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 Barycentres

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Roi_Med



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MessageSujet: Barycentres   Dim 15 Nov - 19:38

Bonjour,
j'ai dmain un contrôle sur les barycentres, et un peu d'espace ( barycentre d'un cube...).
je pense avoir bien compris la notion de barycentre, pour que pour deux points points auxquels on associe des poids, la rapport distance 1 fois poids1 = distance 2 fois poids 2.
Mais de là à faire les exercices.
Je comprends bien les corrections en classe, mais la prof reste assez brouillon et ne nous a jamais donné les formules:
En quel cas peut-on dire qu'un point est barycentre des autres en fonction d'écritures.
La seule formule que je connais étant: AG = b/a+b AB.
-Associativité des barycentres??

Voilà merci, je vais essayer de voir les exercices et problèmes sur votre site à ce sujet. Laughing
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Barycentres   Dim 15 Nov - 20:17

Bonsoir et bienvenue parmi nous!

Pour ma part, je ne comprend pas très bien cette égalité là:
Citation :
la rapport distance 1 fois poids1 = distance 2 fois poids 2

Ce qu'il faut savoir sur les barycentre c'est déjà la définition de ce qu'est un barycentre (on commence pas le début avatn de savoir appliquer des formules ou d'avoir des formules à appliquer d'ailleurs).

En Fait, je prétend que tu connais déjà un barycentre particulier depuis que tu suis des cours. En effet, n'as-tu jamais essayé de faire tenir ta règle ne équilibre sur un crayon par exemple? Et bien, lorsque tu fais ça, en fait tu cherches le barycentre de ta règle c'est c'est là où si tu mets un objet la règle sera parfaitement en équilibre. C'est le principe d'une balance de nos arrière grand parents par exemple ou la balance sur quelque marché (où on met des poids d'un côté et les article de l'autre). Dans tous ses cas là, nous avons à faire à la recherche d'un barycentre d'équilibre qu'on appelle en mathématiques l'isobarycentre de l'objet (là où toute la masse se concentre en quelque sorte).

Bon passons à la définition mathématiques qui est en fait la même sauf qu'il n'existe pas que des isobarycentre (où on considère qu'on a des poids égale de chaque côté de la balance) mais qu'on a aussi des barycentre où on a des poids différents aux extrémitées (si on considère toujours un barycentre de deux points). Et bien nous allons pouvoir donner la définition suivante (que je vais essayer d'explicité physiquement parlatn ensuite).

Soit A et B deux points du plan et a,b deux réels,
On dit que G est le barycentre de (A,a) et (B,b) si et seulement si
i) a+b est différent de 0
ii) a*GA+b*GB=0

Alors pourquoi a+b différent de 0?? Et bien prenant une tige de faire avec un plateau à cahque bout. On considère qu'on peut mettre des poids négatif (c'est à dire qu'on peut soulever la balance d'un côté si tu veux au lieu d'y mettre un poids) et bien si l'addition des deux poids de chaque côté est égale à 0 cela signifie que d'un côté on met des poids et que de l'autre au soulève la balance d'autant de poids qu'on a mis del 'autre côté. En gros, il est impossible de trouver un point de notre tige qui permette de stabiliser la balance.

Et maintenant que signifie le ii) en physique? Cela signifie en fait que notre point est un point d'équilibre pour la balance si la force qu'on exerce en A (symbolisé par le vecteur a*GA) soit opposé à la force exercée en B (symbolisé par le vecteur b*GB). En gros, on dit qu'en lieu et place de notre point G il y aurai exactement une force inverse à l'addition des deux force exercé en A et en B.

Après, on déduit la relation que tu donnes qui nous permet de trouver la place de G. C'est à dire que par la relation de Chasles, on fait intervenir le point A dans le vecteur GB par exemple ce qui nous donne GB=GA+AB et ainsi, on a:

(a+b)*GA=-b*AB

Et on constate que si a+b était nul, on aurait donc que le vecteur AB est nul aussi et par conséquent que notre tige n'existe pas en quelque sorte ou est réduite à un point. On déduit donc en divisant par a+b que:

GA=-b/(a+b)*AB
C'est à dire AG=b/(a+b)*AB


Est-ce que jusque là, c'est plus clair?

