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 Point fixe (invariant)

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MessageSujet: Point fixe (invariant)   Mer 28 Oct - 12:01

Salut 'Cuicui.

Alors en classe, lorsqu'on avait étudié le cas général des suites définies comme tel : Un+1 = aUn + b (a;b) € R2 (et bien sûr a différent de 1 et b différent de 0), on avait utilisé sans le nommer le théorème du point fixe pour trouver la limite. On avait fait :
Soit l la limite. Déterminons l tel que : al + b = l ( f(l) = l ) donc l = b/(1-a)

Mais c'est quoi au fait ce théorème du point fixe ? Pourquoi l'a-t-on utilisé ici ? La limite d'une telle suite peut-elle être négative ? Et une telle suite peut très bien ne pas avoir de limite finie non ? (exemple : Un+1 = 3Un + 2 : en fait jpense que ça doit dépendre du premier terme)
Et d'abord c'est quoi un point fixe (aussi appelé invariant) ? Quand est-ce qu'il faut l'utiliser ? À quoi ça va bien pouvoir servir ?

Merci d'avance :-)
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Mer 28 Oct - 12:51

bonjour Natty,

Toujours aussi pointu les questions Wink. Le théorème du point fixe n'estp as au programme de terminale S car il y a un peut trop d'hypothèse pour le mettre ne place et le démontrer (même si c'est tout à fait faisable de le démontrer avec les bases de la terminale d'ailleurs mais nous verrons cela après à la rigueur).

Déjà commençons par les questions les plus simples:

Définition: On appelle point fixe ou point invariant d'une fontion F, un point x tel que F soit continue en x et F(x)=x

Donc ce qu'on utilise dans le recherche de la limite c'est en effet que la limite est un point fixe. En effet, ta suite est définie par réccurence simple c'est à dire qu'on a Un+1=F(Un)

Donc sous hypothèse que la limite existe et que la fonction F soit continue en cette limite. Si je l'appelle L, on a forcément en passant à la limite dans l'égalité: L=F(L). En effet (Un+1) est une suite extraite de la suite (Un) qu'on a supposé convergente vers L. Donc (Un+1) converge aussi vers L (Théorème: toute suite extraite d'une suite convergente converge et de plus elles ont la même limite).

Tu constates donc que pour utiliser le fait que L=F(L), il faut déjà deux hypothèse assez forte: L existe (il faut commencer par montrer que (Un) converge) et F est continue en L (ce qui n'est pas forcément évident non plus). Et cela sert donc à trouver la valeur de la limite sous ces hypothèses.

L'hypothèse la plus dur à mettre en place c'est justement la convergence de la suite (on te fera montrer qu'elle est croissante et majorée par exemple ou décroissante et minorée pour avoir l'existence de cette limite avec comme méthode le plus souvent des raisonnements par réccurence).


Il me reste encore une question simple à laquelle je peux répondre:

La limite peut être négative bien évidemment: En effet L=b/(1-a) Donc si b<0 et 1-a>0, la limite sera donc négative. De même si b>0 et 1-a<0. Et si je met les deux condition en une seule, je dirai que L est négative lorsque b et 1-a sont de signe opposé.

Enfin pour ton exemple Un+1=3*Un+2 si je suppose que la limite existe, elle est forcément un point fixe de la fonction F définie par F(x)=3x+2et par conséquent L=3L+2 <=> L=-1. Après rien ne me dit que L existe mais si L existe, on connait déjà sa valeur.


