Maths Cuicui, l'envolée mathématique

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 Un peu d'arithmétique...

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Masculin Nombre de messages : 237
Localisation : France
Date d'inscription : 08/02/2009

MessageSujet: Un peu d'arithmétique...   Mar 29 Déc - 15:36

Salut Cuicui !
Tout d'abord j'espère que tu passes de bonnes vacances et je te souhaite d'excellentes fêtes de fin d'année !

Alors on doit faire l'exercice 2 de spé du bac S asie 1999 pour la rentrée (lien : http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/AsieSjuin1999.pdf) et j'ai juste deux/trois questions :

Question 1 : Est-ce que pour la question 3)a) je peux faire ceci :

Citation :
D'après la question 1)b), ∀k∈ 8(2-5k) + 5(8k-3) = 1 (car la résolution de l'équation 8x+5y=1 m'a donné S={(2-5k;8k-3) / k∈}

Donc, en multipliant des deux côtés par 100, j'obtiens :

∀k∈ 8(200-500k) + 5(800k-300) = 100

Et donc l'ensemble S des solutions de l'équation 8x+5y=100 est S={(200-500k;800k-300) / k∈}
?????

Car le problème c'est qu'avec ce résultat, qui est pourtant bon il me semble (on peut le voir en développant ou aussi en remplaçant par des valeurs), bah je ne peux pas résoudre la question suivante.

Donc ce que j'ai fait ensuite c'est que j'ai re-résolu l'équation 8x + 5y = 100 en n'utilisant pas les résulats de la question 1 et je trouve comme ensemble solution S={(200-5k;8k-300) / k∈}.

Et avec ce résultat je peux résoudre la question suivante qui est très facile (10 hommes et 4 femmes, ou 5 hommes et 12 femmes, ou juste 20 femmes).
Comment ce fait-il que je puisse avoir deux ensembles solution différents ???

Question 2 : d'ailleurs, quand j'ai un ensemble solution du type S={(2-5k;8k-3) / k∈} pour l'équation 8x+5y=1, ne pourrais-je pas étendre le résultat pour k∈ ?? car même pour k∈, en développant 8(2-5k) + 5(8k-3), j'obtiens 1 donc l'équation est vérifiée...


Merci d'avance de m'éclairer !!!
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Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
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MessageSujet: Re: Un peu d'arithmétique...   Mar 29 Déc - 17:02

Bonsoir,

Les fêtes se passent bien, je te remercie et j'espère qu'il en est de même pour toi aussi (avec plein de maths on s'amuse toujours mieux Wink)

Pour ton exercice, il n'y a pas deux ensemble de solution différent. Tu as été floué par ton jugement. En effet, en multipliant tout par 100, tu as obtenu un ensemble de solution qui est bien inclus dans l'ensemble des solutions de ton équation. Par contre, tu n'a aucunement obtenu toutes les solutions. Pourquoi?

Je vais prendre un raisonnement analogue plus simple. Dans la question 1), tu trouve que (2;-3) est une solution de ton équation et pourtant tu augmente le nombre de possibilités pourquoi? Après tout, tu avais une solution à cette équation pourquoi regarder s'il n'y en a pas d'autres?

Le rapport avec ce que tu as fait?

Et bien, tu as trouver des solutions particulière à ton équation et même tout un ensemble mais tu n'as pas vérifier si tu les avait toutes et c'est là que ce situe ton erreur!

Ton équation de départ n'a pas été multipliée par 100 en fait. C'est seulement son second membre qui a été multiplié par 100. En conséquence, cela à agit seulement sur l'équation de Bezout et non sur l'équation homogène: 8*(x-a) + 5*(y-b)=0 car cette équation n'a pas été multipliée par 100. Du coup, La propriété de Gauss te donne les mêmes coefficients car 5 est premier avec 8 et donc 5 divise x-a.

D'ailleurs, si on y réfléchie plus posément tu remarqueras que si les solutions sont multiplié par 100 alors il y a un facteur 100 qui se simplifierai quelque part vu qu'on ne pourrait pas utiliser Gauss pour des causes de primalités entre deux objets.

En conclusion, il faut bien faire attention à ce qu'on fait et à quelles variables bougent. C'est d'ailleurs très instructif comme façon de réfléchir. En effet, si tu ne fais bouger qu'une variable dans ton équation de départ tu peux justement voir l'impact sur la solution et constater justement comme cet impact est visible et pourquoi ce changement agit sur tel objet et pas sur tel autre.


Pour ton autre question, il s'agit d'une restriction de l'énoncer d'une part vu quel e couple (x;y) est un couple d'entier relatif. Par conséquent, on ne peut pas considérer k dans R sinon x et y serait aussi dans R. Maintenant, prend deux seconde de recule et regarde ton équation dans R, j'affirme que l'ensemble des solution est une trivialité (c'est à dire qu'il n'y a pas d'intérêt à l'exercice presque). En effet, je considère x et y dans R, à ce moment là, 5 et 8 sont inversible dans R (ce qu'on avait pas du tout dans Z et c'est ce qui fait toute la difficulté des équation diophantienne d'ailleurs). Du coup, je peux écrire y=-(8/5)*x-1/5. L'ensemble des solutions est une droite dont l'équation est donnée directement dans la question.

D'ailleurs pour faire le lien, les couples que tu trouves dans Z, sont forcément sur cette droite et le lien est là justement. L'extrême facilité de R c'est qu'il s'agit d'un corps et par conséquent tous les nombres sauf zéro est inversible ce qui donne beaucoup de possibilité. Ce que ne permet pas Z car seuls 1 et -1 sont inversible dans Z, donc cela complique grandement les choses pour résoudre les équations par exemple.

En espérant que cela soit plus clair!

Désolé d'ailleurs, j'utilise encore le vocabulaire "inversible" et "corps" et encore je pourrais aussi dire que Z est ce qu'on appelle un "anneau" mais au moins, tu commences à te familiariser avec ces notions même si cela reste plus ou moins vague je pense pour l'instant. Le but est surtout de comprendre ce qui pose problème dans certains ensembles et ce qui n'en pose plus dans d'autres (ce qui te donne aussi l'intérêt d'avoir construit des ensembles plus gros aussi).

Bon courage pour la suite!

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Masculin Nombre de messages : 237
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MessageSujet: Re: Un peu d'arithmétique...   Mar 29 Déc - 17:29

oki okiii tout est plus clair maintenant !!!

Je te remercie cheers .

Rq : pour le terme "inversible", je pense comprendre son sens.
Pour les termes "corps" et "anneaux" j'ai une petite idée mais c'est vrai que cela reste encore un peu flou.
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MessageSujet: Re: Un peu d'arithmétique...   Aujourd'hui à 16:30

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