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 Intersection de courbes.

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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Intersection de courbes.   Jeu 24 Déc - 22:57

La dernière phrase ne sert à rien en fait et surtout n'est pas logique car on a vu que P(x) pouvait valoir -3/2 alors que toi tu t'arrêtes comme dans ton premier message à 3 ce qui 'est illogique en fait:

Citation :
Si -2 < x < 3/2 alors 23 > P(x) > -3/2
Car P est décroissant sur [ -2 ; 3/2 ].
et, si 3/2 < x < 2 alors -3/2 < P(x) < 3
Car P est croissant sur [ 3/2 ; 3 ]

Donc, si -2 < x < 3 alors 23 > P(x) > 3

Cadeau de noël voilà la rédaction qu'on peut en faire:

Si -2<x<3/2 alors P(-2)>P(x)>P(3/2) car P est décroissante sur [-2;3/2] d'après le tableau de variation
Donc 23>P(x)>-3/2 car P(-2)=23 et P(3/2)=-3/2

Si 3/2<x<3 alors P(3/2)<P(x)<P(3) car P est croissnate sur [3/2;3] d'après le tableau de variation
Donc -3/2<P(x)<3

En conclusion, pour -2<x<3, on a: -3/2<P(x)<3 ou -3/2<P(x)<23.
Donc: si -2<x<3 alors -3/2<P(x)<23

On prend forcément le plus large. Ceci est visible sur le graphique. Pour cela, il faut tracer les droites d'équation x=-2 et x=3. Ces deux droites coupes notre parabole en deux points distincts qui ont pour ordonnées 23 et 3. Et ensuite, on regarde les images de tous les points donc l'abscisse est compris entre -2 et 3. On constate qu'il y a un minimum pour les image égale à -3/2 et que le maximum est de 23. En conséquence, l'image de l'intervalle [-2;3] par P est exactement le segement [-3/2;23].

Est-ce que tu comprends mieux la démarche? En fait lorsqu'on cherche l'image d'un intervalle [a;b] par une fonction qui est continue (elles le sont toutes ne 1ère) il s'agit d'un intervalle [min sur [a;b] ; max sur [a;b]]. Il s'agit d'un théorème qu'on ne vous donne pas en cours car il n'est pas démontrable avec vos outils encore. Mais en tout cas sur un dessin ça se voit plutôt bien je trouve. Et sur notre exemple, on constate bien que le minimum est -3/2 sur [-2;3] et que le maximum sur [-2;3] est bien égale à 23.

J'espère que cela est plus clair en tout cas sinon, n'hésite pas à poser tes questions car il faut bien comprendre la démarche et la rédaction c'està dire quel arguement sert en quand sert-il.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Intersection de courbes.   Ven 25 Déc - 20:58

D'accord. Merci beaucoup pour votre aide!!! What a Face

A présent, je m'en sors pour la question 4°) a) mais je bloque un peu pour la b)

Voici ce que j'ai fais.

P(x) < x
2[ (x - 3/2)² - 3/4 ] < x
2[ (x - 3/2)² - 3/4 - x ] < 0
2 (x - 3/2 - 3/4 - x) (x - 3/2 + 3/4 - x) < 0
2 (-9/4) (-3/4) < 0
2 (-3/2) (-3/4) < 0
-3 * (-3/2) < 0
9/2 < 0


Mais je ne suis pas sûr du tout..
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Intersection de courbes.   Ven 25 Déc - 21:35

Bonsoir,

Il y a forcément un soucis car lorsque je développe la ligne 3, je ne retrouve pas la ligne 2 ce qui est très louche:

Citation :
2[ (x - 3/2)² - 3/4 ] < x
2[ (x - 3/2)² - 3/4 - x ] < 0 (2)
2 (x - 3/2 - 3/4 - x) (x - 3/2 + 3/4 - x) < 0 (3)

En effet, à la deuxième ligne si je multiplie par 2, il me sort un "-2*x" alors qu'il n'y avait que -x à la base. Après c'est pire car il n'y a pas du tout de troisième identité remarquable pour factoriser, donc infaisable sans racine carrée tout du moins.

Les fêtes ce n'est pas bon pour la réflexion Wink. Il ne faut pas partir de la forme canonique de P(x). Il faut repartir de la forme de l'énoncer (la seule dont on est sûr d'ailleurs) pour P(x) et ensuite refactoriser tranquillement pour se ramener à un produit de facteurs dont on est capable de déduire le signe. Le but étant bien sûr de faire un tableau de signe pour pouvoir conclure.

Bon courage!

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Dernière édition par Blagu'cuicui le Sam 26 Déc - 14:00, édité 1 fois (Raison : orthographique)
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MessageSujet: Re: Intersection de courbes.   Sam 26 Déc - 1:44

Je ne sais vraiment pas comment m'y prendre.. Sad
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Intersection de courbes.   Sam 26 Déc - 14:10

Bonjour,

Il faut s'y prendre comm on a toujours eu l'habitude de le faire. Quelle est la méthode pour résoudre une inéquation?

Étape 1): je mets tout du même côté pour avoir une inéquation du type "supéreur ou égale à 0" ou "inférieur ou égale à 0".

Pourquoi?

Le but ici est de se ramener à chercher tout simplement le signe de la quantité qu'on aura sous la yeux en fonction des valeurs de x.

Pour se faire, nous ne connaissons que le signe des constantes ou le signe des termes du type ax+b. Pourquoi? Car les constantes c'est triviale pour avoir leur signe et pour les terme du type ax+b on sait résoudre des inéquation du premier degré depuis plusieurs années maintenant (ax+b>0 <=> x>-b/a si a>0 par exemple).

Il faut donc essayer de déduire le signe de notre quantité en la factorisant au maximum avec l'espoir d'avoir comme facteur des plynôme du premier degré. Ainsi nous pourrons faire un tableau de signe.

L'étape 2 est donc: Factoriser notre quantité au maximum (via factorisation directe ou forme canonique pour les polynôme du second degré).

L'étape 3) sera tout simplemetn de faire un tableau de signe puis de conclure.

Ici, on cherche donc à résoudre P(x)<x. La première étape qu'on peut faire c'est de dire que c'est équivalent à résoudre P(x)-x<0.

A partir de là, il nous suffit de factoriser P(x)-x sous forme canonique dans un premier temps pour de factoriser totalement l'expression ne produit de terme du premier degré pour pouvoir conclure.

Est-ce que c'est plus clair ainsi? Tu as toujours su faire ça sauf que là on augemente le degré du polynôme qu'on utilise mais bon, la démarche est toujours la même. La seule chose qui change c'est comment se ramener à un produit de facteur de degré 1 ou 2.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Intersection de courbes.   Sam 26 Déc - 14:54

J'ai fais quelque chose, mais je ne suis pas sûr du tout :

P(x) < x
2x² - 6x + 3 < x
2x² - 7x + 3 < 0
2[ (x-7/4)² - 3/4 ] < 0
2[ (x-7/4)² - (√3/2 )² < 0
2 (x - 7/4 - √3/2) (x - 7/4 + √3/2) < 0
2 ( x - 7-√12/4 ) ( x - 7+√12/4 ) < 0



. . .
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MessageSujet: Re: Intersection de courbes.   Sam 26 Déc - 15:05

Ca commençait plutôt bien en fait.

2*[x²-(7/2)x + 3/2]<0

Le soucis doit encore venir de ta formule apprise par coeurs Razz. Tu y tiens Wink.

Donc on a bien 2*[(x-7/4)² + c ]<0

Mais c'est le c=3/4 qui me gêne beaucoup car en fait on trouve un carré parfait (ce qui nous aide pas mal pour la suite).

Si je développe (x-7/4)²=x² -(7/2)*x + 49/16

C'est à dire que 49/16+c= 3/2 si on identifie avec ce qu'on avait au départ. Or 3/2-49/16 n'estp as égale à 3/4 ce qui fausse tout donc.

Est-ce que tu vois pourquoi il y a une erreur?

Sinon, la démarche qui a suivi était excellente mais c'est ta formule qui t'a fait faux bon. Rappel-moi à la fin de cet exercice de te donneu n moyen de retrouver ta formule car j'ai l'impression que tu ne va pas t'en sortir avec celle-ci apprise par coeurs.

Je te laisse donc refaire les calculs pour pouvoir terminer la factorisation.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Intersection de courbes.   Dim 27 Déc - 0:07

P(x) < x
2x² - 6x + 3 < x
2x² - 7x + 3 < 0
2 (x² - 7/2x + 3/2) < 0
2[ (x² - 7/2x + 49/16) - 49/16 + 3/2 ] < 0
2[ (x - 7/4)² - 25/16 ] < 0
2[ (x - 7/4)² - (5/4)² < 0
2 (x - 7/4 - 5/4) (x - 7/4 + 5/4) < 0
2 (x - 3) (x - 1/2) < 0

Voilà pour le Calcul ! Smile
C'est correct n'ext-ce pas ?


Je mettrais demain une image avec mon tableau de signe..
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MessageSujet: Re: Intersection de courbes.   Dim 27 Déc - 0:22

Mais c'est nickel ça !!!

Il ne reste plus qu'à conclure et je n'ai mêem plus besoin de faire mon rappel vu que tu connais très bien le calcul sans utiliser la formule par coeur Wink. Comme quoi, ça marche tout de suite mieux n'empêche!

