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 Etude d'une suite définie par une intégrale

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tartagliona



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MessageSujet: Re: Etude d'une suite définie par une intégrale   Ven 2 Oct - 17:40

Je pense comprendre, en tout cas j'ai compris ce que valait (2n+3)!.
Je pense que la quantité 4*6*8*10*...*(2n+2) est égale à (2n+2)!...le problème c'est que si j'ai bien compris le principe des factoriel (2n+2)!=(2n+2)*(2n+1)*....*3*2*1 et on se retrouve avec un (2n+1) dans (2n+2)! et dans (2n+3)! , donc si on veut multiplier (2n+3)! à (2n+2)! on rajoute des membres au lieu des les retirer grâce a la division, ce qui me fait penser que ce n'est pas (2n+2)!...j'avoue ne pas comprendre grand chose aux factoriel mais je pense que tu l'as remarqué !

Je ne comprends pas non plus pourquoi on met 1*2*3 de côté confused

Je suis vraiment désolé mais je ne comprends pas No pourtant je suis vraiment concentré, c'est la dernière question de mon devoir, et j'ai pas envie de la bâcler (même si ça m'a traversé l'idée)
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Etude d'une suite définie par une intégrale   Ven 2 Oct - 22:10

Alors essayons d'être logique un tout petit peu et de voir pourquoi je te propose certaine chose:

Nous avons donc à expliciter la quantité suivante: 1*2*3*4*6*8*10*....*(2n+2) est-ce que je jusque là tu as compris la démarche?

Si c'est le cas continuons sinon aucun intérêt et je ré-explique la démarche pour arriver à celà.

Donc si on continue pourquoi, je te propose de ne pas prendre en compte 1*2*3 ? Et bien pour des raison que je sais où on veut arriver ce qui n'a pas l'air d'être ton cas donc revenons ne arrière et regardons la forme du résultat attendu:

In=22n+2n!(n+1)!/(2n+3)! en utilisant l'indication sur le produit.

On a calculé le produit de deux manières et avons trouver: In/I0= ∏1 à n(2k)/∏1 à n[2k+3]

On a vu que concrètement, on pouvait écrire le numérateur ainsi: (2*1)*(2*2)*(2*3)*...*(2*n) mais qu'on pouvait faire mieux car dans l'expression finale nous n'avons que du n! ou (n+1)! ou (2n+3)!. Par conséquent, il fallait expliciter le produit en mettant deux en facteur dans chaque parenthèse. Il y a n terme exactement, donc il sort 2n et il reste le produit suivante 1*2*3*4*....*n=n!.
Par conséquent, on arrive bien à un numérateur égale à 2n(n!)

Maintenant, regardons ce qu'il reste dans l'expression qu'on doit trouver à la fin In=22n+2n!(n+1)!/(2n+3)!. Si j'isole 2n(n!) j'obtiens ceci: In=[2nn!]*[2n+2(n+1)!/(2n+3)!]

Ainsi mon but est de montrer que le dénominateur qu'il me reste est de cette forme à la multiplication par I0 près vu que pour le moment on a l'égalité avec In/I0. Il me faut donc absolument faire apparaît du (n+1)! et du (2n+3)! car ce n'est pas en multipliant par nue constante que je vais faire apparaître un gros produit de ce type là donc il est déjà présent mais sous une autre forme.

Je part du principe donc qu'il faut faire apparaître du (2n+3)! donc je l'écrit au dénominateur et je cherche à le comparer à ce que j'ai pour l'instant. Ainsi j'obtiens les nombres qui étaient colorés en marron dans le (2n+3)!. Il me manque donc tous les nombres qui ne sont pas coloré. C'est donc ainsi que j'aboutis à la réflexion de regarde à quoi correspond le produit de tout ces nombres pas coloré qui sont les suivants:

1*2*3*4*6*8*10*...*(2n+2)

Et maintenant je sais que vu que j'ai tout fait pour faire apparaître le (2n+3)! au dénominateur, il en me reste que le 2n et le (n+1)! qu'il faut que j'arrive à expliciter. PAr conséquent, mon but est de "voir" le plus compliqué c'est à dire (n+1)!. Mais je constante que si j'enlève les trois premier facteurs de cette multiplication qui sont donc 1*2*3 (d'ailleurs le 1 ne sert à rien et peut être enlevé mais je le laisse pour bien visualiser la démarche), je n'ai que des terme pair !!!! Donc des puissance de 2 qui vont apparaître en facteur en utilisant la même démarche que pour le numérateur par conséquent qu'en est-il exactement?

