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 Angles et trigonométrie: Formules.

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Emel-ii-nee



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MessageSujet: Angles et trigonométrie: Formules.   Sam 31 Oct - 20:32

Bonjour à tous, je rencontre quelque difficultés avec mon exercice de math!
J'ai besoin de votre aide!
Voici l'énoncé
:

1°) Simplifier π-(π/10) ; π-(2π/5) ; π/2-π/10 .

2°) Calculer (sans l'aide de la calculatrice) :
A = cos(π/10) + cos(2π/5) + cos(3π/5) + cos(9π/10)
B = cos(π/10) + sin(2π/5) + cos(3π/5) + sin(9π/10) + cos(11π/10) + sin(7π/5) + cos(8π/5) + sin(19π/10)
C = sin(2π/5) + sin(4π/5) + sin(6π/5) + sin(8π/5)

(Il n'est pas nécessaire de connaitre les lignes trigonométrique de /10, ni de /5 pour faire ces calculs).


Voici les résultats que j'ai trouvé:

1°) π-(π/10) =9π/10
π-(2π/5) = 3π/5
π/2-π/10 = 4π/10 soit 2π/5

2°) A = 0. (Je peux vous refaire le calcule si vous en avez besoin, mais comme il est assez long, je met directement le résultat)
B = ??
C = ??

Je bloque sur le 2°) B et C, J'ai besoin d'aide s'il vous plaît..

Merci d'avance!


Dernière édition par Blagu'cuicui le Sam 31 Oct - 20:48, édité 1 fois (Raison : mise en forme)
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Angles et trigonométrie: Formules.   Sam 31 Oct - 21:13

Bonsoir et bienvenue parmi nous Émeline!

La première question est tout à fait juste!

Sinon, il faut se souvenir ou le retrouver grâce au cercle (ou encore refaire les calculs pour s'en convaincre rigoureusement) que:

Cos(π-a)=-Cos(a)
Cos(π/2-a)= Sin(a)

Sin(π-a)=Sin(a)
Sin(π/2-a)=Cos(a)

Et avec cela, ton premier calcul qui fait en effet 0, ce calcul beaucoup plus rapidement:

A= Cos(π/10) + Cos[π/2-π/10] + Cos[π-2π/5] + Cos[π-π/10]= Cos[π/10] + Cos[2π/5] - Cos[2π/5] - Cos[π/10] (j'ai laissé le deuxième terme lorsque j'ai vu apparaître le -Cos[2π/5], ce qui me permet l'annulation direct Smile).
Donc A=0 nous sommes d'accord.

Maintenant pour B c'est le même principe mais il faut commencer par exprimer 11π/10, 7π/5, 8π/5 et 19π10 en fonction de π/10 ou 2π/5, sinon nous n'allons pas pouvoir nous en sortir.

Alors comment décomposer 11π/10 en fonction de π/10 ? Et mêem question pour les 3 autres termes.

Bon courage!

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Emel-ii-nee



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MessageSujet: Re: Angles et trigonométrie: Formules.   Sam 31 Oct - 21:37

& bien..
Cos11π/10 = Cos(π + π/10) = Cos(π/10) ??
Sin7π/5 = Sin(π + 2π/5) = Sin(2π/5) ??
Cos8π/5 = Cos(π + 3π/5) = Cos(3π/5) ??
Sin19π10 = Sin(π + 9π/10) = Sin(9π/10) ??

Smile
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MessageSujet: Re: Angles et trigonométrie: Formules.   Sam 31 Oct - 21:48

Alors ça:

Citation :
Cos(11π/10) = Cos(π + π/10)
Sin(7π/5) = Sin(π + 2π/5)
Cos(8π/5) = Cos(π + 3π/5)
Sin(19π/10) = Sin(π + 9π/10)

c'est excellent!

Après, faut faire attention, car là on additionne donc ça change un peu les résultats:

Cos(π+a)=-Cos(a)
Cos(π/2+a)=Sin(a)
Sin(π+a)=-Sin(a)
Sin(π/2+a)=-Cos(a)

Je te laisse refaire les calculs si tu veux en développant grâce au formule Cos(a+b) et Sin(a+b).

Et maintenant, il nous reste à mettre les mains dans le cambouis pour faire les calculs du B et du C avec tout ça Smile.

Bon courage!

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Emel-ii-nee



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MessageSujet: Re: Angles et trigonométrie: Formules.   Sam 31 Oct - 22:21

B = cos(π/10) + sin(2π/5) + cos(3π/5) + sin(9π/10) + cos(11π/10) + sin(7π/5) + cos(8π/5) + sin(19π/10)
B = cos(π/10) + sin(2π/5) + cos(3π/5) + sin(9π/10) + cos(π + π/10) + sin(π + 2π/5) + cos(π + 3π/5) + sin(π + 9π/10)
B = cos(π/10) + sin(2π/5) + cos(3π/5) + sin(9π/10) + cos(π/10) + sin(2π/5) + cos(3π/5) + sin(9π/10)
B = 2cos(π/10) + 2sin(2π/5) + 2cos(3π/5) + 2sin(9π/10)
(Formules de dupplication..)
B = [cos²(π/10) - sin²(π/10)] + [2sin²(2π/5) x 2cos²(2π/5)] + [cos²(3π/5) - sin²(3π/5)] + [2sin²(9π/10) x 2cos²(9π/10)]
B = [2cos²(π/10) - 1] + [2sin²(2π/5) x 2cos²(2π/5)] + [2cos²(3π/5) - 1] + [2sin²(9π/10) x 2cos²(9π/10)]
B = [1 - 2 sin²(π/10) - 1] + [2sin²(2π/5) x 2cos²(2π/5)] + [1 - 2 sin²(3π/5) - 1] + [2sin²(9π/10) x 2cos²(9π/10)]

C'est bon jusque là ? Parce que je n'ai pas envie de me lancer dans quelque chose qui n'est même pas bon..

