Maths Cuicui, l'envolée mathématique

forum gratuit d'entraide mathématique de la 6ème à la 2ème année de licence
 
AccueilPortailFAQRechercherS'enregistrerMembresGroupesConnexion

Partagez | 
 

 Point fixe (invariant)

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Aller en bas 
Aller à la page : Précédent  1, 2
AuteurMessage
Eh



Masculin Nombre de messages : 237
Localisation : France
Date d'inscription : 08/02/2009

MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Mer 28 Oct - 23:50

Oki, parfait.

Sinon, pour continuer sur les p'tites techniques intéressantes sur les suites, j'avais vu que si la suite (Un) est définie par Un+1 = f(Un) où f est une fonction définie sur un intervalle inclus dans R+, on peut étudier le signe de f(x) - x pour déterminer le sens de variation de la suite.
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 30
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Mer 28 Oct - 23:53

Hum.

En fait F(x)-x lorsque x=Un c'est fou tout ce qu'on peut retrouver. Regarde:

F(Un)-Un=Un+1-Un

Heureusement que l'étude du signe de cela te donne la variation de notre suite Wink.

Mais c'est là qu'on voit l'intérêt de savoir étudier des fonctions!

_________________
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
Eh



Masculin Nombre de messages : 237
Localisation : France
Date d'inscription : 08/02/2009

MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Mer 28 Oct - 23:58

Pas mal cette petite technique Smile

Mais j'vois pas pourquoi il faut que la fonction soit définie sur R+ car c'est pas sur n que l'on travaille mais sur Un et si on revient à la définition d'une suite réelle, c'est bien une application définie sur N (ou sur une section finissante de N) à valeurs dans R !!!!


PS : ya aussi cette technique :

Quand Un+1 = f(Un) avec f continue :

* f croissante sur un intervalle contenant tous les termes Un, implique (Un) monotone croissante si Uinitial ≤ Uinitial + 1, et monotone décroissante si Uinitial ≥ Uinitial + 1

* f décroissante sur un intervalle contenant tous les termes Un, implique que (Un) est en "dents de scie".

d'où ça sort tout ça ?
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 30
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Jeu 29 Oct - 12:18

Bonjour,

Je ne comprend pas pourquoi notre fonction devrait avoir une restriction au niveau de l'ensemble de définition. Les suites sont définies en effet de N à valeur dans R. Donc si tu as sous les yeux une fonction définie sur R+ c'est qu'il faudra préalablement démontrer que Un est positif pour tout n.


Sinon, pour tes deux propriétés, cela vient encore de la définition par récurrence. En effet, on a Un+1=F(Un)

Supposons F croissante:

Un>Un+1 => F(Un)>F(Un+1) => Un+1>Un+2

De même,

Un<Un+1 => F(Un)<F(Un+1) => Un+1<Un+2

On constate donc que pour faire marcher la récurrence dans l'un des deux cas, il ne reste qu'à montrer l'initialisation vu quel e caractère héréditaire est immédiat par croissance.

Ce qui revient donc à montrer que:
Si U0>U1 et F croissante alors (Un) décroissante
Si U0<U1 et F croissante alors (Un) croissante

La démonstration par récurrence est immédiate.


Pour l'autre propriété, il faut connaître ses propriétés sur les fonction composées. En effet, si F est décroissante alors FoF est croissante!
Or FoF(Un)=Un+2
Donc la suite des termes pairs de la suite (Un) est régie par la propriété précédente avec la fonction FoF croissante.

Mais on ne peut pas conclure sur la monotonie de la suite lorsque F est décroissante. Il faut regarder à ce moment là, la suite extraites des termes pairs et celles des termes impairs si on veut trouver des propriétés sur la suite (si les deux ne convergent pas vers la même limite alors la suite ne converge pas, par exemple).

Bonne continuation!

_________________


Dernière édition par Blagu'cuicui le Jeu 29 Oct - 12:53, édité 1 fois
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
Eh



Masculin Nombre de messages : 237
Localisation : France
Date d'inscription : 08/02/2009

MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Jeu 29 Oct - 12:33

Ouai donc en fait la restriction n'est pas sur la fonction mais sur la suite (en fonction de la fonction)
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 30
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Jeu 29 Oct - 12:41

En fait, si on te donne une restriction sur la fonction, il va falloir montrer que cela est cohérent avec la définition de la suite sinon cela n'aurait pas de sens en soit.

_________________
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
Eh



Masculin Nombre de messages : 237
Localisation : France
Date d'inscription : 08/02/2009

MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Jeu 29 Oct - 12:48

Et je crois que tu t'es gourré dans ton dernier message sur les termes initiaux et la monotonie de la suite : ta inversé pour croissante et décroissante
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 30
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Jeu 29 Oct - 12:54

Bonne remarque!

J'ai corrigé dans le message concerné. En effet, si U0>U1 nous auront bien une décroissance de la suite si F est croissante.

Bonne continuation!

_________________
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
Contenu sponsorisé




MessageSujet: Re: Point fixe (invariant)   Aujourd'hui à 16:04

Revenir en haut Aller en bas
 
Point fixe (invariant)
Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Revenir en haut 
Page 2 sur 2Aller à la page : Précédent  1, 2
 Sujets similaires
-
» f continue decroissante ==> unique point fixe
» fof est le point fixe
» point fixe commun
» point fixe commun. ( extension)
» Autour du point fixe

Permission de ce forum:Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Maths Cuicui, l'envolée mathématique :: L'envolée du Lycée GT, Pro et du CAP :: Entre-aide pour la Terminale G, T et Pro :: Exercices de cours-
Sauter vers: