fonction trigonomètrique

Bonsoir, alors voila un exercice d'application du cours mais le problème c'est que ce cours ci je le trouve plutôt compliqué



1) f(x)=cos4x+2sin2x

Df=R
f(-x)=-f(x) donc f est impaire, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine

f(x+2pi)=cos(4x+8pi)+2sin(2x+4pi)=f(x) donc f est périodique de période 2pi mais après je sais pas comment faire pour conclure sur l'intervalle demandé

2) faut que je recommence je me suis trompé

Bonsoir,

La première question est de savoir si l'intervalle d'étude est cohérent par rapport à la fonction. C'est àdire en fait est-ce qu'en ne considérant que l'intervalle [0;Pi], on peut avoir accès à toutes les caractéristique de la courbe sur R tout entier vu que la fonction est définie sur R comme tu l'a dit.

Alors, il y a forcément des histoire de périodicité en effet et tu as touvé que notre fonction était 2Pi-Périodique, c'est à dire qu'on peut l'étudier sur tout intervalle d'amplitude 2Pi. Le soucis c'est que tu réduis l'amplitude en justifiant que cette fonction est impaire ce qui permettrait en effet de dévisier l'intervalle par 2. Mais hélas, cette fonction n'est pas impaire.

Pourquoi?

La fonction Cos est pairs et la fonction Sin est impaire. donc l'adidition des deux n'est ni pair ni impaire hélas.

Alors pour le moment nous ne pouvant pas étudier la fonction sur moins que [0;2Pi] (ou [-Pi;Pi]) mais pouvons nous faire mieux que 2Pi-périodique? La réponse est bien entendu oui vu qu'on arriveà restreindre l'intervalle d'étude et je te laisse voir pourquoi la fonction est bien Pi-périodique.

Bon courage pour cette quesiton!

1) en effet je me suis trompé donc

f(x)=cos4x+2sin2x

Df=R
f(-x)=cos4x-2sin2x donc f n'est ni paire ni impaire

f(x+2pi)=cos(4x+8pi)+2sin(2x+4pi)=f(x) donc f est périodique de période 2pi
il suffit d'étudier f sur un intervalle de longueur 2pi

2)on pose
u(x)=cos(4x) u'(x)=4(-sin(4x))
v(x)=2sin(2x) v'(x)=4sin(2x)

f'(x)=4(-sin4x)+4sin2x

Bonjour,

Le soucis pour la première question, c'est qu'on aimerait bien l'étudier sur un intervalle de longueur Pi à première vu donc 2Pi-Périodique c'est encore trop large, ne pourrions-nous pas faire mieux que 2Pi-périodique?

Pour la deuxième question, il y a une erreur sur une dérivée:

v(x)=2sin(2x) v'(x)=4sin(2x)

Quelle est la dérviée de la fonction sinus? Je te laisse rectifier.

Bon courage!

1)f(x+pi)=cos(4x+4pi)+2sin(2x+2pi)=f(x) donc f est périodique de période pi
ainsi il suffit d'étudier f sur un intervalle de longueur pi soit [0;pi] intervalle fermé

2)
on pose
u(x)=cos(4x) u'(x)=4(-sin(4x))
v(x)=2sin(2x) v'(x)=4cos(2x)

f'(x) = -4*sin(4x) + 4cos(2x)cos(4x)

Nickel pour la première question!

Pour la deuxième question, il doit y avoir une erreur de copier-coller, je pense. Donc on arriveà :

F'(x) = -4*Sin(4x) + 4Cos(2x)

Et le but est de ne plus avoir que du cos(2x) et du sin(2x). Il va donc falloir changer la forme de Sin(4x), je te laisse entamer les calculs.

Bon courage!

F'(x) = -4*Sin(4x) + 4Cos(2x)

donc sachant que

sin(2a)=2*sin(a)*cos(a)

alors

f'(x)=-2sin2x*(-4cos2x)+4cos2x
=4cos2x(1-2sin2x)

Nickel !!

Bon courage pour la suite!