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Roi_Med



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MessageSujet: Re: Barycentres   Dim 15 Nov - 20:37

Oui jusque la je suis. Very Happy .
Ce que je voulais dire dans la première phrase, c'est que si je prends un point 1 auquel j'associe un poids 1, et un point 2 auquel j'associe un poids 2, alors G est le point qui justifie l'égalité:
poids1xdistanceP1 à G = poids2xdistanceP2 à G.
Et je comprends ta démonstration pour la formule, même si je ne l'ai utilisée assez de fois pour vraiment comprendre son utilité. Laughing .
Merci
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Barycentres   Dim 15 Nov - 20:55

Ha oui en effet, on peut voir la définition du barycentre comme un point vérifient une égalité de distance, c'est vrai.

Mais je trouve que cette définition est un peu trop restrictive pour ma part. En effet, alors la définition sur les vecteurs, on a:

a*GA+b*GB=0

<=> a*GA=-b*GB

Maintenant, si je passe à la norme dans l'égalité, j'obtiens: |a|*GA=|-b|*GB <=> |a|*GA=|b|*GB

Et on retrouve exactement, ce que tu as écrit si on considère que les poids sont positifs tout simplement. Donc l'avantage de la définition via les vecteur c'est qu'on a à la fois la relation sur les distance mais aussi sur le sens et la direction (parallèlisme) ce qui nous permet de construire directement le lieu où se situe le barycentre G.

Maintenant, pour l'associativité. L'idée c'est de se dire que si on a trois points du plan A, B et C avec respectivement trois poids a, b et c et bien c'est la même chose que de considéré le barycentre de ces trois points que de considérer le barycentre de deux points dont l'un des deux points est un barycentre de B et C par exemple.

En gros, si tu as un triangle plein (tu as découpé un triangle dans un feuille de papier) et bien cherche son centre de gravité (qui n'est autre que l'isobarycentre du triangle c'està dire le barycentre de A, B et C affectés du poids 1) que vas-tu faire?
La première chose que tu risques de faire c'est de mettre un crayon qui passe par l'un des point et d'essayer d'équilibrer ton triangle. Tu vas donc trouver un segmetn du triangle pour lequel le triangle est stable dont l'un des extrémité est un des sommets. Et pour après, il te restera qu'à regarder sur ce segmetn où il faut mettre la point du crayon pour que notre triangle soit stable. Et bien là, tu viens d'admirer l'associativité du barycentre car tu a commencer par chercher le parycnetre de deux des points en excluant l'un deux (la détermination du segmetn stable pour le triangle qui n'est autre d'aileurs que l'une des médiane Wink). ET ensutie, tu as cherché le barycentre entre le sommet que tu avait laissé de côté et le barycentre des deux autres points.

Maintenant si on donne un peu de rigueur à tout ceci, on dira ceci:

Soit A, B et C trois points du plan et a, b et c trois réels.
On considère G le barycentre de (A,a), (B,b) et (C,c)
Si I est le barycentre de (A,a) et (B,b) (ce qui signifie d'entrée que a+b différent de 0 !!)
alors G est le barycentre de (I,a+b) et (C,c)

Comment cela se démontre-t-il?

Tout simplement en écirvant els définitions Smile. Puisque G est barycentre de (A,a) (B,b) et (C,c) on a:
a+b+c différent de 0 d'une part mais surtout on a:
a*GA+b*GB+c*GC=0

Si j'introduit le point I dans GA et dans GB, on aura donc:
a*GA+b*GB+c*GC=0
<=> a*(GI+IA)+b*(GI+IB)+c*GC=0
<=> a*GI+a*IA+b*GI+b*IB+c*GC=0

Or par définition de I, on a a*IA+b*IB=0 et a+b différent de 0.

Donc:
a*GA+b*GB+c*GC=0
<=> (a+b)*GI+c*GC=0

Et par définition du barycentre, on a bien le fait que G est barycentre de (I,a+b) et (C,c)

Est-ce que tu comprends le raisonnement?

