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 DM Barycentre - Parallelogramme

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Laika



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MessageSujet: DM Barycentre - Parallelogramme   Mar 29 Déc - 21:43

Bonsoir Smile


Alors voila j'ai besoin d'aide pour un exercice. Voici l'énoncé :
ABCD est un parallèlogramme de centre O.

a) Construire les points I, J, K, L tels que :
- I = bar {(A,7)(B,-2)}
- J = bar {(B,3)(C,-2)}
- K = bar {(C,-7)(D,2)}
- L = bar {(D,-3)(A,2)}

Donc ca je l'ai fait, on trouve alors que (en vecteurs) :
AI = (-2/5)*AB
BJ = -2*BC
CK = (-2/5)*CD
DL = -2*DA

Et en faisant la figure, on voit bien que IJKL est un parallélogramme.
Mais comment le démontrer a la question suivante ? :/

b) Démontrer que IJKL est un parallelogramme

Si quelqu'un peut m'aider..je suis preneuse Wink
Merci d'avance !


Dernière édition par Laika le Sam 2 Jan - 19:00, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: DM Barycentre - Parallelogramme   Mar 29 Déc - 22:05

Bonsoir et bienvenue parmi nous!

Alors il y a une joli (bon ok tout est relatif j'avoue Wink) démonstration pour montrer que IJKL est un parallélogramme. En effet, en géométrie ce qu'il faut savoir c'est que les propriétés des figures qu'on manipules doivent être connues sur le bout des doigts pour pouvoir avancer rapidement et surtout avoir le maximum de piste pour pouvoir démarrer.

Ici, il faut se rappeler qu'il y a plusieurs moyen de montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme:

- Soit on s'amuse avec les vecteurs et on montre que IJ=LK (par exemple vu que deux vecteurs égaux caractérisent un parallélogramme)
- Soit on utilise une autre propriété du parallélogramme qui est que les diagonales se coupent en leur milieu.

Vu que tu es sur la notion de barycentre, il me paraît intéressant de voir la deuxième possibilité. Car en effet, le milieu d'un segment n'est autre que le barycentre des deux extrémités affectés du même poids.

Je pose donc M=Bar{(I;1),(K,1)} et N=Bar{(J;1),(L;1)}

Le but est donc de montrer que M=N (les diagonales on le même milieu ce qui conclura).

Est-ce que la démarche te paraît claire? Ensuite as-tu des idées pour avancer sur le sujet?

bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose ne te semble pas clair soit parce que j'ai été trop rapide soit parce que tu ne comprends pas la démarche ce qui à tout à fait le droit d'arriver.

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MessageSujet: Re: DM Barycentre - Parallelogramme   Mar 29 Déc - 22:37

Waouh! Je te remercie pour cette réponse rapide déjà, puis complète! Shocked Smile

Alors oui je comprend, sur le schema on peut en effet voir que M=N=O...
Mais pour démontrer, je vois pas d'où on peut partir. D'une égalité vectorielle? D'une définition de barycentre?
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MessageSujet: Re: DM Barycentre - Parallelogramme   Mar 29 Déc - 22:53

En utilisant l'homogénéité du barycentre et l'associativité de celui-ci aussi.

Par exemple, dire que M=Bar{(I;1),(K,1)} c'est aussi dire que M=Bar{(I;5),(K,5)} par exemple.

Or I est baricentre de ???

Et on peut avancer ainsi par associativité du barycentre.

Est-ce que cette démarche là te dit quelque chose?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: DM Barycentre - Parallelogramme   Mar 29 Déc - 23:07

J'espère que c'est juste, je trouve alors que

M=bar {(A,7)(B,-2)(K,5)
et N=bar{((B,3)(C,-2)(L,1)}

Je sais pas si c'est juste vu que j'vois pas de suite a ca -_-'
En tout cas je te remercie de la peine que tu te donnes a m'aider.. Surtout que j'suis vraiment nulle avec les barycentres No
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MessageSujet: Re: DM Barycentre - Parallelogramme   Mar 29 Déc - 23:28

Les barycentres faut les voir sous leur forme physique pour comprendre d'où cela sort si tu veux.