Bon passons au chose sérieuse. Tu n'utilises pas le théorème du point fixe en fait car tu supposes que L existe ce qui simplifie grandement le problème car on utilise plus que la continuité de la fontion F pour conclure. Le théorème du point fixe s'énonce ainsi:

Soit F une fonction continue sur I.
Si:
i) I est stable par F c'est à dire que F(I)Ì I
ii) F est constractante sur I c'est à dire que pour tout x, y dans I, on a: |F(x)-F(y)|≤k*|x-y| avec k<1

Alors F admet un unique pour fixe sur I

Cela nous donne donc l'existence Et l'unicité ce qui est bien plus fort que ce que tu utilises car on suppose déjà l'existence de la limite et on utilise donc la continuité de F pour trouver des point fixe dont on est pas sur de l'unicité !!! En effet, il t'arrivera que tu es une fonction F qui soit un polynôme du second degré et par conséquent, il y aura peut-être deux solutions à l'équation en L et donc deux limites possibles! Et on tranchera par des questions de signes par exemple ou par des considération sur la suite (on a montrer qu'elle était supérieur à tel nombre doncl a limite ne peut pas être inférieur par passage à la limite dans l'ingalité par exemple).

Donc ici la seul chose que tu utilises c'est que fait que dès que tu as existence de la limite de la suite alors cette limite vérifie l'équation L=F(L) par passage à la limite dans l'égalité et par continuité de F en L.

En espérant que celà soit plus clair mais n'hésite pas à poser tes questions si tu souhaite approfondir les choses ou demander des précisions sur ce que je viens de dire.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Mer 28 Oct - 15:00

Citation :
Déjà commençons par les questions les plus simples:

Définition: On appelle point fixe ou point invariant d'une fontion F, un point x tel que F soit continue en x et F(x)=x

Donc ce qu'on utilise dans le recherche de la limite c'est en effet que la limite est un point fixe. En effet, ta suite est définie par réccurence simple c'est à dire qu'on a Un+1=F(Un)

Donc sous hypothèse que la limite existe et que la fonction F soit continue en cette limite. Si je l'appelle L, on a forcément en passant à la limite dans l'égalité: L=F(L). En effet (Un+1) est une suite extraite de la suite (Un) qu'on a supposé convergente vers L. Donc (Un+1) converge aussi vers L (Théorème: toute suite extraite d'une suite convergente converge et de plus elles ont la même limite).

Tu constates donc que pour utiliser le fait que L=F(L), il faut déjà deux hypothèse assez forte: L existe (il faut commencer par montrer que (Un) converge) et F est continue en L (ce qui n'est pas forcément évident non plus). Et cela sert donc à trouver la valeur de la limite sous ces hypothèses.

L'hypothèse la plus dur à mettre en place c'est justement la convergence de la suite (on te fera montrer qu'elle est croissante et majorée par exemple ou décroissante et minorée pour avoir l'existence de cette limite avec comme méthode le plus souvent des raisonnements par réccurence).


OK, alors pour cette partie là je suis quasiment sûr d'avoir compris. Aurais-tu une question ou un exercice ou n'importe quoi pour vérifier que j'ai vraiment compris ?


Ensuite pour cette partie :

Citation :
Enfin pour ton exemple Un+1=3*Un+2 si je suppose que la limite existe, elle est forcément un point fixe de la fonction F définie par F(x)=3x+2et par conséquent L=3L+2 <=> L=-1. Après rien ne me dit que L existe mais si L existe, on connait déjà sa valeur.

Tu dis que si L existe alors L = -1.
Mais je ne vois pas comment la limite de cette suite pourrait être un réel. En fait il faudrait prouver comme tu l'as dit que la suite est bien convergente mais à vu d'œil je pense qu'elle est forcément divergente mais je ne sais pas le prouver. Donc si on prouve qu'elle est divergente, alors on ne parlera pas du tout de point fixe, et si on prouve quelle est convergente, alors la limite est forcément égale à -1 , c'est bien ça ? (pour la continuité de la fonction, c'est bon c'est une fonction affine).

En fait en y pensant, pour prouver qu'une suite diverge, on pourrait supposer qu'elle converge, utiliser le théorème du point fixe (en ayant préalablement vérifié la continuité) et montrer que l'équation obtenue n'a pas de solutions !!!???


