Bonjour à tous. J'ai rencontré un petit problème en effectuant un exercice de mathématique!
Voici l'énoncé:

On considère le cercle C d'équation: x² + 2x + y² - y = 5
Et le cercle T de centre F(4;3) et de rayon 5.
1°) Déterminer le centre et le rayon du cercle C et une équation du cercle T.
2°) Tracer C et T sur une même figure.
3°) Calculer les coordonées des points d'intersection A et B des deux cercles.


Pour la question 1°) :
Equation du cercle T: Sachant que x² + y² = r²
Alors 4² + 3² = 5²
Soit 25 = 25
Donc cette équation prouve que le cercle a comme centre 0.

Par contre, je bloque pour la deuxième partie de la question: Centre et rayon du cercle C.


Cette leçon est toute nouvelle pour moi, et j'ai encore du mal à me servir des formules.
J'attends vos réponses avec impatience! Emeline.

Bonsoir,

Il y a une confusion dans l'équation d'un cercle. En effet, un cercle est l'ensemble des points qui sont équidistant d'un même point appelé centre. Donc si F est le centre de notre cercle et que son rayon est de R=5, on a donc:

M appartient au cercle <=> MF=R <=> MF²=R² (car ce sont des distances positives donc il y a bien équivalence).

Donc l'équation du cercle dépend de son centre (ce qui est tot à fait logique d'ailleurs). Par conséquent, tu constatera qu'en fait l'équation que tu donne n'est autre que l'équation d'un cercle de centre O(0;0) de rayon 5 car OM²=x²+y² (si j'appelle (x;y) les coordonnées du point M), on a donc x²+y²=25 mais ce n'est pas du tout, l'équatino du cercle de centre F et de rayon 5.

Ce que tu as montré en fait c'est que F appartient au cercle de centre O et de rayon 5 mais à la rigueur, on ne te le demandait en fait .

Est-ce que tu comprends mieux le principe?

Bon courage!

Je pense avoir compris.
Mais dans ce cas, je ne sais pas comment m'y prendre pour traiter la question.. :/

Bonsoir,

A ce moment là, nous souhaitons donc trouver un lien entre les coordonnées d'un point M(x;y) du plan lorsque celui-ci appartient au cercle de centre F et de rayon R=5.

Or nous savons que M appartient à ce cercle c'est équivalent à dire que la distance MF au carré (c'est à dire MF²) est égale au rayon R mis lui aussi au carré. C'est à dire que MF²=R²

R=25 jusque là ça va.

Maintenant que vaut MF² connaissant les coordonnées de F?

Bon courage!

Donc comme je disais:
4² + 3² = R²
25 = R²
25 = 5²
25 = 25 !
Donc on peux dire que MF² = R²

Mais comment en déduire l'équation du cercle?
Qu'appel t-il "équation du cercle" ? Enfin, je veux dire: Qu'attendent-ils de nous comme réponse? Juste prouver que x² + y² = R² ?

Bonjour,

L'équation d'un cercle n'est pas x²+y²=R².

En effet, par exemple: (x-2)² + (y+1)² = 16 est aussi l'équation d'un cercle et il y en a plein d'autre.

Trouver l'équation d'un cercle, c'est en fait, donner le lien qui existe entre les coordonnées d'un point M(x;y) lorsque celui-ci appertient au cercle.

Or, un point M(x;y) appartient à un cercle de centre Ω(x_Ω;y_Ω) et de rayon R si et seulement si ΩM=R ce qui reivent à dire que ΩM²=R²

Donc pour cette question, il faut savoir exprimer la distance entre deux point dont on connaît les coordonnées.

Par exemple, si je considère A(1;2) et B(4;3) comment calcule-t-on la distance AB?

Bon courage!

Je dois donc utiliser la formule:
R² = (x_F - x_Ω)² + (y_F - y_Ω)²

Ca donne donc:

R² = (4 - 5)² + (3 - 5)²
R² = 1 + 4
R² = 5

Bonsoir,

A quoi correspond Ω dans ta formule???

De façon simple, si je prend A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) que vaut la distance AB?

Il faut vraimetn être au clair sur les calcls de distance dans un repère orthonormée car sans cela, l'équation d'un cercle serait très compliqué à trouver vu qu'elle est définie en fonction de la distance d'un point au centre du cercle.

Bon courage!

Je suis désolée, Je ne comprends absolument rien.. =(

Bonsoir,

En fait, tu te bornes à dire que l'équation d'un cercle est exclusivement x²+y²=R²

Or ceci c'est l'équation d'un cercle de centre O(0;0) et de rayon R. En effet, si je prend un point M de coordonnées (x;y), je dirai qu'il appartient à mon cercle de centre O(0;0) et de rayon R si et seulement si OM=R

Or OM=√[ (x-0)² + (y-0)² ]=√(x²+y²)

Donc OM=R <=> √(x²+y²)=R

Or vu que OM et R sont des nombre positifs, ils sont ranger dans le même ordre que leur carré et par conséquent: OM=R <=> OM²=R²

Ce qui nous donne x²+y²=R² qui est bien l'équation de mon cercle de centre O(0;0) et de rayon R.