En effet c'est quoi un barycentre? Bon, prenons comme exemple le plus classique des barycentres qu'on appelle isobarycentre c'est à dire un barycentre dont tous les poids sont identiques.

Le plus connu se trouve sur l'ancienne balance qu'on retrouve parfois sur les marchés aussi. En effet, au repos elle est parfaitement équilibrée. Pourquoi?

Car la tige qui soutient le bras (soutenant les deux plateaux) est exactement située au barycentre des deux extrémités du bras. Et on voit ici la notion de "poids" de façon un peu plus visuel vu que dès qu'on met un poids sur l'une des deux balances, il faut mettre le même poids de l'autre côté pour l'équilibrer tout simplement. Ici, on voit d'ailleurs se dessiner de façon concrète la notion d'homogénéité du barycentre. C'est à dire que si on multiplie un des poids par une constantes, il faut multiplier les autres poids par la même constante

C'est ainsi qu'on écrit que: Bar{(I;1),(K;1)}=Bar{(I;5),(K;5)} par exemple.

En espérant que cela t'éclaire un peu mieux sur cette notion là.

Tout ceci n'est absolument pas une démonstration mathématique des choses mais c'est une modélisation mathématique d'une notion très concrète par contre. Et ensuite, on a construit un moyen de travailler (sans dénaturer ses applications concrètes) avec ce nouvel objet qu'on appelé barycentre.

Je parle je parle mais revenons à nos barycentres bien mathématiques ceux là.

Vu comment, tu as manipulé la démarche que je t'ai proposée, je n'ai pas l'impression que tu l'ais comprise.

En effet, pourquoi avoir écrit M=Bar{(I;5),(K;5)} au lieu de laisser M=Bar{(I;1),(K;1)}? Quelle était l'utilité précise qu'on voulait en faire et ce que tu as d'ailleurs fait sans te poser la question?

Je peux poser ma question autrement si cela n'est pas très clair: Avait-on le droit d'écrire M=Bar{{(A;7),(B;-2),(K;5)}? Et si oui pourquoi?

Tu vas peut-être te rendre compte en répondant à cette question que pour l'autre point, tu as fait une erreur. je te conseille d'ailleurs de ne travailler que sur le point M et d'arriver au point N en utilisant des propriétés sur les barycentres. Cela évitera de travailler avec deux points en même temps.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: DM Barycentre - Parallelogramme   Mar 29 Déc - 23:35

Pour te repondre rapidement, j'ai pris M=bar{(I,5)(K,5)} tout simplement pour pouvir faire de la désassociativité (normalement interdite en 1ère mais bon c'est pas grave ><) et ainsi obtenir M=bar{(A,7)(B,-2)(K,5)} car I=bar{(A,7)(B,-2)} et 7-2=5.
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MessageSujet: Re: DM Barycentre - Parallelogramme   Mar 29 Déc - 23:40

Nickel!

Bon maintenant K est le barycentre de quoi? (Je ne me souviens pas que l'associativité nverse n'était pas au programme alors qu'elle repose exactement sur la mêem démonstration que l'associativité elle-même, bizarre).

Au pire nous verrons un moyen de le faire via les vecteurs par la suite au cas où.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: DM Barycentre - Parallelogramme   Mar 29 Déc - 23:45

D'après l'enoncé K=bar{C,-7)(D,2)} . On peut aussi ecrire K=bar{(C,7)(D,-2)}.
Donc pareil, par désassociativité, on peut dire que M=bar{(A,7)(B,-2)(C,7)(D,-2)}

Je suis sur la bonne voie ? ... Rolling Eyes
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MessageSujet: Re: DM Barycentre - Parallelogramme   Mar 29 Déc - 23:51

Nickel!!

Maintenant que peux-tu en déduire en utilisant l'associativité maintenant sur le point M par à O? Sachant que O est le centre de ABCD c'est à dire le point d'intersection des deux diagonale (qui se coupent en leur milieu vu qu'il s'agit d'un parallélogramme).

Ceci va aller dans le sens de ton intuition en tout cas.

