[PCSI] Récurrences - Sommes

Salut !

Me voici avec une nouveau DM.

J'ai un petit souci avec le premier exercice:

Exercice1 a écrit:

Soit l'application g définie par :

g:N -> Z
n -> n/2 si n est pair
-(n+1)/2 si n est impair

L'application g est-elle injective ? surjective ? bijective ?

En fait j'ai trouvé un truc mais je me dis que ça doit être trop simple pour que ça soit juste.

Mon raisonnement:

D'après l'énoncé, f(n) ≥ 0 si n est pair et f(n) < 0 si n est impair.

Donc soit m Є Z. Cherchons si m possède des antécédents n Є N par g.
S'il possède un antécédent pair, f(n)=m≥0. L'équation n/2 = m d'inconnue n a pour solution n = 2m Є N si m≥0.
Si m possède un antécédent impair, f(n)=m < 0/ L'équation -(n+1)/2 = m a pour solution n = -2m - 1 Є N si m<0.

Donc tout élément de Z admet un seul antécédent par g: l'application est bijective.

Bonsoir,

Ton raisonnement est loni d'être simplicite bien au contraire . Cependant, le problème c'est que tu ne sais pas si ton entier relatif m admet un antécédent ou pas. Par conséquent, la réflexion se fait plutôt sur m lui même car on cherche à expliciter justement son antécédent s'il existe.

Ton raisonnement du départ était très judicieux et tu devrais le concrétiser au lieu de partir sur une pseudo existence suivit d'une résolution. En effet, m soit il est positif soit il est négatif!!! A partir de là, tu peux faire la dichotomie sur m directement car c'est lui qui est fixé dans Z.

Ensuite seulement, tu explicites l'antécédent de façon concrète en considérant le cas positif puis le cas négatif (ou l'inverse lol). Comme ça, tu as l'existence de l'antécédent et c'est cela que tu cherches. Attention pour le cas négatif, le résultat n'est pas trivial car n'oublie pas qu'il faut vérifier que l'antécédent trouver est bien un entier naturel.

Par contre ta conclusion est fausse!!!! En effet, la fonction carré de R dans R₊ par exemple est un contre exemple parfait. En effet, tout élément de R₊ admet un antécédent par la fonction carré seulement, la fonction n'est pas injective!!! Car f(-x)=f(x)=x² !!!!

Donc ta conclusion est que ta fonction n est bien surjective (si tout élément adment un antécédent par la fontion) mais on ne sait pas si elle est injective (F(a)=F(b) => a=b ). Et sans cette injectivité on ne peut pas conclure sur la bijectivité (bijectif= injective+surjective).

Est-ce que tu comprends mieux les trois notions? Sinon, n'hésite pas à demander car les notions de surjectivité et d'injectivité sont vraiment cruciales à comprendre en première année.

Bon courage!

C'est quoi une dichotomie ? Je n'ai pas très bien compris tes explications, en fait (je n'ai pas compris pourquoi je ne pouvais pas dire "si m ≥ 0 possède des antécédents par g, alors l'équation m=n/2 possède des solutions dans N etc") .

Voici mon raisonnement arrangé:

Soit m Є Z. Cherchons si l'entier relatif m admet des antécédents par g:

Si m ≥ 0: m=n/2 => n = 2m. Comme m≥0, n Є N donc si m≥0 il admet un antécédent pair par g.
-(n+1)/2 = m = > n = -m - 1. Comme m≥0, n<0 donc n'est pas un élément de l'ensemble de départ.

Si m ≤ 0: m=n/2 => n=2m ≤ 0. Donc n n'est pas un élément de l'ensemble de départ N.
-(n+1)/2 = m = > n = -m - 1. Si m≤-1 (m<0), il admet un antécédent n impair par g.

Après si c'est le bon raisonnement, je ne comprends toujours pas pourquoi on ne peut pas dire qu'elle est bijective... Pour le contre exemple de la fonction carré c'est que les éléments de R+ ont des antécédents sur R tout entier, tandis que là m ≥ 0 a un antécédent pair par g et m < 0 a un antécédent impair.

Bonsoir!

Alors le raisonnement arrangé est plus exact même si la rédaction reste confuse je trouve.

