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 [1ère S] Equation de droite

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Gorgorot



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MessageSujet: [1ère S] Equation de droite   Mar 22 Déc - 10:42

Bonjour tout le monde.
Voilà je bloque sur un exo et j'aurais besoin de votre aide.

ABCD et EFGA sont 2 carrés
J'ai essayé de reproduire la figure:
http://www.noelshack.com/up/aac/sanstitre-6cdf1bb649.jpg

1. On se place dans repère orthonormal (A; i, j) avec le vecteur i colinéaire au vecteur AB et de même sens et le vecteur j colinéaire au vecteur AG et de même sens.
On note b abcisse de B (b>0) et g l'ordonnée de G (g>0)

a) Donner les coordonnées des sommets des carrés
J'ai trouvé A(0;0) B(b;0) C(b;-b) D(0;-b) E(-g;0) F(-g;g) G(0;g).

b) Donner une équation de la droite (BF) puis de la droite (GC). Déteminer les coordonnées du point I.

c) Démontrer que les vecteurs AI et CG sont orthogonaux.

Merci d'avance pour votre aide.
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: [1ère S] Equation de droite   Mar 22 Déc - 12:46

Bonjour et bienvenue parmi nous Gorgorot!

La figure est cohérente avec le repère en tout cas et la question 1)a) est excellente. Vu qu'on ne demande pas plus de précision que de "donner" les coordonnées, je pense qu'il n'y a pas de justification à faire. Mais au cas où et pour rappel, on retrouve les coordonnées d'un point en ce souvenant de ceci:

Dans un repère (A;i,j), les coordonnées de A sont (0;0). Puis pour tout point du plan M, il y a existence d'un x et d'un y tel que AM=x*i+y*j et no appelle x l'abscisse de M et y l'ordonnée de M.

Donc on retrouve les coordonnées d'un point en revenant à cette définition là, AB=b*i+0*j d'après l'énoncer. ABCD étant un carré, on a AD=AC et d'après l'énoncer, DA et AG sont colinéaire donc AD=0*i + (-b)*j. Et ainsi de suite en prenant en considération le fait qu'il y ait des carrées.

Ensuite, le but de la question est de trouver les coordonnées du point I intersection de (BF) et (GC). On sait que I appartient donc au deux droite. Par conséquent ses coordonnées (x;y) vont vérifier les deux équations de droite. Ainsi, pour trouver ses coordonnées, il nous suffit d'avoir les équations des deux droites puis de résoudre le système composé des deux équations (vu que les coordonnées de I les vérifient en même temps).
C'est donc dans ce but là qu'il nous faut dans un premier temps déterminer les équations des deux droites (BF) et (GC) dans le repère (A;i,j).

Maintenant, que savons-nous d'une équation de droite dans un repère orthonormé? Quelle est la forme de cette équation? Ou quel lien relie l'abscisse d'un point de cette droite à son ordonnée?

Dès qu'on aura la forme de l'équation d'une droite cela sera quasiment fini vu que nous avons les coordonnées de deux points pour chacune d'elle. Et nous savons qu'il existe une seule et unique droite passant par deux points.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout!

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Gorgorot



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MessageSujet: Re: [1ère S] Equation de droite   Mar 22 Déc - 18:06

Merci beaucoup mais il y a un point que j'ai du mal a comprendre: Dans un repère orthonormé, les équations de droites sont de la forme ax+by+c. Mais les seules propriétés qu'on a vu dans le cours sont en rapport avec un vecteur directeur et une droite normale a ce vecteur. Or dans ce cas je ne voit aucun vecteur normal ou directeur et donc pas moyen de trouvé une équation de droite.

A moins de calculer les coordonnées du vecteur FB mais dans ce cas je ne vois pas comment trouvé c et surtout je ne sais pas si c'est autorisé sans vecteur normal... Rolling Eyes
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: [1ère S] Equation de droite   Mar 22 Déc - 18:17

Bonsoir,

Tu connais beaucoup de choses bien compliquées en fait mais essayons de faire simple, je pense que cela suffira largement.

L'équation d'une droite est exactement y=c*x+d avec c coefficient directeur de la droite et b ordonnée à l'origine.

Maintenant que savons-nous? Nous savons que F et B appartiennent à cette droite. En conséquence, les coordonnées de F vérifient l'équation de la droite et de même les coordonnées de B vérifient l'équation de cette droite.

