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 [PCSI] Nombres complexes

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Nakor

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MessageSujet: Re: [PCSI] Nombres complexes   [PCSI] Nombres complexes - Page 2 EmptyLun 5 Oct - 17:35

J'imagine qu'on prend x=pi/2 non ? Mais en scindant Sn en deux, j'ai un terme qui m'ennuie, je vois pas comment utiliser cette nouvelle expression...
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MessageSujet: Re: [PCSI] Nombres complexes   [PCSI] Nombres complexes - Page 2 EmptyLun 5 Oct - 18:40

Alors j'aurai plus vu x=Pi pour ma part car Cos(k*Pi)=(-1)k après tout.

Mais que nous donne au vu de ce léger changement pour la valeur de x, la somme Sn(Pi) lorsqu'on la scinde en deux?

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Nakor

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MessageSujet: Re: [PCSI] Nombres complexes   [PCSI] Nombres complexes - Page 2 EmptyLun 5 Oct - 18:52

Bin ça fait Sn(Pi) = ∑(k=0 à n) nCr(2n,2k) + ∑(k=0 à n-1) nCr(2n,2k+1) cos((2k+1)pi Shocked

Je comprends plus rien xD. En fait j'avais pris x=pi/2 pour qu'un des termes de la somme scindée en deux soit directement égal à la somme qu'on veut calculer. Mais je sais pas quoi faire de l'autre terme. Et avec x=pi je vois pas non plus.^^
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MessageSujet: Re: [PCSI] Nombres complexes   [PCSI] Nombres complexes - Page 2 EmptyLun 5 Oct - 19:00

C'est vraie qu'on ne connaît pas encore la somme des coefficient binomiaux ce qui va nous poser problème.

Donc va pour x=Pi/2 alors. Ce qui nous donne donc:

Sn(Pi/2) = ∑k=0 à n (-1)k*nCr(2n,2k) + ∑k=0 à n-1 nCr(2n,2k+1) cos[(2k+1)pi/2]

Doncl a première somme c'est celle qu'on nous demande de calculer. On connaît la valeur exacte en Pi/2 de Sn(x) qu'on a déjà explicité en fonction de x donc pas de soucis maintennat, il faut travailler sur la deuxième somme:

k=0 à n-1 nCr(2n,2k+1) cos[(2k+1)pi/2]

Or Cos[2k+1)*Pi/2]=Cos(kPi + Pi/2)

Que vaut ce cosinus en fonction d'aprèsles formule de trigonométrie (ou directement si tu connais les relation Cos(a+Pi), Cos(a+Pi/2), Cos(a-Pi/2) ....)

Bon courage!

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MessageSujet: Re: [PCSI] Nombres complexes   [PCSI] Nombres complexes - Page 2 EmptyLun 5 Oct - 20:25

Donc on a Sn(Pi/2) = la somme à calculer ?

Puisque cos(k.Pi + Pi/2) = 0 ?
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MessageSujet: Re: [PCSI] Nombres complexes   [PCSI] Nombres complexes - Page 2 EmptyLun 5 Oct - 20:49

En effet Wink.

Cos(a+Pi/2=Sin(a) et ici a=kPi donc Sin(k*Pi)=0 tout simplement.

La conclusion est immédiate du coup!

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MessageSujet: Re: [PCSI] Nombres complexes   [PCSI] Nombres complexes - Page 2 EmptyLun 5 Oct - 20:59

Ok merci ! Je trouve finalement que la somme est égale à 2n.cos(nPi/2).
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MessageSujet: Re: [PCSI] Nombres complexes   [PCSI] Nombres complexes - Page 2 EmptyLun 5 Oct - 21:19

Nickel!

On pourrait presque aller plus loin car tu constates qu'en fonction del a parité de n le résultat peut s'écrire très simplement en fait.

Bon courage pour la suite!

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