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 Term S | Exercice 2 DM sur nbres complexes

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Mirabelle



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MessageSujet: Term S | Exercice 2 DM sur nbres complexes   Mer 14 Oct - 19:41

Rebonsoir !

Voici la suite de ce merveilleux DM... L'exercice 2. ^^
Qui m'a semblé plus compliqué que le premier exercice..

Voici tout d'abord l'énoncé :

[img=http://img200.imageshack.us/img200/5647/dm2exo2.th.jpg]

Et voici mes premières réponses :
[img=http://img387.imageshack.us/img387/5679/exo2debut.th.jpg]


J'ai également réussi à faire le début de la question 4)a), mais je n'ai pas réussi à en déduire la nature du triangle.
C'est à partir d'ici que je bloque.

Pour la question 1) pas de problème, je n'ai pas détaillé mes résultats mais je pense le faire en rendant ma copie.
Pour la question 2) je pense qu'il n'y a pas de soucis non plus.. Il y a juste un détail peut-être important pour la suite, c'est de souligner que la suite (un) est strictement décroissante. Je ne sais pas si ça servira ou non pour la suite ?
C'est pour la question 3) que ça interviendra je pense, encore une fois je sais que la réponse est à partir du rang 9 mais ma démonstration n'est pas correcte cette fois-ci je pense.. Pourriez-vous m'indiquer comment mieux le rédiger, s'il le faut, s'il vous plait ?
J'ai aussi pensé que dire ici que la suite un est décroissante est important car si elle ne l'était pas, on pourrait trouver encore un autre rang qui nous donnerait la réponse recherchée.. Je me trompe ? Est-ce correct ?

Comme dit plus haut pour la première partie de la question 4)a) c'est bon également, le développement ne figure simplement pas sur la feuille scannée. Mais c'est juste un développement alors je ne peux pas me tromper.

Par contre, pour la nature du triangle et la question 4)b), je sèche vraiment..
La nature du triangle semble isocèle ? Mais alors, comment le prouver ?

Pour la question 4)b), je voudrais juste préciser que nous n'avons pas vu les logarithmes encore, comme il y a "ln" je me doute que la façon la plus simple de régler cette question est de s'en servir mais comme nous ne les avons pas vu, mon professeur n'en acceptera pas sur les copies.
Il me semble que cet exercice est un sujet tombé au bac, mais les corrections sur le net sont trèèès floues, et en plus de ça en partie fausses Shocked

Je vous remercie d'avance.
Bonne semaine à vous
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Term S | Exercice 2 DM sur nbres complexes   Mer 14 Oct - 21:09

RE-bonsoir,

Alors cette exercice relie le thème des complexes et des suites. On commence donc à voir la puissance de tout ce qu'on connaît dans un même exercice ce qui à tendance à devenir intéressant en soit (même si nous sommes encore très guidé, on comprend mieux l'intérêt d'avoir étudier les suites par exemple). ET on voit aussi le lien ici entre l'utilité des complexes en géométrie vu que:

- Le module est une distance
- L'argument est un angle

Donc tout ceci nous donne une base de travail très intéressante en soi pour faire des exercice un peu plus intéressant que e l'application de cours pur et dure (type l'exercice 1 de ton devoir en gros).

Donc ici la première question est juste (il suffit de faire le calcul et de bien placer les points ne gros attention à l'unité du graphique(!!!) qui peut être l'erreur classique).

Pour la question 2), ton calcul est juste mais tu aurais encore pu améliorer en utilisant le fait que |(1+i)/2|=|1+i|/2 (le module d'un quotient est égale au quotient des module) et on conclut de la même façon. Par contre, dire ici que la suite est strictement décroissante n'a pas d'intérêt.

Pour a troisième question, c'est là que la strictement décroissance à en effet sont intérêt. Mais ce n'est pas réellement cela qui nous intéresse réellement. En effet, on pourrait être strictement décroissant mais ne jamais passer sous la barre des 1. Et pourtant c'est bien le cas. Pourquoi?? Car le fait quel a raison soit en module strictement comprise entre -1 et 1 nous dit quel a suite converge vers 0. Ce qui est en fait beaucoup plus puissant que la stricte décroissance.