Maintenant avnt d'aller plus loin, te souviens-tu de comment on calcule la distance entre deux points A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) dans un repère orthonormé?

C'est à dire: à quoi est égale à enfonction de x_A, y_A, x_B et y_B, la distance AB?

Car c'est la base pour trouver l'équation d'un cercle dans un repère orthonormé.

Bon courage!

Bonjour! J'ai bien relu le cours qu'elle nous a fait et j'ai ensuite essayé de résoudre l'exercice.
Voilà ce que ça donne:

Centre et rayon du cercle C :
x² + 2x + y² - y = 5
(x+1)² - 1 + (y-1/2)² - 1/4 = 5
(x+1)² + (y-1/2)² = 5 + 1 + 1/4
(x+1)² + (y-1/2)² = 25/4 = (5/2)²
Cercle de centre A(-1;1/2) et de rayon 5/2

Equation du cercle T :
(x-4)²+(y-3)² = 25
x² - 8x + 16 + y² - 6y + 9 = 25
x² +y² - 8x - 6y = 0
x² + y² - 8x - 6y = x² + y² + 2x - y - 5
10x + 5y -5 = 0
5y = -10x + 5
y = -10x/5 + 5/5
y=-2x+1
Ensuite, on repporte y dans la première équation soit:
x² + y² - 8x - 6y
x² + (-2x + 1)² - 8x - 6(-2x+1)
x² + 4x + 1 - 8x + 12x - 6
x² + 8x - 5
On cherche ensuite la forme canonique:
(x+4)² - (16+20)/4
(x+4)² - 9
Il n'y a donc aucunes racines.

Bonsoir,

Ca marche beaucoup mieux ne effet. La première question est donc juste.

Pour la troisième, elle commence ici en fait:

Citation:

x² + y² - 8x - 6y = x² + y² + 2x - y - 5 10x + 5y -5 = 0 5y = -10x + 5 y = -10x/5 + 5/5 y=-2x+1 Ensuite, on repporte y dans la première équation soit: x² + y² - 8x - 6y x² + (-2x + 1)² - 8x - 6(-2x+1) x² + 4x + 1 - 8x + 12x - 6 x² + 8x - 5 On cherche ensuite la forme canonique: (x+4)² - (16+20)/4 (x+4)² - 9 Il n'y a donc aucunes racines.

Tu as en fait un système de deux équation à deux inconnues lorsque tu cherches les points d'intersection de deux ensembles et iciles deux équatinos sont en effet tes équations de cercle:

{x² + y² - 8x - 6y=0
{x² + y² + 2x - y - 5=0

En faisant l'égalité des deux on trouve done une droite t en injectant y dans l'une des deux on trouve donc les abscisses des points d'intersection en effet. Mais pourquoi (x+4)²-9=0 n'a pas de solution? CAr 9=3² et on peut donc encore factoriser.

Cependant, j'ai mis un rouge, dans ma citation quelque chose qui n'estp as correct car il y a un carré qui n'a pas été bien développé là entre les deux lignes .

Sinon, pour la premières question as-tu compris les histoires d'égalités entre deux distances pour obtenir l'équation de T? Car connaître la formule par coeur peut être une solution mais bon savoir d'où elle vient pourra te servir si un jour ont te demande de dire quel ensemble représente MF²=R² par exemple.

Bon courage!

D'accord !
J'ai trouvé mon erreur:

x² + (-2x + 1)² - 8x - 6(-2x+1)
x² + 4x² + 1 - 8x + 12x - 6
5x² + 4x - 5
On cherche ensuite la forme canonique:
5[(x+4/10)² - (4² - 4 x 5 x (-5))/(4 x 5)²]
5[(x+2/5)² - 116/400]
5[(c+2/5)² - 29/100]

Il est tard, je vais me coucher. Je ferais la factorisation demain. Merci pour votre aide.

Avant de faire la factorisation, est-ce que ce développement est correct ?

Bonjour,

Désolé pour le contre temps, il y a une légère erreur dans ta factorisation j'ai l'impression.

En effet, tu as au départ: 5x² +4x -5=0 (d'ailleurs remarque générale, il faut que tu recopiasses le "=0" partout si tu veux rester cohérente avec ce que tu résous).

Doncl a première étape est de factoriser par 5 en effet ce qui donne: 5*[x² + (4/5)*x - 5/5]=0 <=> 5*[x² + (4/5)*x -1 ]=0
On peut donc directement diviser par 5 vu que notre produti doit être nul ce qui donne:

x² + 2*(2/5)*x - 1=0

Et là, on utilise bien le fait de considérer les deux premiers termes comme le début d'une identité remarquable ce qui nous donne:

(x + 2/5)² - (2/5)² - 1 =0

Je te laisse finir les calculs qui je trouve sont plus simples sous cette forme là en tout cas (tout est sur 25 et non sur 400).

Bon courage!