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 Continuité et dérivabilité

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Nakor



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MessageSujet: Continuité et dérivabilité   Mar 29 Déc - 16:23

Bonjour,

Que dire de "Si f:[0,1] -> R est monotone sur [0,1], alors f est bornée."

A priori je dirais que c'est vrai, mais je n'arrive pas à le démontrer. Si c'est faux, je vois mal un contre exemple. Comment une fonction monotone sur un segment pourrait-elle être non bornée ? Même si elle n'est pas continue je vois pas.

Autre problème: je n'arrive pas à démontrer que si f et g sont discontinues en x0, alors f+g est discontinue en x0.

Et si cette affirmation est fausse, je ne trouve pas de contre exemple.
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MessageSujet: Re: Continuité et dérivabilité   Mar 29 Déc - 17:36

Bonsoir,

Pour ta première affirmation, si la fonction n'est pas continue, mais seulement monotone, ton affirmation est donc malgré tes intuitions. Et tu connais même un contre exemple depuis bien longtemps.

En effet, prends par exemple une fonction décroissante qui n'estp as une fonction affine ou linéaire. Ne cherche pas compliquer, tu en connais une très simple.

Pour ta deuxième, affirmation, cela va être difficile à démontrer car elle aussi n'est pas tout le temps vraie. En effet que se passe-t-il si je prend g=-f par exemple?

Bon courage!

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Nakor



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MessageSujet: Re: Continuité et dérivabilité   Mar 29 Déc - 17:57

Bin j'avais déjà cherché un contre-exemple parce que ça me paraissait bizarre, mais n'en ayant pas trouvé j'en avais déduit que c'était vrai...

J'ai pensé à des trucs genre 1/x, mais elles sont pas définies en 0 par exemple. Et je connais pas beaucoup de fonctions qui sont pas continues (encore moins qui sont monotones).^^
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MessageSujet: Re: Continuité et dérivabilité   Mar 29 Déc - 18:04

Ha autant pour moi, il faut que la fonction soit définie en tout point de [0;1], donc?

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Nakor



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MessageSujet: Re: Continuité et dérivabilité   Mar 29 Déc - 18:37

Bin c'est pas ce que veut dire f:[0,1] -> R ?
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MessageSujet: Re: Continuité et dérivabilité   Mar 29 Déc - 18:41

Tout dépend si on considère que F est une fonction ou une application. Mais bon le fait qu'elle soit monotone sur l'intervalle fermé [0;1].

Il faut en effet qu'elle soit définie en totu cas même si elle admet des points de discontinuité.

Je réfléchie à une façon simpel de montrer cela (j'aimerai éviter de passer par la démonstratino que le nombre de points de discontinuité est au plus dénombrable pour une fonction monotone).

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MessageSujet: Re: Continuité et dérivabilité   Mar 29 Déc - 19:01

Bon, on va admettre que l'ensemble des point de discontinuité d'une fonction monotone est au plus dénombrable dans un premier temps.

Donc l'ensemble des images des point de discontinuité est bornée (la fonction est bien définie en chacun de ses point et un ensemble de point dénombrable est bornée). Il nous reste donc à voir si sur chaque intervalle où la fonction est continue, elle est bornée.

Pour cela, montrons que l'image d'un intervalle par une fonction continue est encore un intervalle.

As-tu des idées pour ceci?

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Nakor



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MessageSujet: Re: Continuité et dérivabilité   Mar 29 Déc - 21:39

Ah oui d'accord je vois l'idée. Oui j'ai réussi à le faire. On avait déjà fait un truc du stylé jcrois.

Je prends x,y tels que [x,y] inclus dans l'intervalle de départ I. Et je montre que [f(x),f(y)] inclus dans f(I) non ?
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MessageSujet: Re: Continuité et dérivabilité   Mar 29 Déc - 21:56

C'est l'idée en quelque sorte.

Un intervalle se définie comme étant un ensemble de points bornés. A partir de là, si on prend trois point x<t<x' avec y=F(x) et y'=F(x') et qu'on montre qu'il existe un c tel que c=F(t) et y<c<y' (si on considère la fonction croissante quitteà prendre -f c'est faisable). alors on a trouvé que chaque point intérieur à [x;x'] donne une image dans [y;y'].

Je te laisse rédiger celà correctement. Le plus compliquer étant de montrer que l'ensemble des points de discontinuité d'une fonction monotone (et c'est là qu'on se sert de la monotonie d'ailleurs sinon, pour l'autre on se sert simplement de la continuité en quelque sorte même si j'avoue que la monotonie permet de parler de segment au lieu d'intervalle mais bon) est au plus dénombrable.

Mais je ne sais plus si c'est au programme ou si on doit l'admettre en PCSI. Donc au pire on l'admet et on rédige bien la partie continue.

Sinon, pour la deuxième question, tu as vu la subtilité du truc? Bon le contre exemple est classique mais sans l'avoir vu on ne cherche pas si simple.

Bon courage!

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Nakor



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MessageSujet: Re: Continuité et dérivabilité   Jeu 31 Déc - 12:32

Je ne crois pas que c'est au programme, enfin on l'a jamais vu et étant donné que ce sont des questions censées être rapidement traitées, je vais l'admettre.^^

Merci.
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