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MessageSujet: Re: Barycentres   Dim 15 Nov - 21:09

Oui je comprends le raisonnement, mais me rends compte que si on me demande de le refaire dans quelques jours j'en suis incappable! (Ai je bien compris?).
Je ne comprends juste pas ce que tu entends par: je passe à la norme dans l'égalité Shocked

Quand on dit:
a*GA+b*GB=0

<=> a*GA=-b*GB

C'est bien -(b*GB)?

Et pour l'associativité ça me semble être clair!!
Very Happy .
Je suppose que ça marche pour plusieurs points aussi??
Par exemple si je veux le barycentre de 4points {(A,1);(B,1);(C,1);(D,3)}.
Est ce que je peux dire que je cherche B barycentre de {(I,3);(D,3)}???
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Barycentres   Dim 15 Nov - 21:20

Pour l'associativité, on peut en effet passer à 4 points mais aussi à autant de ponit qu'on le souhaite en fait Smile.

Sinon, lorsque je dis quej e passe à la norme de une égalité, c'est que j'utilise la chose suivante:

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont:
- même norme
- même direction
- même sens

Ainsi, lorsque j'ai sous les yeux a*GA=-b*GB cela signifie que:

a*GA a même mesure (= même norme) que -b*GB ce qui siginfie que |a|*GA est égale à |-b|*GB (avec GA et GB des distances et une distance étant positive, on doit prendre la valeur absolue des cosntante c'est à dire |a| et |-b|)

a*GA a même direction que -b*GB ce qui signifie que (GA)//(GB)

a*GA a même sens que -b*GB ce qui signifie que GA et GB sont de sens contraire si a et b sont de même signe et sinon(a et b sont de signe oposé) GA et GB sont de même sens.

C'est peut-être mieuxen revenant à la définition comme ça, non ?

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MessageSujet: Re: Barycentres   Dim 15 Nov - 21:28

Oui c'est ok la!!
Je m'étais emmelé entre valeur absolue et norme apparemment! Laughing .
Mais pour l'exemple que je te donne précédemment par exemple, je dis que I serait le barycentre de A,B,C.
Mais de là à le placer.... Cool
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Barycentres   Dim 15 Nov - 21:38

Alors tu ne serais pas placer I barycentre de (A,1), (B,1) et (C,1)?

Drôle d'idée! Je prétend le contraire et je vais te le montrer à tes dépend Wink.

Lorsqu'on ne sait pas faire, on revient à la définition des objets qu'on manipule (c'est à dire à ce qu'on sait tout simplement). On suppose bien entendu que A, B et C sont déjà placé sur le plan.

Donc dire que I est barycentre de (A,1), (B,1) et (C,1) cela signifie quoid'après la définition via les vecteurs? (on sait déjà que 1+1+1=3 différent de 0 ça c'est une évidence Wink).

Ensuite à partir de cette définition, est-ce qu'il en serait pas possible en utilisant la relation de Chasles d'obtenir une relation entre IA, AB (qu'on connaît vu que A et B sont sur le plan) et AC (qu'on connaît aussi vu que A et C sont sur le plan)?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Barycentres   Dim 15 Nov - 21:48

Je pense pouvoir le faire, mais en prenant la notion de point G, donc barycentre et en traçant les 3médianes du triangle définit par les points A,B,C. G serait leur point d'intersection, mais ce n'est pas la bonne méthode, je vais essayer de suivre la tienne! Very Happy


Donc dire que I est barycentre de (A,1), (B,1) et (C,1) cela signifie quoi d'après la définition via les vecteurs?
Je dirai:
I vérifie aIA + bIB + cIC = 0. Donc IA + IB + IC = 0 ?? ( a, b, c étant égaux à 1).
Il faudrait donc utiliser la formule précédente mais pour plusieurs points??
AG = b/(a+b+c) AB + c/(a+b+c) AC ???
Pas su de ma dernière ligne!! Cool
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Roi_Med



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MessageSujet: Re: Barycentres   Dim 15 Nov - 22:01

Quoique qu'en réfléchissant un peu, la technique des médianes ne marche que pour des poids égaux (isobarycentres).
Non??
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Barycentres   Dim 15 Nov - 22:10

La technique des médiene marche que pour l'isobarycentre mais nous sommes exactement dans ce cas là ici. Donc elle marche tout à fait.