Je te laisse analyser cela tranquillement et si la moindre chose n'est pas clair n'hésite pas à demander.

Bon courage car la manipulation visuelle sur les nombres est loin d'être la chose la plus simple à faire et de loin Smile.

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tartagliona



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MessageSujet: Re: Etude d'une suite définie par une intégrale   Dim 4 Oct - 13:19

Bonjour Blagu'cuicui !

J'ai bien compris la démarche (et je viens tout juste de comprendre pourquoi on retire le 1*2*3).. en fait là ou je pêche c'est quand il s'agit de visualiser les factoriels.
Je pense qu'après ce devoir je vais parcourir le net à la recherche d'exercice corrigé, pour m'entraîner un peu.

En tout cas j'ai essayé de développer le 4*6*8*..*(2n+2) et je remarque que cette expression est égale à :
((2*1)+2)*((2*2)+2)*((2*3)+2)*...*(2n+2)

J'ai pensé au départ à (2n+2)! mais ça ne fonctionnait pas puisqu'il y a des membres en trop ET des membres en moins...confused

J'ai ensuite pensé à 2n+2,là encore il manque certains membre... confused

Et c'est là que ça m'a frappé ((2*1)+2)*((2*2)+2)*((2*3)+2)*...*(2n+2) = 2(n+1)!
Je pense que c'est ça puisque 2(n+1)!=(2*2)*(2*3)*(2*4)*...*2n*2(n+1) bounce

cette fois-ci c'est la bonne ! Non ? mais si c'est ça dis..c'est ça ???
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MessageSujet: Re: Etude d'une suite définie par une intégrale   Dim 4 Oct - 13:40

Bonjour,

Ta démarche de recherche est tout à fait correct. J'ai même envie de dire que là on fait réellement des maths. Pourquoi? Car tu as quelque chose sous les yeux etp ui tu testes grâce à tes connaissance pour savoir à quoi correspond un terme précis avec des essaie infructueux et d'autre plus logique.

Mais hélas la conclusion est légèrement fausse... pourquoi?

2*(n+1)!=2*[1*2*3*4*5*6*7*8*......*(n+1)]

Donc en fait le 2 ne multiplira qu'un seul et unique terme ce qui ne nous convient pas du tout vu qu'on aimerait comme tu as commencer à le voir que tous les termes soient multipliés par 2. Mais combien avons-nous de termes en tout?

Et par conséquent, par combien de 2 devons-nous multiplier?

Bon courage on touche au but là !!

ps: je vais créer des exercices sur les factoriels dansl a partie "cage aux exercices" d'ici quelque temps.

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MessageSujet: Re: Etude d'une suite définie par une intégrale   Dim 4 Oct - 16:01

Si j'ai bien compris, on a pas 2(n+1)! mais plutôt (2(n+1))!
Ou encore 2n(n+1)! c'est ça ?????
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MessageSujet: Re: Etude d'une suite définie par une intégrale   Dim 4 Oct - 16:06

(2(n+1))!=(2n+2)! et on a dit que cela ne marchait pas Wink.

Par contre il y a bien n terme pair et on peut donc mettre 2n en facteur de 1*2*3*4*....*n*(n+1)=(n+1)!

Par conséuqnet, c'est bien 2n(n+1)!

Maintenant, faut faire le bilan de tout ce qu'on a dit et fait, je te laisse reprendre cela à tête reposer et écire que vaut In/I0 d'après tout ce qu'on a trouvé.