Ensuite, pour le passage "sérieux" :


Citation :
Soit F une fonction continue sur I.
Si:
i) I est stable par F c'est à dire que F(I)Ì I
ii) F est constractante sur I c'est à dire que pour tout x, y dans I, on a: |F(x)-F(y)|≤k*|x-y| avec k<1

je préfère ne pas retenir ces mots difficiles pour l'instant Razz
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Mer 28 Oct - 15:34

Il n'y a pas de passge plus sérieux que d'autre en fait. C'est juste que vu que tu aimes la précision et appeler un chat un chat, je préfère ne rien te cacher ce qui à la rigueur devrait être fait directement en cours mais bon, on ne peut pas se permettre le luxe de balancer ce genre de définition alors que la moitié d'ue classe aura du mal avec la notion même de continuité ou de convergence. Il faut savoir être rigoureux tout en ne cachant rien. Pour cela, on ajoute dans les théorème des hypothèse plus fortes pour rendre les démonstration et l'utilisation excessible à tout le monde (et accessoiremetn au programme du bac aussi).

Pourl a deuxième partie de ton message, je pense que tu as compris. Si on montre que (Un) diverge, alors on ne peut plus passer à la limite dans l'égalité vu que Un n'aura pas de limite. Donc la valeur théorique de L si elle existait n'a aucun sens vu qu'elle n'existe pas tout simplement.

C'est un problème assez central en mathématique, la notion d'existence des choses. Par exemple, lorsque tu as vu les complexes, i n'existait pas dans R, il a fallu prendre un ensemble plus gros pour considérer son existence. Pour prendre un autre exemple plus concret, lorsqu'on résoud une équation, on considère qu'il y a des solutions et on travaille sur l'expression mais avant d'avoir un résultat rien ne nous dit qu'il y aura des solutions ou pas etencore moins qu'elle seront unique ou pas. C'est vraiment très important de bien comprendre ce qu'on manipule:

- Est-ce que ma solution existe?
- Si oui, est-ce qu'elle est unique?

Ce sont des questions vraiment fondamentale même si on s'en rend pas bien compte sauf ici où la notino d'existence de la limite prnd un sens vraimetn fondamentale car le théorème est mis en défaut s'il n'y a pas de limite.

Enfin, ce n'est pas le théorème du point fixe qu'on utilise ici. Il s'agit juste d'un théorème qui n'a pas de nom même si L est un point fixe de F ce n'est pas en soi le théorème du point fixe (qui lui nous donne existence et unicité). Il s'agit si tu veux d'une caractérisation de la limite dans le sens où si elle existe alors elle est comme ça.

Sinon, pour un exemple, on peut prendre celui que tu donnes après tout: Un+1=3*Un+2 avec U0=-5
1) calculer les premiers termes et conjecturer la monotonie de la suite
2) Démontrer cette monotonie
3) Montrer que la suite est bornée
4) Conclure sur la convergence et donner la valeur de la limite

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Mer 28 Oct - 16:07

Citation :
Pourl a deuxième partie de ton message, je pense que tu as compris. Si on montre que (Un) diverge, alors on ne peut plus passer à la limite dans l'égalité vu que Un n'aura pas de limite. Donc la valeur théorique de L si elle existait n'a aucun sens vu qu'elle n'existe pas tout simplement.

Fais-tu référence à cette partie de mon message :

Citation :
En fait en y pensant, pour prouver qu'une suite diverge, on pourrait supposer qu'elle converge, utiliser le théorème du point fixe (en ayant préalablement vérifié la continuité) et montrer que l'équation obtenue n'a pas de solutions !!!???

?

Car j'ai bien compris l'histoire d'égalité avec les limites. C'est juste que je dis : on SUPPOSE que la suite est convergente, et on va montrer que c'est pas possible puisque l'équation qu'on aura obtenue n'a pas de solution : je pensais donc à un raisonnement par l'absurde.


Sinon pour l'exercice que tu me proposes, ne pourrait-on pas le faire en fonction des valeurs de U0 pour le rendre plus intéressant. Et même si on prend U0 = -5, je doit être fou mais je vois pas en quoi la suite est bornée...
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MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Mer 28 Oct - 16:53

Je pensais plus à cette partie de ton message:

Citation :
Donc si on prouve qu'elle est divergente, alors on ne parlera pas du tout de point fixe, et si on prouve quelle est convergente, alors la limite est forcément égale à -1 , c'est bien ça ?

