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 Étude de la convergence d'une suite

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Blagu'cuicui
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Masculin Nombre de messages : 5009
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MessageSujet: Étude de la convergence d'une suite   Mer 28 Oct - 20:24

Bonsoir @toutes et tous!

Voici un petite exercice somme toute assez classique sur l'étude de la convergence d'une suite.

Soit une suite (Un)N une suite définie par:
U0ЄR
Pour tout nЄN, Un+1=3*Un+2

I) Cas où U0>-1
1) Montrer que pour tout nЄN, Un>-1
2) En déduire la monotonie de (Un)
3) Que peut-on dire de la convergence de Un?

II) Cas où U0=-1
1) Montrer que (Un) est une suite constante.
2) Conclure sur la convergence de la suite.

III) Cas où U0<-1
1) Montrer que pour tout nЄN, Un<-1
2) En déduire la monotonie de (Un)
3) Que peut-on dire de la convergence de Un?

IV) A quelle condition la suite (Un) converge-t-elle?


Bon courage!

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MessageSujet: Re: Étude de la convergence d'une suite   Mer 28 Oct - 20:54

I) Cas où U0>-1
1) Récurrence qui se fait très facilement
2) Un+1 - Un = 2Un + 2

Or Un > -1 donc 2Un + 2 > 0

Soit Un+1 > Un

La suite est donc strictement croissante.

3) La suite est donc strictement croissante. : elle est alors soit divergente en +infini, soit convergente.

Supposons que la suite soit convergente. La fonction x --> 3x + 2 est continue sur R. Donc la limite L de la suite est solution de l'équation : L = 3L +2 soit L = -1. Or, pour tout n, Un > -1. L ne peut donc pas être la limite, d'où la contradiction.

La suite est donc divergente !!


Voila, pour les autres questions c'est à peu près la même chose Wink

Merci pour cet exo en tout cas !
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Étude de la convergence d'une suite   Mer 28 Oct - 21:15

Attention à la conclusion attive!!

En effet, contre exemple. Soit g la fonction inverse. On a pour tout x>0, f(x)=1/x>0. Or la limite en 0 est bien 0 malgré le fait qu'elle ne soit pas atteinte Wink.

La conclusion vient du fait de la stricte croissance et non que Un>-1.

La partie III) est une "symétrie" de celle-ci mais les raisonnement sont identique en effet. Pour la partie II) par contre on trouve une convergence justement et c'est le seul moyen que nous ayons d'avoir la convergence.

Il y a un moyen de trouver directement la convergence ou non de la suite. En effet, j'ajoute une étape de plus à mon exercice:

V)Étude constructive
Soit (Vn)N la suite définie par: pour tout nЄN, Vn=Un+1
1) Quel est la nature de la suite (Vn)?
2) Exprimer Vn en fonction de n et U0
3) En déduire l'expression de Un en fonction de n et U0
4) Retrouver les conclusions du IV)

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Étude de la convergence d'une suite   Mer 28 Oct - 21:21

Je savais que t'allais me dire ça !

En fait fallait utiliser les deux : elle est minorée par -1 ET strictement croissante, donc la limite ne peut pas être -1.

Sinon à part cette méthode pour prouver que la suite est divergente, on aurait pu dire quoi !?

Pour ta dernière partie qua tu as rajoutée à l'exercice, en fait il faut plutôt le voir comme :

Vn=Un - (-1)

On a fait toute l'étude théorique de ce genre de suite en classe donc je sais d'avance où ça va me mener donc j'estime ne pas avoir besoin de le refaire en répondant aux questions.

En tout cas merci d'avoir pris le temps de faire ça :-D
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MessageSujet: Re: Étude de la convergence d'une suite   Mer 28 Oct - 22:39

Nan ?

et pas d'autre méthode alors ?
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Étude de la convergence d'une suite   Mer 28 Oct - 22:46

En effet, il falliat utiliser la minoration et surtout la stricte croissance pour conclure.

Pour la partie V) c'est la façon la plus théorique et la seule qu'il est possible de trouver tout seul. En effet, les autres, tu constates que j'ai été obliger de te guider pour trouver quelque chose et par conséquent, la démarche est propre à l'exercice et non pas générale. La partie V) est la seule méthode qui se démontre réellement avec les outils mathématiques que tu as en ta possession.

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MessageSujet: Re: Étude de la convergence d'une suite   Mer 28 Oct - 23:10

Oki Smile
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