Car en effet, d'après la définition de la limite, on sait que pour tout epsilon>0 , il existe un rang n0 à partir duquel |un|<epsilon

Si je pose epsilon=0.1 comme ce qu'on cherche. Il existe bien un rang n0 tel que pour tout n≥n0, |un|≤0.1
Or on sait que un>0 pour tout n (il s'agit d'un module !!!), donc on a bien l'existence d'un rang n0 tel que pour tout n≥n0, |un|≤0.1.

Ensuite, tu calcules manuellement ce rang car pour l'instant tu ne peux pas faire autrement (tu auras en effet la fonction logarithme népérien par la suite qui te permettra de trouverl a solution en deux lignes supplémentaire en gros , patience ça viendra Smile).

Sinon, pou la suite,i l faut faire attention à ce que tu lis et ce que tu crois lire! En effet, il n'estp as mention ici de la fonction logarithme népérien mais de la suite (ln) qui est définit comme la somme des distances (l comme longueur de notre ligne brisée en fait Wink ).

Enfin, avant cela, on montre donc une égalité mais comment s'en servir?? En fait, le triangle est encore mieux qu'isocèle!! Il est isocèle rectangle (un classique comme exercice en fait). Mais alors comment le montrer? Cela vient après un calcul donc forcément cela découle directement de celui-ci et c'est accentué par le "en déduire" d'ailleurs.

Et bien, il n'y a que deux choses à savoir sur l'égalité de complexe:

- même module
et
- même argument

A toi de jouer maintenant pour l'interprétation de ces deux quantités. Pour la question 4)b), il s'agit d'écrire ce que signifie les longueurs par rapport aux modules et retrouver (on l'espère tout de même) ce qu'on a définit dans la question 4)a) et utiliser ce qu'on a fait dans la question 2) aussi après tout (on, a pas défini cette suite de module pour le plaisir je pense si? Wink).

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions!

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MessageSujet: Re: Term S | Exercice 2 DM sur nbres complexes   Jeu 15 Oct - 18:56

Re bonsoir !

Alors, je suis arrivée à quelque chose, je l'ai scanné encore une fois.
Il y a le début de la question 4)a) avec :

[img=http://img373.imageshack.us/img373/9350/exercice24a.th.jpg]

Je pense être arrivée à prouver que le triangle est isocèle, par contre pour montrer qu'il est rectangle.. Shocked Je sèche.

Y a-t-il un rapport avec l'argument ?

Bonne soirée!
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Term S | Exercice 2 DM sur nbres complexes   Jeu 15 Oct - 23:05

Bonsoir,

Tout est juste jusque là mais pourquoi s'être arrêté en si bon chemin?
D'ailleurs, une simple remarque de rigueur (genre je suis un chieur) mais tu as divisé par zn comment sais-tu que pour tout n il reste différent de 0.

Je suis un poil énervant, je sais mais c'est pour que tu te poses par réflexe une question simple:

"Qu'est-ce que je manipule?"

Et là tu manipule une quantité qui n'a pas de sens s'il existe un n tel que zn=0 vu qu'on divise par zn+1. Ils'agit en fait d'une erreur grave mathématiquement parlant car tu pourrais très bien faire des calculs complètement aberrant et aboutissant à des absurdité sans même t'en apercevoir car tu travailles avec des lettres ("tu fais des calculs littéraux") car si je te mets des chiffres, il ne te viendrait pas à l'idée de diviser par 0 c'est évident. Par conséquent, pose-toi cette question à chaque fois que tu manipules des fonctions ou des fractions, ça ne coûte pas cher et tu comprendras mieux pourquoi en seconde et surtout en première, on t'a défini proprement l'ensemble de définition d'une fonction (la théorie a un intérêt non négligeable comme tu le constates Wink).

Sinon, pour en revenir à ton exercice, ton intuition est bonne alros vas-y fonce! Une égalité entre deux complexes nous donne une égalité entre des angles et nous n'avons pour le moment exploité que l'égalité sur les distances, ça serait dommage de ce privé de l'autre tout de même Smile.