Smile
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MessageSujet: Re: Angles et trigonométrie: Formules.   Sam 31 Oct - 22:38

Alors c'est faux dès la troisième ligne Wink.

En effet, tu as mis que Cos(π+π/10)=Cos(π/10) mais ce n'est pas exacte ça!

Cos(π+π/10)=Cos(π)Cos(π/10)-Sin(π)Sin(π/10)=-Cos(π/10)

Relis mon dernier message avec les correspondances entre Cos(π+a), .... car j'ai l'impression qu'il te manque quelque signe "-" un peu partout pour le coup.

Bon courage!

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Dernière édition par Blagu'cuicui le Sam 31 Oct - 22:51, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Angles et trigonométrie: Formules.   Sam 31 Oct - 22:50

Aaah Oui, complètement.. Razz

Bon, on recommence tout !

B = cos(π/10) + sin(2π/5) + cos(3π/5) + sin(9π/10) + cos(11π/10) + sin(7π/5) + cos(8π/5) + sin(19π/10)
B = cos(π/10) + sin(2π/5) + cos(3π/5) + sin(9π/10) + cos(π + π/10) + sin(π + 2π/5) + cos(π + 3π/5) + sin(π + 9π/10)
B = cos(π/10) + sin(2π/5) + cos(3π/5) + sin(9π/10) - cos(π/10) - sin(2π/5) - cos(3π/5) - sin(9π/10)
B = 0 ??

Question
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MessageSujet: Re: Angles et trigonométrie: Formules.   Sam 31 Oct - 22:54

Cela t'étonne tant que ça? Wink.

Sachant qu'à la base, on nous dit explicitement qu'on ne connaît pas la valeur des cosinus et des sinus de π/10 et qu'on n'a pas le droit d'en donner des valeurs approchées à la calculatrice, je dirai qu'en toute logique, cela ne pouvait faire que 0 Wink.

Je pencherai encore pour un joli 0 pour le dernier résultat mais essayons de voir ce que cela va donner en faisant le calcul Smile.

Alors la première chose est d'arranger les termes qu'on ne connaît pas encore en fonction de π/10, 2π/5 avec la même optique que pour la B en fait.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Angles et trigonométrie: Formules.   Sam 31 Oct - 23:11

Alors:

C = sin(2π/5) + sin(4π/5) + sin(6π/5) + sin(8π/5)
C = sin(π-3π/5) + sin(π-π/5) + sin(π+π/5) + sin(π+3π/5)
C = -sin(3π/5) -sin(π/5) -sin(π/5) -sin(3π/5)

Maais ça ne fais pas zéro.. Crying or Very sad
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MessageSujet: Re: Angles et trigonométrie: Formules.   Sam 31 Oct - 23:18

Attention de ne pas confondre π+a et π-a Wink.

Sin(π-3π/5)=Sin(π)Cos(3π/5)-Cos(π)*Sin(3π/5)=+Cos(3π/5)

Je te laisse revoir tes calcus et à la rigueur, il faudrait que tu retrouves les résultats que je t'es montré à la main pour t'en convaincre ça éviterait les erreur je pense.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Angles et trigonométrie: Formules.   Sam 31 Oct - 23:31

Ooooook ! Idea
J'ai compris! Very Happy
Donc :
C = sin(2π/5) + sin(4π/5) + sin(6π/5) + sin(8π/5)
C = sin(π-3π/5) + sin(π-π/5) + sin(π+π/5) + sin(π+3π/5)
C = sin(3π/5) sin(π/5) -sin(π/5) -sin(3π/5)
C = 0

En faite, je me mélangeais entre les formules des Cos et des Sin.
Maintenant j'ai bien compris et bien enregistrée que:
Cos(π-a)=-Cos(a)
Cos(π+a)=-Cos(a)

Sin(π-a)=Sin(a)
Sin(π+a)=-Sin(a)

afro
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MessageSujet: Re: Angles et trigonométrie: Formules.   Sam 31 Oct - 23:32

Nickel!

Et comme par hasard, on trouve 0. On pourrait résumer le fait que c'est un exercice nul Wink.

Bon courage pour la suite!

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MessageSujet: Re: Angles et trigonométrie: Formules.   Sam 31 Oct - 23:35

Merci Bcp bcp bcp bcp! sunny
J'reviendrais sur ce Forum si je rencontre d'autres problèmes parce que c'est vraiment le Meilleur de tous ceux que j'ai connu. Vous répondez rapidement et surtout, vous ne donnez pas les réponses comme ça, vous m'aider (c'est un peu le but d'un forum, mais trop souvent, les gens vous donnent les réponses comme ça sans aucune explication). Merci Bcp en tous cas! Very Happy study
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MessageSujet: Re: Angles et trigonométrie: Formules.   

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