Bon courage pour finir!

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MessageSujet: Re: Intersection de courbes.   Dim 27 Déc - 15:03

Et voici mon tableau de signe :

http://www.weplug.com/images_1/63f836fcb48af1f793c0ea1818e332e020091227150146.jpg


Smile
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MessageSujet: Re: Intersection de courbes.   Dim 27 Déc - 15:56

Bonjour,

C'est excellent!!

Tu apprendras par la suite que cela est en fait prévisible en fonction du signe du coefficient dominant (c'està dire 2 ici) et des racines du polynôme si elles existent (une racine d'un polynôme étant une valeur de x annulant le polynôme tout simplement).

D'ailleurs, tu as peut-être déjà constaté qu'à partir de la forme canonique, il y a plusieurs cas possible qui permette ou non de factoriser par la troisième identité remarquable. En effet, le signe du numérateur du deuxième terme joue un rôle prépondérant, le fameux "b²-4ac".

Le dénominateur étant toujours positif vu qu'il est égale à 4a², le signe de ce deuxième terme dépend donc exclusivemetn du numérateur qu'on notera appelera par la suite le discriminant du polynôme et on le notera Δ.

Ainsi Δ=b²-4ac (avec un polynôme qui s'écrit: P1(x)=ax²+bx+c)

Et on peut remarqué que si celui-ci est positif, alors on peut toujours factoriser selon la troisième identité remarquable vu que nous avons une forme canonique comme ceci: a*[A²-B²] avec A=(x-b/2a) et B=(√Δ)/(2a).

Tu peux essayer de voir ce qui se passe lorsque Δ est négatif ou lorsque Δ=0 au niveau du nombre de solution de P1(x)=0. Cela sera sans aucun doute un de tes cours de la rentrée.

Et pour conclure sur mon aparte, tu verra donc que le polynôme est toujours du signe de contraire de a entre ses racines. Ce qui est bien el cas ici vu que les racines sont 1/2 et 3 et que a=2>0. Donc P(x)-x<0 pour x entre 1/2 et 3 ce que ton tableau nous montre tout fait. Ton exercice esst donc une amorce au cours sur toutes les propriétés remarquable des polynôme du second degré.

Si tu as des questions sur le sujet ousouhaite aller plus loin n'hésite pas en tout cas. Sinon, cette exercice est terminé, j'ai bien l'impression Smile, la dernière partie de la question étant une lecture graphique de P(x)<x.

Bon courage pour la suite!

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MessageSujet: Re: Intersection de courbes.   Dim 27 Déc - 16:15

Graphiquement, on voit également que P(x) < x a pour solution ] -infini ; 1/2 ] U [ 3 ; +infini [


Merci beaucoup de votre aide !!!!!!!!!!! afro flower jocolor geek queen farao sunny cheers
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MessageSujet: Re: Intersection de courbes.   Dim 27 Déc - 16:20

Ha non!!!

Graphiquement, P(x)<x signifie que les ordonnées de la courbe d'équation y=P(x) sont au dessous de celles de la droite d'équation y=x. Et non au dessu.

Le graphique ne peut pas contredire le tableau de signe, cela n'est pas cohérent comme raisonnement ni comme répones Wink.

Je te laisse regarder où se situent les abscisses des points tel que P(x)<x sur le graphique.

Bon courage pour la suite!

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MessageSujet: Re: Intersection de courbes.   Dim 27 Déc - 17:00

Donc P(x) < x a pour solution [ 1/2 ; +infini [ ??
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MessageSujet: Re: Intersection de courbes.   Dim 27 Déc - 17:12

C'est tout aussi illogique!

Ton tableau de signe te dit quel a solution au problème est l'intervalle [1/2;3]. En conclusion, retrouver cette solution sur le graphique est pouvoir avérer via le graphique que cette solution est en effet juste et non proposer une autre solution.

On a P(4)=2*16-6*4+3=32-24+3=35-24=11

Or 11>4, donc 4 n'est pas solution au problème P(x)<x.

Sur ton graphique, il faut que tu trace la droite d'équation y=x. Ensuite, que représente P(x)<x sur le graphique? Quel point de la courbe représentant P faut-il prendre en compte?

Il faut avoir une vision graphique de ce que signifie P(x)<x sinon, tu risques de tourner en rond longtemps. La solution on la connaît déjà en fait vu qu'on sait d'après le tableau de signe que c'est l'intervalle [1/2;3]. Maintenant, il fuat trouver la démarche pour le voir sur le graphique. C'est à dire faire le lien entre l'inégalité P(x)<x et la représentatino graphique de P et la droite d"'équation y=x.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Intersection de courbes.   

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Intersection de courbes.
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