Je pinaille beaucoup car en fait ta rédaction est plutôt juste et passera pouru n niveau terminale actuelle mais le but est je pense de comprendre le chose et surtout la cohérence de ton cursus mathématiques ce qui ne fait pas de mal surtout lorsqu'on croît faire plusieurs choses totalement différente d'année en année alors qu'on construit des bases toujours plus précises pour construire dessus par la suite tout simplement. Alros autant comprendre un peu plus le mécanisme interne au mathématiques car comme je le dis souvent, il est tellement plus agréable de manipuler des choses qu'on est capable de comprendre!

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MessageSujet: Re: Term S | Exercice 2 DM sur nbres complexes   Ven 16 Oct - 17:11

Bonjour !

Oui effectivement, autant je me suis "penchée" sur le soucis du dénominateur et de l'inégalité sur l'autre exercice, autant ici je n'ai absolument pas chercher à prouver un dénominateur non nul... Peut être parcequ'il était donné dans l'énoncé, je n'ai pas cherché plus loin Neutral

Mais comment prouver qu'une suite ne sera jms égale à zéro ? La suite zn n'est ni strictement décroissante, ni croissante, ni... rien de "particulier" qui me saute aux yeux en tout cas et qui permettrait de prouver quelque chose.
Non non ce n'est pas vous qui êtes énervant lol, au contraire je vous remercie de vous donner tant de mal.. c'est plutôt moi qui doit finir par être énervante, à force de me planter. ^^

Bref !

Je pense comprendre ce que vous voulez dire pour trouver les angles, enfin je pense..
L'idée serait de refaire à peu près la même "manoeuvre", en utilisant les arguments à la place des modules ?
Mais comment trouver un argument de Zn+1 ? un argument de Zn ?
silent Je désespère

J'aurais une autre alternative à vous montrer, pourriez-vous me dire si c'est correct ?
[img=http://img387.imageshack.us/img387/3146/trirectangle.th.jpg]

=> Cet angle est donc de 45°, puisque le triangle est isocèle en An+1 alors l'angle (AnO, OAn+1) sera également de 45°.
Comme la somme des angles d'un triangle est tjrs égale a 180, le troisième angle, (OAn+1, An+1An) sera rectangle.
C'est un peu "direct" comme réponse peut-être, on passe tout de suite au calcul du cosinus d'un angle sans rien expliquer.. mais je ne verrais pas quoi ajouter
Neutral


C'est pas mal stressant quand même, dire que c'est un exercice qui est tombé au bac, et que nous avons tellement de mal à le faire.. toute ma classe est en galère.

Merci encore, et bon week end !
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Term S | Exercice 2 DM sur nbres complexes   Ven 16 Oct - 18:53

Bonsoir,

Ne t'inquiète pas, je m'énerve très peu (c'est une qualité dansl e métier de l'enseignement paraît-il xD). Et puis tes erreurs sont classiques mais au moins tu en a conscience ce qui est une bonne chose car tu pourrais très bien appliquer les choses sans les comprendre et là par contre détecter les problèmes de compréhension ou d'assimilation pour ma part serait une tâche bien plus ardu. Donc, il reste du temps pour travailler et nous avons jusqu'au mois de juin pour ça après tout donc pas de soucis. Chaque chose en son temps, nous verrons la finalité après Wink. Je sais que le discours est contraire à tous tes professeur mais les mathématiques ça se comprend et ce n'est pas pour une date butoir mais plutôt sur la durée que ça se comprend et que ça s'appréhende Smile.

Ce qui est rassurant c'est de ce dire que le bac est encore loin. Soyons sérieux, tu viens de voir la notion de complexe qu'on t'as parachuté et qu'il faut assimiler le plus rapidement possible pour être pret pour le bac. Mais là, il s'agit d'un devoir qui a pour but de te montrer exactement ce que tu devras savoir faire pourl e bac sachant que tu n'as pas fini de manipuler les complexes, tu peux me croire Wink. Par conséquent, c'est un gros avantage de plancher sur ce sujet maintenant et de sécher complètement dessus. Pourquoi? Car ainsi, tu aura vu exactement les engrenages qui dont fonctionner les choses sur le terrain et tu les retiendras donc mieux de cette façon que de te donner des exercices types d'application de cours.