Ce qui n'était pas exact c'est de dire ceci:

Citation :

S'il possède un antécédent pair, f(n)=m≥0

On n'a pas l'existence de l'antécédent comment veux-tu faire des calcul concret dessus et surtout dire qu'il est pair alors qu'il pourrait très bien être impaire. Bon j'avoue je chipote un peut mais pour moi, on pourrait le rédiger ainsi:

Si n est pair alors F(n)≥0 et si n est impair alors F(n)<0


Par conséquent, si je considère m dans Z positif, son antécédent par la fonction F ne peut être que pair. D'ailleurs F(2*m)=m
Or 2*m est dans N car m est dans N (car entier relatif positif ou nul) et on a bien 2*m pair.
Donc si m≥0, 2*m est un antécédent de m par F

Si maintennat je considère m dans Z strictement négatif c'est à dire m<0 (m≤-1) alors son antécédent par F s'il existe est forcément impaire. D'ailleurs, F(2*m+1)=-[(-2*m-1)+1]/2=m
Or -2*m-1≥1 donc -2*m-1 est un entier naturel et il est bien impair.
Donc si m<0, -2*m-1 est un antécédent de m par F

En fait, il s'agit d'une disjonction de cas. On a divisé ("fait une dichotomie") de Z en les termes positifs et les termes négatifs. Par conséquent, on a bien montrer que pour tout entier m dans Z, il existait un antécédent n dans N tel que F(n)=m.

On a donc montré que F est surjective.

Et en fait, tu concluerais sur la bijectivité car dans un cas l'antécédent est pair et dans l'autre il est impaire et donc par conséquent vu que l'intersection des deux ensemble est vide, il ne peut donc pas y avoir une image qui est deux antécédents distinct. Je ne suis pas convaincu par l'idée brute comme écrite comme telle mais bon cela reste une idée intéressante en tout cas après tout pourquoi.

Pour ma part, je préfère revenir à la définition de l'injectivité: "Pour tout n et n' dans N, on a: "F(n)=F(n') => n=n' ". Cela va revenir à la même conclusion en effet mais je trouve ta conclusion trop brutlae surtout dans l'argument de non intersection des antécédents au minimum.

Après à toi de voir, je ne sais pas si dans les concours ça passe comme rédaction mais peut-être après tout, j'avoue que je ne sais jamais jusqu'où il faut aller dans la rédaction mais je préfère en faire trop que pas assez après tout.

Bonne continuation pour la suite!!

Pfiou c'est pas utile de vivre sans internet.

Me revoilà. Je préfère faire comme tu dis, au moins je suis sur que ça passe étant donné que ça vient directement du cours.^^

Bonsoir Nakor!

Vivre sans internet est tout à fait possible ne t'inquiète pas .

Sinon, la rigueur sera toujours apprécié surtout si c'est celle du cours donc n'hésite pas à la mettre en avant lorsque tu peux.

Bon courage pour la suite!

Tiens, je trouve que la fonction n'est pas injective, c'est normal ?

Quand on a n impair et n' pair, on a pas f(n) = f(n') => n=n' .

Bonsoir!

Ta remarque est judicieuse mais tu as fait une déduction encore plus judicieuse plus haut en disant que la parité de n jouait sur le signe de l'image.

Par conséquent, est-il réellement possible de supposer F(n)=F(n') lorsque n et n' ne sont pas de même parité?

Ah oui c'est vrai je me disais bien que y'avait un truc qui clochait.^^

Merci pour tes réponses rapides, ça rend bien service quand le DM est à rendre pour le lendemain. =D

Un autre exercice:

f: N->N qui a n associe n+1
g: N -> N qui a n associe 0 si n=0 et n-1 si n entier naturel non nul.

1) Les applications f et g sont-elles injectives, surjectives, bijectives ?
2) Déterminer les applications f rond g et g rond f. Quelle remarque peut-on faire ?

Pour la 1) j'ai trouvé f injective et g bijective. C'est juste ?

Attention à la rigueur! G ne peux pas être bijective. Pourquoi?

0 a pour image 0 mais 1 a pour image 1-1=0 !!!!
Conclusion, 0 a deux antécédent par G ce qui démontre qu'elle est non injective. Est-ce que G est surjective par contre?

