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 Intégrales

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Nakor



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MessageSujet: Intégrales   Sam 26 Sep - 15:54

Salut !

Alors aujourd'hui c'est une question par rapport à mon cours de physique en fait. On est en train de faire les condensateurs et bobines (enfin on a fini), et pour calculer l'énergie, on a dit que c'était l'intégrale de la puissance, comme ceci:

E = ∫(t=0 à t) P.dt = ∫(t=0 à t) U.I.dt = ∫(t=0 à t) C.U.du/dt.dt Puisque dans un condensateur l'intensité I=C.du/dt .

Et on en arrive à ma question. Cette dernière intégrale devient:

∫(u(t=0) à u(t)) C.U.du

Dans l'écriture d'une intégrale, que signifie le dt (enfin le dx avec x la variable muette) ? Quand a-t-on le droit de le remplacer ? Par exemple dans cette application on simplifie les dt, et l'intégrale est donc écrite en fonction de u au lieu de t.

En terminale on a appris que ça s'écrivait "comme ça", et pour l'instant en maths en prépa, on a pas encore vu les intégrales, donc je me demandais... Very Happy

Bonne fin de journée,

Nakor.
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Intégrales   Sam 26 Sep - 17:07

Bonsoir,

Alors ce qu'il faut savoir c'est que concrètement la quantité "dt" à bel et bien un sens en mathématiques qui est tout simple en quelque sorte. En effet, si je considère une variation entre t1 et t2 que j'appelle Δt=t1-t2

Si je fait tendre t2 vers t1, ma quantité Δt va tendre quasiment vers 0 en gros. Et bien si je considère un tout petit déplacement quasiment à la limite, on parlera de "dt" et non plus de "Δt".

Donc l'année dernière, tu as vu la définition d'une intégrale à partir de calcul d'aire de rectangle. La largeur de ses rectangles était fixé à un Δx et l'intégrale n'était autre que le calcul de l'aire lorsque ce Δt est très petit c'est à dire égale à "dt" (qui est une variation infinitésimale en quelque sorte). Il y a une autre définition de cette quantité bien plus théorique que je n'aborde pas ici car je pense que visuellement c'est assez parlant ainsi.

Alors en physique, on aime bien travailler directement avec ses quantités comme donc I=C*du/dt. Mais en fait que représente concrètement du/dt ????

En gros "du/dt" c'est la dérivée de u par rapport à t. En conclusion les physiciens écrivent du/dt car il veut mettre en éviidence qu'il s'agit d'une variation de tension infinitésimale mais un mathématicien aurait sans doute écrit u'(t) tout simplement.

Donc ta simplification, n'en est pas du tout une !!!!! Il s'agit d'un changement de variable et la nouvelle variable est vraimetn très très très très mal choisi!

En effet, on a posé x=u(t) et ainsi: dx=u'(t)*dt c'est à dire dx=(du/dt)*dt. Donc en considérant ton U comme en fait u(t) (ce qui doit être le cas d'ailleurs)

En effet, la dernière intégrale devrait être écrite ainsi: ∫(u(0) à u(t)) C*x dx

Est-ce plus clair ainsi?

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Nakor



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MessageSujet: Re: Intégrales   Sam 26 Sep - 18:45

OOoooookkkk !

Ouaip merci c'est plus clair.

Une autre question sur les intégrales (et ce cas ci on l'a même pas vu en Terminale):

Je suis dans une partie qui concerne les aspects énergétiques d'un circuit RC. On cherche l'énergie totale fournie entre 0 et t:

Dans le circuit RC, la loi des mailles donne: E= Ri + uc

D'où les puissances: E.i = R.i² + uc+i

∫(t=0 à t) E.i.dt = ∫(t=0 à t)R.i².dt + ∫(t=0 à t)uc(t).i(t).dt

Après quelques lignes de calcul on arrive à :

(E²/R)∫(t=0 à t)exp(-t/τ).dt = (E²/R)∫(t=0 à t)exp(-2t/τ).dt + (E²/R)∫(t=0 à t)exp(-t/τ).(1-exp(-t/τ)).dt

Et dans l'étape suivante, on se retrouve avec des intégrales à +∞:

"Pour l'énergie totale, on regarde en t-> +∞" :

∫(t=0 à ∞)exp(-t/τ).dt = [-τ.exp(-t/τ)](0 à ∞) = ...

∫(t=0 à ∞)exp(-2t/τ).dt = [-(τ/2).exp(-2t/τ)](0 à ∞) = ...

Ca veut dire quoi une intégrale en l'infini ? C'est comme une limite ou quoi ? Quand peut-on écrire ça ?
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Intégrales   Sam 26 Sep - 19:44

Il s'agit en effet d'une limite.

Par contre, en toute logique et pour être réellement rigoureux, il faudrait vérifier que cette limite à un sens avant de passer à la limite. Donci l faudrait savoir si les limites existes ce qui est bien le cas ici mais bon, on prend la limite avant la vérification car le plus souvent à votre niveau tout marche bien.

Cependant, si nous voulons réellement être rigoureux, il faudrait d'abord calculer l'intégrale et seulement après passer à la limite lorsque t tend vers +infini si elle existe ou si elle vaut + ou - l'infini (c'est à dire si l'intégrale converge ou si elle diverge à l'infini mais le cas pas de limite est exclu car la limite n'aurai aucun sens en soi).

Bonne continuation!

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