Sinon, je ne comprend pas d'où sort le cosinus de l'angle qui serait égale à la division des modules. J'ai l'impression que tu confonds des choses.

Petits rappels sur la théorie:

Soit M(z) du plan complexe (O;u,v), on a:
|z|=OM
Arg(z)=(u;OM)


A partir de là, il faut connaître la valeur d'un angle quelconque:
(AB;AC)= (AB;u)+(u;AC) (par relation de Chasles sur les angles)
Et on conclut en expriment les deux termes en fonction des arguments des affixes AB et AC:
(AB;AC)=-Arg(zAB)+Arg(zAC)

Et d'après ce qu'on connaît sur les arguments, on a: (AB;AC)=Arg(zAC/zAB)


Est-ce qu'au niveau du cours ceci est clair? Sinon, n'hésite pas car là, c'est la base donc si tu ne comprends pas cela (ce qui n'est pas un drame vu qu'on commence sur les complexes) il faut vraiment refaire un point et je le referai au cas où.

Sinon, si tu as compris cela: que vaut Arg[zn+1-zn)/zn+1] en terme d'angle? Sachant l'égalité qu'on a montrer en début de question, conclure surl e fait que notre triangle est bien rectangle.

Bon courage!

ps:
nous reviendrons sur la non nullité de zn après car ce n'est pas réellement grave de ne pas voir le truc ici mais le fait que tu ne vois pas encore la relation entre ton cours et ton exercice est plus embêtant, donc je préfère avancer sur ce terrain là dans un premier temps et revenir sur les problèmes de logique et de définition après.

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MessageSujet: Re: Term S | Exercice 2 DM sur nbres complexes   Ven 16 Oct - 21:50

Oui je pense comprendre le rappel que vous avez fait, mais je n'arrive pas pour autant à calculer un angle avec cette fichue formule..
Je l'ai triturée dans tous les sens, je suis toujours bloquée.

Neutral
Et j'ai vraiment l'impression de nager dans un truc incompréhensible alors que ça fait une semaine que je bosse sur ce DM.

Peut être que demain ça ira mieux ...
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MessageSujet: Re: Term S | Exercice 2 DM sur nbres complexes   Sam 17 Oct - 10:23

Effectivement je suis plus productive le matin. ^^
Voilà ce à quoi je suis arrivée :

[img=http://img200.imageshack.us/img200/7467/trirectangle2.th.jpg]

Ca me paraît plutôt logique, je pense que c'est correct ?
En le relisant ça paraît plutôt facile, surtout logique, mais le refaire en inter je sais pas si je saurais..
Il y a peut être quelques soucis d'écriture dans mes arguments et calculs sur arguments ?
Mise à part les équivalences, je les ai mises les unes a la suite de l'autre pour économiser de la place en scannant, mais je les écrirais les unes sous les autres sur ma copie.

J'éspère au moins que c'est correct.. ^^
Bon appétit
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MessageSujet: Re: Term S | Exercice 2 DM sur nbres complexes   Sam 17 Oct - 11:45

Bonjour,

C'est presque ça mais je pense que c'est toujours un peu confus pour toi car tu mets une équivalence entre des calculs de modules et des calculs d'argument ce qui est en soi totalement illogique.

En effet, dans un premier temps tu calculs le module ce qui donne AnAn+1/OAn+1=|i|=1 donc AnAn+1=0An+1 ce qui nous donne bien le fait que c'est isocèle en An+1. Ce que tu avais bien fait la première fois d'ailleurs.

