perpendiculaire 0 T
donc a x f'(xo) = -1
mais comment faire ici puisqu'on ne connait pas xo
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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une courbe   Dim 27 Sep - 17:12

On cherche à calculer x0 en fait. Et on sait qu'il n'est pas nul donc on peut tout àfait diviser par x0 (en effet la tangente en x=0 à la courbe n'est autre que l'axe des ordonnées qui ne passe pas par B(4;0) donc c'est bon).

Par conséquent, x0 v être notre inconnue que nous allons devoir calculer en résolvant des équations ou des système. Et la seule chose que nous savons c'est que M0 est sur la droite perpendiculaire à la tangente à la courbe en M0 et est sru la courbe. Donc la seule chose qu'on sait pour le moment c'est:

y0=x0² car M0 appartient à la courbe.

Donc si on a x0, on peut en déduire y0. Le but maintenant est de trouver d'autre équation qui doivent être vérifié par les coordonnées de M0 et la seule qui nous reste c'est l'équation de droite passant par B et perpendiculaire à la tangente à la courbe passant pas M0.

Est-ce que je suis clair ou c'est toujours flou sur la méthode?

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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une courbe   Dim 27 Sep - 17:50

oui c'est clair mais je n'arrive toujours pas à trouver a
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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une courbe   Dim 27 Sep - 18:03

Quel est la dérivé au point x0?

Résolution: a*F'(x0)=-1 avec a comme inconnue et x0 est fixé ici et différent de 0.

Conclusion quelle la valeur de a?

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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une courbe   Dim 27 Sep - 18:05

alors a=-1/xo
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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une courbe   Dim 27 Sep - 18:50

Grrrrrrr.

Peux-tu me rappeler la dérivée de la fonction F définie par F(x)=x², s'il te plaît car là j'ai un doute Wink.

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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une courbe   Dim 27 Sep - 18:54

f(x)=x² et f'(x)=2x

alors a= -1/2xo
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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une courbe   Dim 27 Sep - 18:56

Mieux Wink.

Alors maintenant, on sait que notre segmetn sera situer sur la droite ayant pour coefficient directeur celui qui tu viens d'expliciter et quel est l'équation maintenant de cette droite sahcant qu'elle doit passer par B(4;0) ?

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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une courbe   Dim 27 Sep - 19:02

y=ax+b on sait que a=-1/2x0 et que B(4.0) appartient a cette droite donc 0=-1/2 x 4 +b donc b=2
et y=-1/2xo+2
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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une courbe   Dim 27 Sep - 19:10

Hmmm

Attention, je sais qu'il y a un paramètre qui te gêne furieusement mais x0 qu'on peut noté α si tu veux est bien fixé et est dans le coefficient directeur. Donc lorsqu'on qu'on écrit l'équation de la droite y=a*x+b avec a=-1/(2x0) cela donne:

y=[-1/(2x0)]*x +b

Attention à ne pas oublier le x0 en route dans l'équation sinon cela n'a plus de sens.

Je te laisse reprendre le calcul du b du coup.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une courbe   Dim 27 Sep - 19:16

A oui d'accord donc ce qui donne a=-1/2xo et b=-4/2xo j'espère que je ne me suis pas trompé cette fois
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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une courbe   Dim 27 Sep - 19:22

C'est tout à fait ça à l'erreur de signe près Wink!! En effet, b=+4/(2x0)

Donc si je mets -1/(2x0) en facteur dans l'équation de la droite je trouve:

y=[-1/(2x0)]*(x-4)

Maintenant, on a presque fini Smile. En effet, nous avons la bonne droite maintenant, le soucis c'est qu'on veut que notre point M0 appartiennent aussi à la courbe d'équation y=x² et à cette droite d'équation y=[-1/(2x0)]*(x-4).

Par conséquent, il nous reste à résoudre ce système:

{y0=x0²
{y0=[-1/(2x0)]*(x0-4)

Est-ce que tu es d'accord avec ça? Et si c'estl e cas et bien je te laisse entamer la résolution du dit système.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une courbe   Dim 27 Sep - 19:31

oui je suis d'accord

yo=x²o
x²o=(-1/2xo)*(xo-4)

mais après on ne peut pas continuer
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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une courbe   Dim 27 Sep - 20:12

Et bien après, la deuxième équation est une équation en x0 qu'on peut peut-être résoudre non ?

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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une courbe   Dim 27 Sep - 20:17

alors sa donnerait

yo=x²o
xo=racine(-1/2xo)*racine(xo-4)

mais c'est impossible puisqu'une racine carré n'est jamais négative
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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une courbe   Dim 27 Sep - 20:23

Oulà!

Alors si j'enlève les 0 qui sont présent, on doit résoudre pour x non nul l'équation suivante:

x²=[-1/2x]*[x-4]

<=> ???

La routine, ici, on enlève les fractions puis on met tout d'un côté et on regarde ce qu'on a.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une courbe   Dim 27 Sep - 20:31

oulala oui!

x²=(-1/2x)*(x-4) -x²-2x^-2*(x-4)=0 mais je ne pense pas que ce soit cela!
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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une courbe   Dim 27 Sep - 20:33

En effet, il y a un petit soucis là. On doit trouver une équation du troisième degré si je ne m'abuse.

Alros si je multiplie à gauche et à droite de l'égalité par 2*x qu'obtient-on?

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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une courbe   Dim 27 Sep - 20:40

alors cela donne

x²*2x=-1/2x*2x*(x-4)2x
2x^3=-2x^3+8x²
0=-2x^3-2x^3+8x²
0=-4x^3+8x²
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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une courbe   Dim 27 Sep - 20:43

Oulà la fatigue se fait ressentir là.

x²=[-1/(2x)]*(x-4)

donc si je multiplue à gauche et à droite par 2x j'obtiens:

(2x)*x²=(2x)*[-1/(2x)]*[x-4]

C'est à dire 2x3= ..... ?

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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une courbe   Dim 27 Sep - 20:47

oui je crois aussi

après rectification

2x^3=-x²+4x
2x^3+x²-4x=0
x(2x²+x-4)=0
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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une courbe   Aujourd'hui à 2:25

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