D'ailleurs, la notion de barycentre permet de redémontrer que les trois médiane sont concourente justement au centre de gravité (ou isobarycentre) du triangle Smile.

Sinon, la construction via les vecteurs est tout à fait exacte aussi si tu poses a=b=c=1. On retrouve exactement:

AI=(1/3)*AB+(1/3)*AC

Et attention au miracle, si je pose J milieu de [BC] c'est à dire que J est le barycentre de (B,1) et (C,1) mais aussi de (B,1/3) et (C,1/3) (par homogénéité du barycentre, je ne change pasl e barycentre si je multiplie les poids par le même coefficient).

Ainsi, j'obtiens: AI=(2/3)*AJ et paf, le miracle!!! Le centre de gravité est sur le segment reliant un sommet (ici A) au milieu du côté opposé (ici J) et situé au 2/3 de chaque sommet. Nous venons de montrer que l'isobaricentre était bien sur les médiane et qu'il était bien au 2/3 du sommet.

Donc tu vois que tu sais faire en fait Smile car connaissant AB et AC, on peut tout à fait faire la construction (à la règle et au compas) du point I et en faisant intervenir un barycentre annexe, on arrive entre mieux à placer le point I.

Est-ce que ça commence à être plus fluide maintenant?

N'hésite pas à poser tes questions en tout cas!

ps: les vecteurs sont en gras sur le forum pour les distingués des distances tout simplement (on fait avec lesm oyen du bord Smile).

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MessageSujet: Re: Barycentres   Dim 15 Nov - 22:25

Oui, on a vu en classe comment démontrer que des droites sont concourante.. Cool .
Le dernier point que lequel j'aurai besoin d'aide pour les bases est celui ci: Simplification de aMA + bMB pour arriver à: aMA + bMB = (a+b) MG.
je comprends la démonstration que j'ai sur ma fiche, mais pas son utilité!! Laughing
Merci pour le reste, tu mas bien éclairci les idées!! Wink .
Je te dirai ce que ça donne demain, et si je bloke, je te dirai ou!! =)
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Barycentres   Dim 15 Nov - 22:37

L'égalité vectorielle que tu as écrit est ce qu'on appelle la propriété fondamentale du barycentre.

En effet, si G est barycentre de (A,a) et (B,b) (cela sous entend donc que a+b est non nul)
Alors pour tout point M du plan, on a: a*MA+b*MB=(a+b)*MG

La démonstration repose sur la vérification parl a relation de Chasles que lrosqu'on fait intervenir le point G on retrouve bien la relation fondamentale.

Mais à quoi cela sert-il d'avoir une telle égalité??

Tout bêtement à pouvoir faire des déuduction très rapide si on a des points précis du plan qu'on doit utiliser pour démontrer une égalité vectorielle par exemple. Carl ap uissance de cette égalité lorsque G est barycentre c'est que notre point G, on sait le placer d'une par et d'autre par notre égalité est valable pour la totalité des point du plan.

Donc, dès que j'ai un barycentre, je peux écrire la relation pour tout point M et je peux l'utilisé par exemple pour M=A et retrouver ainsi que:

a*AA+b*AB=(a+b)*AG c'està dire: AG=b/(a+b)*AB

Mais j'aurai aussi pu l'utiliser avec le centre d'un repère par exemple O t dire qu'on a:

a*OA+b*OB=(a+b)*OG (cette erelation me permettant de déduire les coordonnées d'un barycentre dans un repère centré en O par exmeple Wink).

Cette égalité vectorielle avec celle de la définition sont les deux seule chose à apprendre si on veut. Après il faut aussi connaîtrel es technique de calculs sur les barycentre qui sont l'homogénéité (c'està dire qu'on peut multiplier tous les poids par un réel snas changer le barycnetre) et l'associativité du barycentre et voilà, on en a finit sur le barycentre tout simplement.