Et après pour calculer l'argument, tu reviens à l'égalité de départ c'est à dire (zn+1-zn)/zn+1=i. Et c'est là que tu prends l'argument ce qui donne:

Arg[(zn+1-zn)/zn+1]=Arg(i)

Et c'est là qu'il faut bien comprend que l'arguement d'un quotient n'esstp as du tout le quotient des arguments (cela ne marche pas de la même manière que pour les modules).
En effet, rappel: Arg(Z'/Z)=Arg(Z')-Arg(Z) et Arg(Z'*Z)=Arg(Z')+Arg(Z)

Mais là, il ne sert à rien de fait les calculs, en effet, zn+1-zn c'est l'affixe du vecteur AnAn+1 et zn+1 c'est l'affixe du vecteur OAn+1.

Par conséquent, on a directement: Arg[(zAnAn+1/zAn+1]=Arg(i)

Et là, on peut conclure grâce au lien qu'on connaît entre arguement et angle entre deux vecteurs.

Est-ce plus clair ou cela reste toujours aussi flou?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Term S | Exercice 2 DM sur nbres complexes   Lun 19 Oct - 15:59

Bonjour !

Merci beaucoup pour toutes ces explications. Cela me parait effectivement un peu plus clair maintenant.
Je suis désolée pour le retard de ma réponse, j'avais un week end très chargé sans connexion à internet, je n'ai donc pas pu venir et répondre dans les temps.

Le DM était à rendre aujourd'hui, pour la dernière question j'ai fini par dire que la limite de la fonction était 2 racine carrée de 2 + 1, mais d'autres de ma classe avaient 2 racine de 2 seulement, du coup je verrais au moment du corrigé si quelque chose ne colle pas..

Nous faisons les nombres complexes en deux chapitres, nous venons de terminer la première partie et nous les reprendrons en milieu d'année. L'inter va donc bientôt tomber.. ^^

Je vous remercie vraiment pour votre aide, qui est comme toujours exceptionnelle sur un forum.
A bientôt, et bonne semaine !
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MessageSujet: Re: Term S | Exercice 2 DM sur nbres complexes   Lun 19 Oct - 16:55

Bonsoir,

Rien ne nous empèche de finir cette exercice ensemble si tu le souhaite après tout. Sinon, pour des idées:

- le triangle OAnAn+1 est isocèle rectangle en An+1 (mais ça on avait presque fini de le démontrer)
- ln s'exprime comme la somme d'une suite géométrique (une somme de un exactement)
- la limite de ln est 2*[(Racine(2)+1] (sauf erreur de calcul de ma part)

Le fait que tu ne fais soi-disant plus de complexe avant le milieu de l'année est plutôt contraignant dans le sens où tu risques d'oublier beaucoup de chose entre temps surtout que tout n'est pas encore tout à fait assimilé à première vue.

Je pense qu'il faut voir plus loin que l'effet "note sur le carnet" ou "devoir à rendre" et voir plutôt ceci:

- Qu'est-ce que je sais sur le sujet maintenant?
- Ai-je compris la totalité de mon cours?
- Serais-je refaire les exercices d'applications de cours ainsi que le devoir maison sans difficulté? (Si la réponse est non, il faut combler les trous avant que cela ne soit trop gros à combler).

Bon la question fatidique mais dont hélas je connais déjà la réponse:

- Est-ce que je travaille que pour la note final? (oui évidemment même si la réponse devrait théoriquement être non car on devrait travailler pour comprendre ce qui devrait être le seul but en soi et non l'évaluation mais bon, ça j'y peux rien).

Après libre à toi de passer à autre chose mais je serai toi, je profiterai des 10 jours de vacances pour faire 2-3h (sur 1 semaine et demi c'est faisable) de révision sur le sujet pour ne pas laisser des soucis de compréhension s'installer car il y a d'autre chapitre qui vont arriver avec leur lot de nouveautés aussi.

Je reste à ta disposition si tu as des questions ou souhaite finir ce sujet.

Bonne continuation!

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MessageSujet: Re: Term S | Exercice 2 DM sur nbres complexes   Mar 20 Oct - 17:35

Bonsoir !

