Maths Cuicui, l'envolée mathématique

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 probleme ....De limite

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sounsoun



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MessageSujet: probleme ....De limite   Dim 15 Nov - 15:22

Bonjour Cuicui!!!( eh oui est encore moi)

dans le cours on fait plein d exemple mais je n ai strictement rien compris au procédé du calcul...
pouvez vous me l indiquer svp.... merci d avance

je vous donne les exemple

f(x)=x3 -3x+1/4

lim f(x)=lim x3/4 = +∞
x---->+∞



un autre lim (x²-x-6)/(4-x)

x--->4
X SUPERIEUR à 4 ( et là je ne comprend pas le superieur à 4).....


lim x²-x-6=4²-4-6=6
x---->4
lim 4-x=0- ( et là je n ai pas compris le principe de 0+ et 0-)......


derniere exemple : quand c est sous la forme de fraction du style

f(x)=(4-x)/(x²-1)

lim 4-x =3
x---->-1
x superieur à -1 ( encore une fois je ne comprend pas le superieur à 1à

lim x²-1= 0+( pourquoi 0 plus)
X--->-1
x superieur à -1


Lim f(x)=-∞
x--->-1
xsuperieur à -1




merci d avance
encore une fois j aimerai beaucoup avoir le procedé de calcul ...les regles fondamentales et quelque exemple merci beaucoup beaucoup d avance


Dernière édition par Blagu'cuicui le Dim 15 Nov - 15:25, édité 1 fois (Raison : mise en forme des caractères)
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: probleme ....De limite   Dim 15 Nov - 15:52

Bonjour,

Alors pour la première fonction F(x)=(x3-3x+1)/4 nous sommes face à une forme indéterminée. En effet, lal imite d'une addition c'est normalement égale à l'addition de chacune des limites lorsque celles-ci sont finies. Or il y a quelques soucis lorsqu'elles ne sont pas finies. Regardons chacun des termes:

Limx-->+∞ x3=+∞

Limx-->+∞ x=+∞ Donc Limx-->+∞ -3x=-∞ (car -3<0)

Limx-->+∞ 1=1

Donc la limite du numérateur devrait être égale à: "+∞-∞+1". Or Soustraire des quantités qui sont infini, on ne sait absolument pas faire. En effet, si tu as une infinité d'oiseaux et que je retire une infinité de pigeons, est-ce qu'il m'en reste encore une infinité? Est-ce qu'il ne me reste plus qu'une centaines d'oiseaux ou un million ou ... ??? Aucune idée. Il est donc assez intuitif de comprendre que nous sommes face à un problème de taille car nous ne pouvons pas conclure.

C'est ce qu'on appelle une forme indéterminée de type "∞-∞".

Donc pour pouvoir conclure, il va falloire changer notre expression pour qu'on puisse s'en sortir. Pour cela, il faut comprendre comment fonctionne une fonction dite polynômiale c'est à dire P:x|--> an*xn+ an-1*xn-1 + .... + a1*x+a0 avec les ai des réelles quelconque. En effet, il faut savoir que pour ces fonction, il y a ce qu'on appelle un terme prédominant qu'on appelle aussi terme de plus au degré et qui serait ici an*xn.

Pourquoi est-il si important se terme de plus haut degré?

Et bien, il est prédominant car c'est lui qui détient une grande partie des information du polynôme. C'est lui qui va nous dire combien de changement de varaition il va y avoir par exemple mais c'est aussi lui qui va nous donner le comportement de la fonction à l'infini (+∞ et -∞).

EN effet, si on considère x non nul, on peut donc factoriser par xn (ce qu'on appelle factoriser par le terme de plus haut degré) et ainsi, on obtient:

P(x)=xn*[an + an-1*xn-1/xn + .... + a1*x/xn + a0/xn]

Mais nous savons faire des calculs sur les puissances. Par conséquent, on sait par exemple que xn-1/xn=1/x, xn-2/xn=1/x², etc. Nous avons ainsi:

P(x)=xn*[ an + an-1/x + .... + a1/xn-1 + a0/xn ]

Or, nous connaissons les limite à l'infini de la fonction inverse et de toutes les puissances de la fonction inverse. En effet:

Pour tout entier n, on a: Limx-->+∞ 1/xn=0 (et de même pour la limite en -∞)

Donc ce qu'il y a entre crochet à une limite finie en + (et - ∞) égale à an. Ainsi:

Limx-->+∞ P(x)= Limx-->+∞ an*xn


Donc si on revient à notre exemple, en factorisant par x3 le dénominateur, on obtient:

F(x)=x3*[ 1 - 3/x² + 1/x3 ]/4

Et on constate que ce qu'il y a entre corche tend vers 1. De plus, la limite d'un quotient est égale au quotient des limites lorsque les les limites sont finies. Or le dénominateur tend vers 4 (il a donc une limite finie!!).