Tout repose sur la compréhension d'une par et ensuite sur les deux "règles du jeu" surl es barycentre (multiplciation par un scalaire et associativité). après le reste repose sur du raisonement géométrique (montrer du parallélisme, des égalité de longueur, trouver des coordonnées, ...).

Bon courage pour la suite!

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MessageSujet: Re: Barycentres   Dim 15 Nov - 22:43

OK, je n'ai pas tous compris pour son utilité, mais je relirai ça demain " à frais ". Laughing .
Ma prof nous a en effet comme par hasard parlé des coordonnées de G dans le plan après cette démonstration.
J'ai les quelques formules en tête, mais je sais d'où elles viennent surtout.
Merci, bonne nuit & à demain!

Wink
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MessageSujet: Re: Barycentres   Dim 15 Nov - 22:53

En fait, il est vrai que sans exemple d'exercice où l'utilité de la formule apparaît c'est assez difficile d'avoir toute la porté de celle-ci.

Mais simplement, on peut dire qu'elle généralité à tous les points du plan (et non seulement au barycentre G) la relation de la définition d'un barycentre vu que si je pose M=G je retrouve exactement la définition.

En gros, on gagne en souplesse dans l'utilisation car on a une relation qui est valable pour n'importe quel point du plan ce qui nous laisse totalement libre par rapport à la définition du barycentre si tu veux.

Sinon, en effet, l'introduction des coordonnées du barycentre via la formule généralisé va de soi car j'ai donc exactement OG= a/(a+b)*OA + b/(a+b)*OB

Et si on souhaite revenir au repère de base (O;i,j), et bien G a pour coordonnées:
xG= (a*xA + b*xB)/(a+b)
yG= (a*[ysub]A[/sub] + b*yB)/(a+b)

Cela provient du fait que "deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont mêem coordonnées dans le repère considéré".

Bon courage et n'hésite pas si quelque chose reste obscure à poser tes questions!

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MessageSujet: Re: Barycentres   Lun 16 Nov - 17:46

Le contrôle s'est bien passé pour la partie barycentre, mais elle nous a sortit toute une partie espace & sections qui était plus ardue!! Shocked .
Elle croyait nous avoir fait le cours, alors que non.. Razz . Juste à un petit groupe.
Je vais t'expliquer ce qu'elle demandait en gros, parce que ça ne m'étonnerai pas que ça arrive du coup dans les chapitres suivants. Laughing
Premier exercice, 4 points avec leurs coordonnées (x ; y ; z).
Dire si ils sont oui ou non coplanaires.

x²+y²+z² = 3.
est ce l'équation d'une sphere?
d'un cone?
d'un cylindre?
J'ai dit d'une sphère et ai à peu prés réussi à justifier d'après ce que tu m'avais expliqué hier.

Dessiner un cube, I J K les milieux de 3 côtés.
Dessiner cette coupe.
Que représente t'elle?

Puis un vrai faux.
Un plan P d'équation x=1 est il parallèle a (xOy) --> Non
Un plan P' d'équation y=3 est il parallèle à (xOz) --> Oui

Ces deux plans sont sécants suivant une parallèle à z --> Oui

Mes justifications n'étaient pas les meilleures non plus!!

Mais la partie barycentre, s'est vraiment bien passé. Cool
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MessageSujet: Re: Barycentres   Lun 16 Nov - 19:22

Bonsoir,

Si la partie sur les barycentre c'est bien passée c'est déjà une bonne chose après tout vu que c'était pas gagné d'après ce que tu disais.

Sinon, pour la partie sur l'espace et les intersection dans l'espace, je pense qu'il serait judicieux d'ouvrir un autre sujet car nous changeons complètement de thème et cela risque 'embrouiller ce sujet-ci plus qu'autre chose en fait Smile. Mais dans l'ensemble tes réponses ont l'air cohérentes en effet après se sont surtout les justifications qui font la base des réflexions.

N'hésite pas à poser tes questions en tout cas!

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!

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