Alors, le dm nous a été rendu. ^^ Tout était correct, j'ai perdu un seul petit point par soucis de clarté dans ma rédaction parfois je pense, car il n'y a aucune erreur à priori.
Pour la dernière question sur la limite, je pense l'avoir bien comprise. Il fallait comprendre que la suite ln est la somme des n premiers termes de la suite géométrique un de premier terme u1 = racine de 2 et de raison 1/racine de 2, apparemment c'est bien ça ?
Le reste n'était plus que du calcul et la limite 2 racine de 2 + 1 était apparemment juste aussi. ^^

Cette question est donc réglée et comprise, par contre en revoyant mon dm, je pense être capable de tout refaire, mise à part la question 4)a)..
C'est elle qui m'a posé le plus de pb je pense, le fait de passer de modules en argument, et d'arguments en angles, etc.. Le plus difficile je trouve est de savoir "où on va", on se lance dans des calculs qui paraissent interminables alors qu'on n'est pas sûr du tout de trouver ce que l'on veut.

Pour répondre à vos questions c'est certainement un soucis de compréhension du cours, je vais voir ce que je peux faire ce soir, reprendre quelques exercices de bases et voir ce que j'ai pu louper. Pour les calculs comme l'exercice 1 je suis rodée maintenant, je ne pense plus qu'il y ai de soucis avec ça. ^^
Apparemment mon prof a coupé ce chapitre en 2 parcequ'il l'estimait trop long, et ça nous permettra de revoir les bases que nous venons de voir en milieu d'année.. A mon avis nous n'avons vu qu'une petite partie, mais très importante sur les nombres complexes ? Quand je regarde dans les annales je serais incapable de refaire un exercice entier, mais c'est apparemment normal d'après lui, nous ne savons pas encore assez de choses sur le chapitre entier.

Donc voilà, je vais revoir tout ça. ^^
Oui je reprendrais ce chapitre pdt les vacances, mais ce serait quand même bien que je sois prête avant.
Merci pour tout !
Bonne soirée
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MessageSujet: Re: Term S | Exercice 2 DM sur nbres complexes   Mar 20 Oct - 19:53

Bonsoir,

Plutôt prometteur si tu as compris globalement l' "architecture" de cette exercice.

En fait pour la question 4)a) qui est donc la recherche de concret à partir d'une formule, il faut en effet savoir où on va. Et pour cela, il y a un moyen radicale: "Passer en coordonnées de vecteur".

En effet, si on écrit notre égalité en terme d'affixe de vecteurs, on a:

zAnAn+1/zOAn+1=i

A partir de là, il faut juste savoir deux choses:

- lorsque je passe en module une égalité, j'ai des égalité sur des distances (de norme de vecteurs en fait)

- lorsque je passe en arguement une égalité, j'ai des égalités sur les angles


Il n'y a AUCUN lien entre MODULE d'un complexe et ARGUMENT d'un complexe. On ne passe donc pas du tout de module à argument en fait et je pense que c'est là que se situe ton soucis. Donc soit on prend le module soit on prend l'argument mais il n'y a pas de va et vient entre ses deux notion qui sont indépendante.

En fait, si on considère la géométrie euclidienne, il ne te viendrait pas à l'idée de trouver des angles à partir des distances de façon brute. Et bien là, c'est la même chose, on a pas de lien entre module et argument sauf cas spécifique où on cherche à appliquer des thoérème mais nous n'en sommes pas là.

Sinon, le fait de couper en deux le chapitre n'est pas plus mal mais par contre, il ne faut pas que pour toi il y ait une coupure dans le sens oublie d'un session à l'autre sinon, tu risque de ne pas comprendre la deuxième partie. Car pour le moment, tu as toute la base sur les complexes entre les mains et c'est vraiment primordiale, le reste du chapitre se situe sur la forme et la détermination de nouvelle écriture en complexe.

En tout cas n'hésite pas si tu souhaites des précisions sur le sujet. Tu peux aussi proposer une correction de ton exercice pour travailler sur la rédaction par exemple.

Bonne continuation!

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MessageSujet: Re: Term S | Exercice 2 DM sur nbres complexes   Aujourd'hui à 16:31

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Term S | Exercice 2 DM sur nbres complexes
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