Sinon, le raisonnement par l'aburde est juste en effet. Si on suppose quel a limite existe alors elle vérifie forcément L=F(L). Mais si on montre qu'il n'y a ps de solution à L=F(L) alors il y a une contradiction en effet.
Par contre c'est rarement utiliser comme raisonnement mais c'est un raisonnement tout à fait plausible.

Pour l'exercice, je vais te le proposer à part, je pense mais sauf erreur, on peut prendre toute les valeurs de U0 possible maisj e vais vérfier celà avant de le poster.

Si tu as d'autre question n'hésite pas.

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MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Mer 28 Oct - 20:09

Citation :
Pour l'exercice, je vais te le proposer à part, je pense mais sauf erreur, on peut prendre toute les valeurs de U0 possible maisj e vais vérfier celà avant de le poster.

Pas trop compris cette phrase mais bon j'attends donc que tu repostes ^^
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MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Mer 28 Oct - 20:26

Tu as bien fait de me rappeler cela, j'avais oubié que je t'avais dit quej e posterait l'exercice. J'ai donc posté l'exercice dans la cage au exercice où je te propose une étude complète de cette suite.

Après étude, il n'y a pas convergence en effet mais comment l'avais-tu déduit intuitivement? Ta démarche m'intéresse Wink.

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MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Mer 28 Oct - 20:41

Bah c'est tout con ^^ Tu prend un nombre positif, quelqu'il soit, et tu le multiplie par 3 et t'ajoute 2. Tu vois bien que si tu réitères avec le nombre que tu viens de trouver, ça va vite grimper sans jamais s'arrêter. Enfin j'sais pas je me l'imagine très bien dans ma tête.
Pour se le persuader, on peut prendre une calculatrice et voir. En fait c'est pas comme si on avait Un+1 = 1/3Un + 55/13 ou là ça aurait était un peu plus délicat de le faire intuitivement

Mais quand tu vois que tu multiplie par 3 et t'ajoute2, ça ne peut pas converger.

Après avec un nombre négatif en guise de premier terme, ya des valeurs avec lesquelles ça va diverger vers -infini mais yen a d'autres qui vont encore permettre de diverger vers +infini.

En fait c'était juste du feeling ya rien d'extraordinaire.

On peut aussi se l'imaginer en se traçant des graphes dans sa tête avec les droites d'équations y = x et y = 3x + 2
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MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Mer 28 Oct - 21:20

La méthode est jsute en effet.

Tu fais une études par teste pourquoi pas après tout. Attention aux intuitions trompeuses car rien en remplace une démonstration rigoureuse en mathématiques. Mais ton feeling est bon garde-le Wink.

Sinon, j'ai ajouté une question supplémentaire à mon étude pour te montrer quelque chose d'intéressant lorsqu'on retire le point fixe de la fonction c'est assez intéressant à constater sur un exemple et cela se démontre que ça marche à tous les coup. C'està d ire que lorsqu'on a une expression affine de la fonction, on peut exprimer la suite ne fonction de n et de son premier terme.

Des idées pour démontrer celà?

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MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Mer 28 Oct - 21:25

J'suis pas sûr de comprendre ce que tu me demande.
Tu fais référence à la partie que tu as ajoutée à l'éxo dans la "Cage à exo" ?

Tu peux juste reformuler ton message stp ^^
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MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Mer 28 Oct - 21:31

Je considère a différent de 1 et b différent de 0.

Soit (Un) définie par U0 et Un+1=a*Un+b

Question: "Démontrer que Un s'écrit en fonction de n et de U0"

C'est ça la question mais à première vu tu sais déjà faire Wink.

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MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Mer 28 Oct - 21:35

Ben faut considérer la suite (Vn) définie par : Vn = Un - L

avec L la solution de l'équation L = aL + b

Tu montres que (Vn) est géométrique, tu as donc son écriture explicite en fonction de n et de U0 et t'en déduis l'expression de Un.