Par contre F est bien injective mais pourquoi n'est-elle pas bijective? Car on te demande de montrer si F a plusieurs prorpiétés donc si une propriété n'est pas exacte, il faut dire pourquoi. Je te laisse trouver l'argument assez simple en fait.

Une idée pour la 2?

Bon courage!

Euh oui mince, je l'ai mis au début de ma démonstration qu'elle était surjective en plus mais je sais pas pourquoi j'ai conclu qu'elle était bijective. Vivement le week end.^^

Pour f c'est parce que 0 n'a pas d'antécédent.

Et pour la 2 je sais pas trop quoi faire comme remarque. :s

La prépas teste aussi et surtout cette capacité ou plutôt cette non capacité à rester lucide même avec beaucoup d'heures de travail annexe. Ce n'est pas simple et cela s'apprend sur la durée, ne t'inquiète pas, les erreurs ont en fait et on en fera (je ne suis pas à l'abri non plus ).

Pour la question 2), que vaut FoG et GoF ?

J'ai trouvé que FoG = n si n non nul et =1 si n=0

et GoF = n car f(n) non nul.

Je ne vois pas quoi en tirer...

Allons un peu d'initiative!

Si n est différent de 0 qu'est-ce que cela signifie?

Bin pour ces questions j'ai toujours du mal à discerner ce qu'on nous demande. Ca veut dire que f est bijective, ça veut dire que g est bijective, et que c'est son unique bijection réciproque (de f). Je ne vois pas quoi dire d'autre...

Ce qui est remarquable dans la construction de cette énoncer c'est qu'on t'as montrer que F et G n'étaient pas bijective de N dans N. Or, on trouve presque une bijection en calculant FoG et GoF c'est ça qui est remarquable!


Alors une fonction est une bijection d'un ensemble dans un autre alors quels sont les ensembles à considérer pour conclure ici?

De N* dans N, non ? C'est fou, le vendredi soir après 23h c'est impossible que mon cerveau fonctionne encore.^^

Aller soyons précis tout de même, laquelle des deux fonction réalise une bijective de N* dans N?

Ca veut dire quoi qu'une fonction réalise une bijective ? Ce que je veux dire c'est que g est la bijection réciproque de f de N* dans N.

C'est tout à fait ça.

F n'est pas définie de N dans N* (car F est défini de N dans N) mais réalise une bijection de N* dans N et sa fonction réciproque est H: N* dans N (qui n'est autre que la restriction de la fonction G à l'ensemble N*).

Cela signifie que si je restreint l'ensemble d'arrivée de ma fonction F cette nouvelle fonction (qui n'est pas F !!!!) est une fonction qu iest bijective et qui a pour fonction réciproque la restriction de g à N* c'est à dire la fonction H: N* dans N définie par pour tout n dans N*, H(n)=G(n).

Il y a beaucoup de vocabulaire dans ce message mais il faut bien comprendre qu'en aucun cas la question 2) montrer que f et g sont des fonctions bijectives. Cela montre juste que si on se restreint les fonctions considérées sur des ensembles bien choisis alors il y a une bijection.

Sui tu as vu la fonction arcsinus par exemple, on dit que sinus réalise une bijection de [-1;1] dans [-Pi/2;Pi/2] et à pour fonction réciproque la fonction Arcsin. On peut dire aussi que la fonction F définie dans [-Pi/2;+Pi/2] à valeurs dans [-1;1] par F(x)=Sin(x) est une fonction bijective de [-1;1] dans [-Pi/2;Pi/2] et Arcsin est la fonction réciproque de F de [-1;1] à valeurs dans [-Pi/2;Pi/2].

Si tu n'as pas encore vue les fonctions réciproques des fonction circulaire oubli mon aparte (mais normalement cela doit être au programme de PCSI tout de même si je n me plante pas).

En tout cas est-ce que cette notion ou plutôt l'utilisation des termes est plus claire?

Ok merci. Ca sera sans doute plus clair demain. Et nous n'avons pas encore les fonctions réciproques de ton aparté. Après je sais pas trop ce qui est au programme ou pas.

Je verrai les histoires de récurrence des autres exo demain, même si j'aurai déjà rendu mon DM.

Je vais me coucher, merci !