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 Nombres complexes

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tiphaine23



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MessageSujet: Nombres complexes   Dim 22 Nov - 17:03

Bonjour j'ai besoin d'aide pour un devoir de maths car je n'y arrive plus

Le sujet est
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal (O, OU, OV), on considère les points Mn d'affixes Zn=(1+i3) (-i/2)n où n est un entier naturel.

1. Exprimer Zn+1 en fonction de Zn puis Zn en fonction de Z0 et n
2. Donner Z0, Z1, Z2, Z3 et Z4 sons forme algébrique et sous forme trigonométrique.
3. Placer les points M0, M1, M2, M3 et M4 (unité graphique 4cm)
4. Déterminer la distance OMn en fonction de n.
5.a. Montrer que l'on a MnMn+1=racine5/2n pour tout entier naturel n.


b. On pose Ln=M0+M1+...+MnMn+1
Déterminer Ln en fonction de l'entier n.
Calculer limn->+∞ Ln
6. Déterminer une mesure de l'angle (OM0, OMn) en fonction de l'entier N.
Pour quelles valeurs de n, les points O, M0 et Mn sont-ils alignés?

J'ai réussi jusqu'a la question 3 mais après je ne sais pas comment débuter...

Merci d'avance pour votre aide
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Nombres complexes   Dim 22 Nov - 18:13

Bonsoir et bienvenue parmi nous, Tiphaine!

La première chose qu'il faut savoir c'est le lien entre un complexe, un angle et une distance.

Alors, en fait lorsqu'on a un point M d'affixe z, il faut savoir que:

OM=|z| (la distance de M à l'origine est égale au module de z)
(OU;OM)=Arg(z) (l'angel formé par le vecteur directeur de l'axe des réels dirigé vers le vecteur OM est égale à l'argument du complexe)

Maintenant, cela se généralise pour une distance entre deux point A et B d'affixe respectif z et z'. En effet, on a:
AB=|z'-z|

Et l'argument de z'-z est égale à l'angle (OU;AB).

Avec tout ça on a tout ce qu'il nous faut pour raisonner sur les complexes en fait.

Maintenant, que vaut la distance OMn connaissant l'affixe de Mn?

Bon courage et n'hésite pas à poser tes question si quelque chose n'est pas clair!

ps: sur le forum les vecteurs sont en gras pour éviter de confondre une distance avec un vecteur. Et pour mettre en indice ou un exposant, il suffit de sélectioner la valeur et d'appuyer sur autre puis indice ou exposant.

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tiphaine23



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MessageSujet: nombres complexes   Dim 22 Nov - 18:30

Merci mais par contre par rapport au |z| je ne sais pas comment faire enfin avec quelle expression.

J'ai beaucoup de mal en maths et je vous remercie vraiment de m'aider.
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MessageSujet: Re: Nombres complexes   Dim 22 Nov - 18:45

En fait la distance OMn va être donnée par le module de l'affixe du vecteur OMn.

Or que vaut l'affixe du vecteur OMn? Sahcant qu'on connaît l'affixe de Mn et l'affixe de O.

Bon courage!

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MessageSujet: nombres complexes   Dim 22 Nov - 20:09

Alors il me semblait avoir trouvé ce qu'il fallait pour la 4 mais ça ne marche pas pour la 5 donc j'ai du faire une erruer...

|zo| c'est bien 0 ?
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MessageSujet: Re: Nombres complexes   Dim 22 Nov - 21:39

D'après ton énoncer, on a:

Z0= (1+i*3)*(-i/2)0

Or tout complexe à la puissance 0 est égale à 1 ce qui donne Z0 = 1+i*3

Et ceci n'est pas de module nul car le seul complexe qui est de module nul est 0. Il doit donc y avoir une erreur quelque part.

Bon courage!

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MessageSujet: nombres complexes   Lun 23 Nov - 17:58

Bonsoir, pour la 4 c'est bon j'ai réussi mais maintenant la 5 me pose un léger problème, car j'ai trouvé zn+1=Zn(-i/2) mais j'ai des doutes sur ce résultat Question
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MessageSujet: Re: Nombres complexes   Lun 23 Nov - 18:02

Bonsoir,

La réponse que tu proposes pour la première question est tout à fait juste en effet.

Du coup, quel est l'affixe du vecteur MnMn+1 en fonction de Zn et de n?

Bon courage!

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MessageSujet: nombres complexes   Lun 23 Nov - 19:46

c'est |zn+1-zn c'est ça?
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MessageSujet: Re: Nombres complexes   Lun 23 Nov - 19:51

Alors pour l'affixe du vecteur il n'y a pas de module mais sinon c'est ça en effet!

du coup, en mettant les modules, tu vas pouvoir déduire la distance que tu cherches tout simplement. Et pour ce faire, il faut écrire zn+1 en fonction de zn comme dans la question 1) pour essayé de retrouver ce que tu as déjà fait à la question 4), le fameux calcul du module de |zn|=OMn.

Est-ce que tu comprends le raisonnement ici?

Bon courage!

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MessageSujet: nombres complexes   Lun 23 Nov - 19:53

Non je ne comprends pas trop =(
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MessageSujet: Re: Nombres complexes   Lun 23 Nov - 19:57

Nous venons de voir que le vecteur MnMn+1 avait pour affixe (zn+1-zn).

donc par définition, on a: MnMn+1=|zn+1-zn|

Or d'après la question 1), que fvaut zn+1 en fonction de zn? Puis que vaut zn en fonction de n?

Ensuite, il ne reste plus qu'à calculer le module qu'on cherche.

Est-ce plus clair ainsi?

Bon courage!

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Dernière édition par Blagu'cuicui le Lun 23 Nov - 21:51, édité 2 fois
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tiphaine23



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MessageSujet: nombres complexes   Lun 23 Nov - 20:05

Oui c'est plus clair merci =)
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