C'est ça ?
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MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Mer 28 Oct - 21:38

C'est tout à fait!

Dis comme cela, ça à l'air si simple Wink.

Rien à redire en tout cas.

Si tu souhaites plus de précisions sur le théorème que je t'ai donné plus haut n'hésite pas (la théorie pour le démontrer est accessible à un terminale après tout même si faut travailler un peu c'est évident). N'hésite pas si tu as d'utres questions sur cette partie du cours nonp lus d'ailleurs.

Bonne continuation!

ps: au fait mes histoire sur les corps et les congruence, ça ne t'as pas inspiré?

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MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Mer 28 Oct - 21:50

Atta si je récapitule :

* Je considère a différent de 1 et b différent de 0.

Soit (Un) définie par U0 et Un+1=a*Un+b

Alors je pourrais tout le temps définir une suite (Vn) définie par : Vn = Un - L avec L la solution de l'équation L = aL + b ? (en ayant au préalable justifié pourquoi on utilise cette équation : continuité, convergence et explication avec égalité sur les limites qui entraîne à L = f(L) )

Ca veut donc dire que tout suite comme ça sera donc forcément convergente pour une certaine valeur du premier terme (ou même plusieurs) et divergente sinon ?

* Maintenant je considère a égale à 1 et b différent de 0.

Soit (Un) définie par U0 et Un+1= Un+b

dans ce cas-là je ne peux pas trouver de solution à l'équation L = aL + b donc comment faire pour définir une suite auxiliaire afin de retrouver l'expression explicite de notre suite ? on est coincé là ! haha




Sinon pour le théorème du point fixe pour l'instant je pense que ça va aller.
Toute façon si je veux plus de précision je reposterai sur ce topic !

PS : pour l'histoire sur les corps et les congruences je t'avoue que ça m'a pas mal intéressé mais j'ai pas trop pris le temps de bien me pencher dessus donc je t'en reparlerai et je répondrai à ton long message peut être un peu plus tard dans l'année !

Edit : tu m'as pas répondu sur l'autre topic dans la cage à exercice Sad
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MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Mer 28 Oct - 22:02

De manière théorique, on ne justifie pas la convergence et on ne l'appelle pas L non plus si on souhaite pouvoir l'utiliser. C'est ce qu'on appelle une démarche d'analyse synthèse c'est à dire que je dis que je considère la solution de l'équation F(x)=x que j'appelle L par exemple et je considère la suite Vn=Un-L qui s'avère bien une suite géométrique et on conclut.

En fait dans tout les cas pour U0=L, on aura convergence car si on part du point fixe par récurrence, on montre que pour tout n, Un=F(L)=L (c'est la partie II de l'exercice qui mettait cela en évidence). Mais si la raison est comprise entre -1 et 1 strictement, alors la convergence se fait pour toute valeur de U0.

Sinon, lorsque a=1, tu viens de montrer qu'il ne s'agit plus d'une suite géoémtrique Wink. En effet, Un+1-Un=b ça ne te rappelle rien? Smile.

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MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Mer 28 Oct - 22:06

Oh la honte, je suis bête... Oublie ce que j'ai dit Smile
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MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Mer 28 Oct - 22:10

Citation :
De manière théorique, on ne justifie pas la convergence et on ne l'appelle pas L non plus si on souhaite pouvoir l'utiliser. C'est ce qu'on appelle une démarche d'analyse synthèse c'est à dire que je dis que je considère la solution de l'équation F(x)=x que j'appelle L par exemple et je considère la suite Vn=Un-L qui s'avère bien une suite géométrique et on conclut.

Donc si je comprend bien ton message, dans un exercice (que ce soit sur ce type de suite ou autre), si j'introduis à un moment donné l'équation L = f(L), j'ai pas besoin de la justifier ?? Faut pas la faire apparaître juste comme ça...
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MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Mer 28 Oct - 22:24

Je ne dis pas que L=F(L) ne doit pas s'introduire en disant que la limite L existe.

