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 dérivation

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smoufy



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MessageSujet: dérivation   Mar 29 Déc - 11:32

Bonjour,
je dois déterminer f'(x) suivant les valeurs de x avec
f(x) = 2x²-x/(x+1)²
J'ai calculé la dérivée avec u/v mais je trouve un résultat trop compliqué à analyser dans un tableau de signe, je trouve par ex au numérateur : 2x3-3x²+12x+1
Pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?


Dernière édition par Blagu'cuicui le Mar 29 Déc - 12:02, édité 1 fois (Raison : mise en forme)
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: dérivation   Mar 29 Déc - 12:11

Bonjour et bienvenue parmi nous!

Pour ma part, j'ai lu la fonction ainsi: F(x)=[2x²-x]/(x+1)²

La première question à se poser c'est tout de même de déterminer les valeur de x pour lesquels la fonction est bien définie et dérivable aussi. C'est plus pratique pour savoir sur quoi nous allons travailler par la suite (pour déterminer le signe de la dérivée en fonction des valeurs de x par exemple).

Ensuite, lorsqu'on dérive une telle expression, il ne faut surtout pas commencer par développer le numérateur mais plutôt de le factoriser un maximum. Pourquoi? Car le but est de trouver le signe de la dérivée. Et pour cela, nous connaissons le classique tableau de signe.
Or pour faire un tableau de signe, il faut mieux avoir une expression la plus factorisée possible car il est plus aisé de déterminer le signe des termes de degré 1 que de degré 3 c'est indéniable.

Par conséquent, en utilisant la formule de dérivation des fonctions quotient U/V avec U(x)=2x²-x et V(x)=(x+1)² c'est à dire F'=[U'V-UV']/V²

Que trouves-tu comme dérivée? Ne développe rien dans un premier temps et cherche plutôt à factoriser voire même simplifier l'expression autant que tu le pourras.


Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est pas claire!

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MessageSujet: Re: dérivation   Mar 29 Déc - 13:09

Merci beaucoup pour ces quelques conseils bien utiles! C'est vrai que si on factorise le numérateur, l'exercice devient plus simple parce que, si je ne me trompe pas en factorisant on obtient x(2x-1) au numérateur et on peut laisser ( (x+1)^2)^2 ou (x^2+2x+1)^2 au dénominateur sans le développer puisque normalement, un carré est toujours positif...
Donc je pense qu'il faut faire un tableau de signe avec x, 2x-1 et (x^2+2x+1)^2, c'est bien ça ?
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smoufy



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MessageSujet: Re: dérivation   Mar 29 Déc - 13:10

ah non, j'ai oublié de calculer u/v...
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smoufy



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MessageSujet: Re: dérivation   Mar 29 Déc - 13:18

mais j'ai un gros doute : si u(x)= x(2x-1)
alors u'(x)= 2x ... à moins que u'(x)= 2x-1+2x= 4x-1
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: dérivation   Mar 29 Déc - 16:35

Bonsoir,

Il y a beaucoup de doute et un peu de dispersion j'ai l'impression.

Essayons d'être méthodique (c'est quasiment le plus difficile lorsqu'on fait du calcul d'ailleurs).

Donc prenons le numérateur de notre fonction: U(x)=2x²-x, U est définie et dérivable sur R donc pas de soucis le Fonctino F aura pour ensemble de définition et de dérivation l'ensemble de définition du dénominateur privé des point d'annulation de celui-ci (en effet, on ne divise pas pr 0, c'est bien connu Wink). Et tu écrit que sa fonction dérivée est U' définie sur R par U'(x)=4x-1 ce qui est tout à fait juste.

En effet, que tu écrives le numérateur sous forme factorisée c'est à dire U(x)=x*(2x-1) ou sous forme développée U(x)=2x²-x, il est plus que logique de trouver la même dérivée dans les deux cas.

Le premier cas se dérive comme un produit U(x)=1*(2x-1) + x*(2)=2x-1+2x=4x-1. Et la forme développée (celle donnée par l'énoncer) se dérive comme une addition de fonction puissance (à la constante près): U'(x)=2*[2*x1] - 1*x0=4x-1.

Pour le numérateur de notre fonction F, nous le notons V(x)=(x+1)². V est définie et dérivable sur R. Donc l'ensemble de définition de F sera simplement R privé des point d'annulation de notre fonction V. Je te laisse conclure sur cette ensemble.

Sinon, dans la formule de dérivation, il faut aussi calculer la fonction dérivée V', définie sur R par V'(x)= ??

Enfin, la logique veut en effet qu'un carré soit toujours positif ce qui aide assez souvent en effet.

Du coup que vaut l'ensemble de définition et de dérivation de F?
Et ensuite que vaut F'(x) sur cette ensemble?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: dérivation   Mar 29 Déc - 19:33

Merci beaucoup d'avoir consacré un peu de ton temps à m'aider !! C'est gentil, je vais tâcher de me rappeler de tes conseils! Encore merci !!
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: dérivation   Mar 29 Déc - 21:15

Ce forum a été créé pour cela après tout Smile.

En tout cas n'hésite pas à proposer une solution à cette exercice ou à poser tes questions si tu n'abouti pas. Je suis là pour y répondre Wink.

Bonne continuaiton!

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smoufy



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MessageSujet: Re: dérivation   Mer 30 Déc - 10:24

mais ce que je ne comprend pas bien c'est à quel niveau on fait le tableau de signe parce que je trouve la dérivée :
f'(x)= (4x-1)(x+1)^2 - (2x^2-x)(2x+2) / (x+1)^4
Au tout début je pensais qu'on pouvait développer ce numérateur, j'aboutissais alors au polynôme 3x^2+6x-1... ensuite j'ai calculé delta et enfin j'ai fait un tableau de signe avec le numérateur dans la première ligne, puis le dénominateur dans la seconde et enfin Q(x) dans la dernière pour conclure le signe de f'(x).... est-ce que je me suis beaucoup égarée ?
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: dérivation   Mer 30 Déc - 21:58

Bonsoir,

Le tableau de signe se fait lorsqu'on peut le faire en fait Wink. En effet, si on ne peut pas factoriser le numérateur, nous sommes coincés. Donc on fait un tableau de signe lorsque celui-ci est factoriser et qu'on peut donc déduire les signes de chaque facteur.

Ici, vu que les termes de degré 3 s'annule au numérateur et qu'on se retrouve avec un polynôme du second degré tout se passe bien en effet.

Le dénominateur étant positif (une puissance pairs d'un nombre est toujours positive), on peut donc conclure sur le signe de cette dérivée sans problème.

Par contre attention à bien prendre en compte l'ensemble de définition de cette fonction car c'est sur cette ensemble là qu'on fait le tableau de signe.

Bon courage pour la suite!

ps: ta dérivée est tout à fait exacte au fait Razz.

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smoufy



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MessageSujet: Re: dérivation   Jeu 31 Déc - 11:59

Merci pour tout, je crois que j'ai enfin compris grâce à toi Very Happy
C'était dur mais j'y suis arrivée Laughing
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