Ainsi: Limx-->+∞ F(x)= Limx-->+∞ x3/4

Est-ce plus clair ainsi?

Si c'estl e cas, peux-tu me chercher la limite en +∞ de la fonction suivante: F(x)= 2*x7 - 3*x² + 2 en détaillant le raisonnement (le but n'est pas d'apprendre le "truc" par coeur mais de pouvoir l'écrire sur n'importe quel exemple car tout exemple réserve son lot de surprise et ne pas savoir faire cela et l'utiliser comme un résultat serait un très mauvais choix à faire!!).

Bon courage!

ps: pourrais-tu mettre la deuxième partie de ton message dns un autre sujet car le raisonnement est toalement différent et je préfère pour ma part ne pas mélanger tout cela car il ne s'agit pas de faire un catalogue de "truc et astuce pour calcul de limite", le but étant de savoir s'en servir et de pouvoir les retrouver aussi. Merci d'avance

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Dernière édition par Blagu'cuicui le Dim 15 Nov - 16:07, édité 1 fois
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sounsoun



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MessageSujet: Re: probleme ....De limite   Dim 15 Nov - 15:59

d accord ce que je n ai pas compris c est vraiment le procedée
j aimerai bien que vous m expliquer un truc du genre
etape 1
etape 2
etape3 etc...

je sais que je suis reloue.... avec un exemple precis svp:- j abuse je sais:)
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: probleme ....De limite   Dim 15 Nov - 16:06

Et bien nous allons justement le crée le procéder car il n'y a pas de procédé miracle qui marhce sur tous les exemples.
donc le but est que tu trouves justement un moyen de te souvenir des liens entre les étapes et les étapes elles-mêmes pour que tu puisses ensuite les utiliser dans différent cas.

Donc la question reste simple: Comment calculer la limite en +∞ de la fonction F(x)= 2*x7 - 3*x² + 2

Et pour cela que faisons-nous et pourquoi le faisons nous?

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MessageSujet: Re: probleme ....De limite   Dim 15 Nov - 17:46

oui j ai compris celui la
je relis mon cours et je vois mes difficultés..alors le principe c est
la limite du polinome f est egale a la lim de son monome le plus haut degres en li xx--->+oo


j ai compris la partie fonction rationelle
la partie en reel a

mais je n ai pas compris la partie " Si f n est pas definie en a"
et on a eu comme exemple


lim de 1/x+1


x---->-1
x inferieur à -1
lim de x+1=0 moins...

pourquoi le 0 moins????



je crois que la methode et de separe le x superieur à a et le x inferrieur à a c est ça?
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MessageSujet: Re: probleme ....De limite   Dim 15 Nov - 18:15

Apprendre, l' "astuce" de façon brute est le meilleur moyen de se planter si l'exercice n'est pasde type "application de cours". Après c'est toi qui choisit tes méthodes d'apprentissage du cours mais le fameux:

"la limite d'une fonction polynôme est égale à la limite du monôme du plus haut degré"

Est le meilleur moyen d'écrire les pires erreurs sur le sujet cat d'une part la phrase est fausse si on ajoute pas que la limite est prise pour x tendant vers plus ou moins l'infini et d'autre par si elle ne s'applique pas de façon brute, tu risques d'avoir quelques soucis pour conclure dans certains exercices ou des exercices où il s'agit de la première question et par conséquent, on ne te demande pas d'appliquer bêtement mais de retrouver cette astuce. Il faut donc connaître la méthodes au lieu de l'astuce si on veut avoir des base solide sur le sujet.

Pour l'autre limite, j'aimerai que tu ouvres un autre sujet car nous changeons de façon de raisonner sur niveau des limites.

Bon courage pour la suite!

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