Ce que j'ai dit que pour écrire Un en fonction de n et U0, il ne faut pas mettre en évidence que L est la limite potentielle de Un car sinon, on perd en généralité et on pourrait faire cela qu'à partir du moment où (Un) converge ce qui est très restrictif vu qu'on peut le faire même sans la convergence de (Un) comme tu l'a fait.

C'est à dire que pour ce faire,i l suffit juste de parler de la solution de L=F(L) au brouillon et de poser directement Vn=Un-L avec la valeur de L en fonction de a et b directement.
Mais on ne te demandera pas cela cette année (ni les années suivantes d'ailleurs). Faut juste savoir que c'est faisable sans avoir des hypothèse très restricive (juste a différent de 1 et b différent de 0). On cherche souvent en maths à minimiser les hypothèse pour que le théorème soit le plus générale possible en fait.

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MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Mer 28 Oct - 22:38

Ok. Mais si jamais un jour je me retrouve confronté à l'étude de la limite d'une suite définie par récurrence, et qu'on a aucune indication :

dans ce cas-là, faudra bien que j'explique d'où je sors mon équation L = f(L)

Par exemple, si jamais mon prof nous donne une suite du même genre que celle qu'on vient d'étudier (c'est possible vu qu'on a fait l'étude théorique en cours), et qu'il nous demande d'étudier la limite de la suite (sans passer par l'étude d'une fonction auxiliaire), étant donné que cette méthode du point fixe est la seule que l'on connaisse pour trouver la limite d'une suite définie par récurrence de premier ordre, ben faudra bien que j'explique toute la démarche qui m'a menée à l'équation L = f(L) n'est-ce pas ?
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MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Mer 28 Oct - 22:44

Si on ne te donne pas de contrainte, on va dire que la rédaction estl a suivante:

Raisonnement par analyse synthèse.

Analyse:
Je suppose que ma suite converge vers L. Alors en passant à la limite dans l'égalité, j'obtiens nécessairement que L=F(L).
J'en déduis la valeur de L

Synthèse:
Soit Vn=Un-L (mais ici, j'écris la valeur que j'ai trouvé pour L car L dans la synthèse n'existe pas encore justement,o n cherche à le montrer)
Et là, on déroule le tapis rouge de l'étude de (Vn) et on en déduit l'expression de Un et donc sa limite.

voilà une rédaction qui est nickel pour moi en tout cas.

Qu'en penses-tu ?

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MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Mer 28 Oct - 23:02

Ouai pas mal !

Faudrait aussi préciser que la fonction est continue non ? et dire comme tu m'a expliqué tout au début que toute suite extraite d'une suite convergente converge aussi vers la même limite puis faire un jeu d'écriture avec les égalités pour retomber sur L = f(L).

Après le reste va de soit en effet pour trouver la forme explicite de la fonction.

Mais en supposant que la suite est convergente, on a pu faire tout ça et remonter à la forme explicite, mais comme tout ça était basé sur une supposition, est-on sûr que la formule que l'on vient de trouver est bonne ?



Sinon, si on prend un exemple complètement différent des suites que l'on vient d'étudier (ie. définies par récurrence avec une fonction affine). Alors si on nous la balance juste comme ça : Un+1 = f(Un) et on prouve qu'elle est convergente, alors pour trouver la limite j'utilise direct sans réfléchir cette méthode du point fixe que l'on vient détudier (en la justifiant bien sûr)?

Et à part cette super méthode pour trouver la limite d'une suite définie par récurrence de premier ordre, en connaît-on d'autres ?
Et pour les suites définies pas récurrence de second ordre et plus ?
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Mer 28 Oct - 23:17

En effet, il faut mettre un peu plus de justification pour le pasage à la limite car sino, il y a quelque soucis de rigueur en effet Wink.

Citation :
Mais en supposant que la suite est convergente, on a pu faire tout ça et remonter à la forme explicite, mais comme tout ça était basé sur une supposition, est-on sûr que la formule que l'on vient de trouver est bonne ?