Nous avons donc un système de deux équations à deux inconnues qui sont c et d qu'il nous faut déterminer tout simplement.

Là, je reviens carrément à la base des droites affines car il n'y a pas besoin de plus pour faire cette question là que ce soit de vecteur directeur ou de vecteur normal. Il faut savoir rester basique de temps en temps et ne pas oublier qu'avant d'avoir un bulldozer entre les mains, on a commencé avec un joli lance-pierres qui peut s'avérer toujours utile, la preuve ici Wink.

Est-ce que cela te semble plus clair? Ou est-ce encore pire? Je veux bien passer par un vecteur directeur ou un vecteur normal si tu le souhaites pour déterminer les équations de ses deux droites mais c'est vraiment une perte de temps et d'énergie pour pas grand chose je t'assure.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions!

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Dernière édition par Blagu'cuicui le Mar 22 Déc - 19:50, édité 1 fois (Raison : orthographique)
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Gorgorot



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MessageSujet: Re: [1ère S] Equation de droite   Mar 22 Déc - 18:38

Ah ouais j'y avais pas pensé... Surtout que c'est dans un DM donc je cherchais vraiment le truc difficile ^^. C'est bien plus claire merci bien. Very Happy
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: [1ère S] Equation de droite   Mar 22 Déc - 19:48

Mais c'est un devoir maison de noël après tout Smile. Donc pas forcément très difficile mais assez pour te permettre de réviser deux trois petites choses durant les vacances.

Bon courage et n'hésite pas à nous proposer tes résultats cela peut servir à d'autre ou servir à regarder la rédaction aussi.

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Gorgorot



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MessageSujet: Re: [1ère S] Equation de droite   Mer 23 Déc - 10:57

Alors je pense que je fais faux parce que je trouve des résultats assez compliqués mais bon:

Le coefficient directeur est (yF-yB)/(xF-xB) donc (g-0)/(-g-b) soit g/(-g-b)
Ensuite j'applique le théorème de thalès et j'obtient BA/BE=AJ/EF avec J intersection de BF avec l'axe des ordonnées.
Donc b/(b+g)=AJ/g donc AJ=(bg)/(b+g)
Donc y=g/[(-g-b)]x+[(bg)/(b+g)]

Et pour CG on a de même y=[-(g+b)/b]x+g

Ensuite j'ai essayé de résoudre mon équation a 2 inconnues et là je bloque parce que j'arrive a des valeurs trop compliquées.
Ai-je fais une erreur quelque part? scratch
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: [1ère S] Equation de droite   Mer 23 Déc - 12:20

Bonjour,

Alors pour le coefficient directeur de (BF) c'est nickel! Après, tu cherche encore la petite bête en voulant introduire un point supplémentaire.

Le théorème de Thalès s'applique bien ici en effet avec quelque justification de parallélisme. Ensuite, vu que nous sommes sur les axes des abscisses et des ordonnées les distances à calculer tombent justes vu que les racines carrées se simplifie. Et en prime la distance AJ est bien égale à l'ordonnée de J vu que J est sur l'axe des abscisses.

Bon un moyen plus simple de trouver l'ordonnée à l'origine c'est de dire que B(b;0) appartient à ta droite et donc: 0=[-g/(g+b)]*b+d <=> d=bg/(b+g) comme tu le trouves.

Donc l'équation de (BF) est juste et est bien celle-ci : y=[-g/(b+g)]*x + bg/(b+g)

Pour l'autre droite, on a en effet, l'ordonnée à l'origine qui tombe tout de suite vu que G est sur l'axe des ordonnées. Et pour le coefficient directeur c'est le même principe et on trouve bien que (GC) a pour équation: y=[-(g+b)/b]*x +g

Dans un premier temps, on peut constater que les équation ont l'air cohérente car les deux droites sont décroissantes et leurs coefficients directeurs sont bien négatif. De même leurs ordonnées à l'origine sont positifs ce qui est bien le cas aussi.

Et maintenant, I est le point d'intersection de (BF) et (GC). Donc les coordonnées (x;y) de I vérifient les deux équations:

{y=[-g/(b+g)]*x + bg/(b+g)
{y=[-(g+b)/b]*x +g

Ensuite, les solutions paraissent compliqué mais elles ont une certaine symétries en fait. Que trouves-tu exactement comme coordonnées pour I?

Car après tout si la méthode est juste, il n'y a pas de raisons pour que les calculs soient faux Wink.

Bon courage!

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