Bon courage, on touche au but là !!!

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MessageSujet: Re: Etude d'une suite définie par une intégrale   Dim 4 Oct - 16:53

youpiiii !!

Bon finalement pour le quotient final, je pense (et j'éspère !) que :

∏1 à n(2k)/∏1 à n[2k+3] = 22nn!(n+1)!/(2n+3)!

Or ∏1 à n(2k)/∏1 à n[2k+3]= In/I0

d'où In=(22nn!(n+1)!/(2n+3)!) * I0

Comme I0= 2/3, je me retrouve avec un 3 en trop au numérateur....mon expression est forcément fausse...
Peut-etre qu'il faut que j'exprime I0 autrement... Je cogite encore un peu
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MessageSujet: Re: Etude d'une suite définie par une intégrale   Dim 4 Oct - 16:59

Je pense que tu as oublié un tout petit petit petit petit détail Wink. Nous n'avions pas laisser de côté un parti d'une multiplication par hasard? ....

Aller on y est presque!

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MessageSujet: Re: Etude d'une suite définie par une intégrale   Dim 4 Oct - 17:06

ah oui le fameux A=B*A/B

Du coup on a In=(22nn!(n+1)!/(2n+3)!2n(n+1)!) * I0

c'est ça ?
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MessageSujet: Re: Etude d'une suite définie par une intégrale   Dim 4 Oct - 17:20

Non ça tu l'avais déjà utiliser pour écrire ta formule.

Mais lorsque nous sommes arrivés à 2n(n+1)!, ous avions laissé une partie de la multiplication de côté sauf erreur non? Wink.

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MessageSujet: Re: Etude d'une suite définie par une intégrale   Dim 4 Oct - 20:13

Ah mais oui évidemment !
In=(22nn!(n+1)!*5/(2n+3)!) * I0

j'avais oublié le 2*3 ouf !

euh...c'est ça n'est-ce pas ?
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MessageSujet: Re: Etude d'une suite définie par une intégrale   Dim 4 Oct - 20:43

Heureusement je ne suis pas encore cardiaque Wink:

2*3=6 non ??? et non 5 Wink. Tssss je te jure Razz.

Donc maintenant sachant la valeur de I0 est-ce qu'on ne peut pas sortir le champagne??

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MessageSujet: Re: Etude d'une suite définie par une intégrale   Dim 4 Oct - 22:10

In=(22nn!(n+1)!*6/(2n+3)!) * I0

Avec I0=2/3 :

In=(22nn!(n+1)!*12/(2n+3)!*3

In=(22nn!(n+1)!*4/(2n+3)!

In=(22nn!(n+1)!22/(2n+3)!

In=(22n+2n!(n+1)!/(2n+3)!

MERCI MERCI MERCI MERCI MERCI MERCI MERCI MERCI

En ton honneur j'appellerai mes enfants blagu'cuicui ! lol!

ps:2*3=5....je le fais vraiment exprès...
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MessageSujet: Re: Etude d'une suite définie par une intégrale   Dim 4 Oct - 22:24

Nickel!!

Sinon, le résultat importe peu en fait même si ça fait grandement plaisir. C'est surtout la méthode pour y arriver qui est intéressante à retenir.

Sinon, j'ai fait un rappel de cours sur la fonction factorielle "exercices de cours" et j'ai posté deux exercices faisant appel à la manipulation des factoriel dans la "Cage aux exercices" de la section terminale bien entendu.

Bonne continuation en tout cas et évite blagu'cuicui pour tes enfants car les pauvres ne s'en remettraient pas pas Wink.

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MessageSujet: Re: Etude d'une suite définie par une intégrale   Lun 5 Oct - 9:46

ok merci pour les rappels de cours et surtout pour les exercices, ça ne me fera vraiment pas de mal de les faires !

Merci encore pour mon devoir !
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MessageSujet: Re: Etude d'une suite définie par une intégrale   Aujourd'hui à 2:22

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