C'est justement le but de l'analyse synthèse. C'est que si, les hypothèse fait dans l'analyse sont fausse et bien dans la synthèse nous allons arriver à des problèmes. Mais dansl a synthèse, on ne suppose plus rien donc, si la suite ne converge pas on l'aura bien supposé même si nous avions fait dans l'analyse une étude en supposant que la suite était convergente.

Par exemple pour fixer les idées c'est comme si je te demande résoudre x²-1=0 sur l'intervalle [0;3]. En analyse, tu résouds l'équation et tu trouves qu'il y a deux solutions qui sont 1 et -1. Et dans la synsthèse tu confronte ton analyse au problème et là tu te rend compte qu'une des deux solutions ne vérifie pas les hypothèses, donc elle n'est pas juste et il ne reste plus qu'une seule solution qui est 1.

En fait l'analyse c'est la partie nécessaire d'une équivalence et la partie synthèse c'es la partie suffisante. Donc pour que ce soit solution c'est nécessaire d'être égale à 1 ou -1 mais cela n'estp as suffisant car il y a des hypothèses supplémentaires qui permette de nous dire qu'il est suffisant d'être églae à 1. Vu que la solution 1 est à la fois nécessairement celle-là et qu'elle est suffisante pour les hyptohèses donc c'est la solution de notre problème.


Citation :
Sinon, si on prend un exemple complètement différent des suites que l'on vient d'étudier (ie. définies par récurrence avec une fonction affine). Alors si on nous la balance juste comme ça : Un+1 = f(Un) et on prouve qu'elle est convergente, alors pour trouver la limite j'utilise direct sans réfléchir cette méthode du point fixe que l'on vient détudier (en la justifiant bien sûr)?

En effet, si la fonction est continue et notre suite converge, on a nécessairement: L=F(L) peut importe la forme de F justement du moment qu'elle soit continue en L.


Citation :
Et à part cette super méthode pour trouver la limite d'une suite définie par récurrence de premier ordre, en connaît-on d'autres ?
Et pour les suites définies pas récurrence de second ordre et plus ?

Pourl e premier ordre, on a démontrer la forme de toutes les suites qu'on aura sous les yeux que veux-tu ajouter de plus? Smile.

Pour le second ordre (Fibonacci par exemple), il y a aussi des méthodes qui permettre de trouver la forme de la fonction mais c'est un peu plus complexe à ce moment là car on fait intervenir ce qu'on appelle l'équation caractériste liée à la suite ce qui nous permet de déduire l'expression en fonvtion de deux suites géoémtrique cette fois-ci et non plus une seule.

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MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Mer 28 Oct - 23:22

Citation :
Pourl e premier ordre, on a démontrer la forme de toutes les suites qu'on aura sous les yeux que veux-tu ajouter de plus?

Tu veux dire que choisir la suite auxiliaire (Vn) définie par Vn = Un - L ça marche pour n'importe quelle suite définie par récurrence de premier ordre, même si la fonction n'est pas une fonction affine ?? super !!

Et pour l'équation caractéristique d'une suite, tu m'avait expliqué ça je me souviens lorsqu'on avait résolu le problème sur la suite de Fibonacci avec la somme des termes impairs ou je ne sais plus quoi
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MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Mer 28 Oct - 23:35

Non, on a montré seulement pour les affines mais je pense que tu t'arrêtais à celà pour l'instant.

Sinon, dans un cadre générale, Un+1=F(Un) avec F quelconque, il n'y a pas de méthode prédéfinie pour expliciter Un. La seule chose qu'on puisse dire c'est que si la suite converge vers L et que la fonction est continue en L alors on a L=F(L).

Mais effectue le changement Vn=Un-L n'a pas raison de marcher car il n'y a plus unicité du L par exemple si la fonction est est un polynôme de degré supérieur ou égale à 2 ou s'il s'agit d'une fraction.

On a résolue l'étude pour toutes les fonction affine par contre avec toutes les valeurs de a et b.

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Point fixe (invariant)
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