La deuxième partie sera de faire de même avec le point N et montrer qu'il est égale à O et conclure.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: DM Barycentre - Parallelogramme   Mar 29 Déc - 23:57

Mh la je bloque..
Vu que M=bar{(A,7)(B,-2)(C,7)(D,-2)}
Est ce qu'on peut dire que M est le croisement de AC et BD ?
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MessageSujet: Re: DM Barycentre - Parallelogramme   Mer 30 Déc - 0:09

C'est tout a fait juste et même fortement conseillé!

En effet, un barycentre de deux point est forcément sur la droite contenant ces deux points. Donc M appartient à (AC) et appartient à (BD) et est donc l'intersection des deux diagonale du parallélogramme ABCD c'est à dire O.

Il y a un autre moyen de voir les choses en disant que O est le barycentre de (A;7) et (C;7) ainsi que de (B;-2) et (D;-2) ce qui conclut aussi que M=O. Mais l'appartenance à des droites est plus fréquemment utiliser et bien plus visuel donc elle est à préférer en effet.

Maintenant nous savons que M=O. Si on montre que N=O, on aura gagner.

Je te laisse faire le raisonnement pour ceci, nous sommes à la moitié du travail mais toute les démarches sont déjà écrites Smile.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: DM Barycentre - Parallelogramme   Mer 30 Déc - 13:50

Niquel, je trouve alors que N=bar{(B,3)(C,-2)(D,3)(A,-2)} avec les mêmes démarches..
Donc N coupe BD et CA en leur milieu. Et N=M=O.
Donc IJKL est un parallelogramme. (tout ça pour ça ! >_< ^^ )

C'est ok ? Embarassed
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MessageSujet: Re: DM Barycentre - Parallelogramme   Mer 30 Déc - 22:10

Bonsoir,

C'est nickel !!!! Qui a dit que c'était difficile après tout Wink. Est-ce que c'esst plus clair sur la manipulation des barycentres?

Veux-tu qu'on regarde une démonstration par égalités vectorielles?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: DM Barycentre - Parallelogramme   Jeu 31 Déc - 14:55

La manipulation des barycentres est maintenant plus facile pour moi, merci beaucoup !
Oui je veux bien qu'on démontre par egalités vectorielles car je peux pas utiliser la désassociativité ... Mais sinon je peux essayer de m'arranger, on avait vu une technique en cours pour utiliser l'associativité en trichant enfin c'est compliqué >_< !
Mais juste pour voir, je veux bien essayer Smile
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MessageSujet: Re: DM Barycentre - Parallelogramme   Ven 1 Jan - 18:08

Bonsoir et bonne année!

En fait, après étude du programme de 1ère, il est complètement abérent que ton professeur de mathématiques puisse t'interdire cette technique. D2jà rien que sur le principe d'interdire une méthode tout à fait faisable et démontrable avec les outils de première. Et d'autre part parce que le programme n'est pas du tout fait pour être suivie à la lettre comme un mouton (il faut tout de même avoir un certain recule et ne pas aire travailler un élève que pour des notes de devoir ce qui serait vraiment une très mauvaise méthode voire même nuisible poru l'élève rien que pour son bac vu que c'est au programme du bac S).

En fait, pour te donner l'idée. Ce que tu appelles la "désassociativité" est un mot inventé car la technique utilise exclusivement l'associativité du barycentre. En fait, le barycentre est un objet mathématique qui vérifie que deux propriétés fondamentale. Toutes les autres en découlent strictement. La démonstration de ce qu'on utilise ici repose totalement sur l'associativité du barycentre et l'homogénéité de celui-ci. En conséquence, ton prof ne peut d'une par pas te compter faux et encore moins te l'interdire cela serait de l'anti-jeu en quelque sorte car il biaiserai les règle des mathématiques pour vous obliger à réfléchir dans son sens ce qui n'est pas le meilleur moyen de vous faire comprendre quelque chose à terme en tout cas sur ce sujet.

Il y a une règle d'or en mathématiques c'est que rien et strictement rien n'est interdit du moment que ce qui est utilisé est démontré (soit dans ton cours comme application idrect soit directement sur ta feuille lorsque tu fais un raisonnement ou une démarche hypothético-déductive et non intuitive).

Sinon, pour en revenir à notre exercice pour démontrer les choses par du calcul vectoriel, il va falloir utiliser la caractéristation des parallèlograme par les vecteurs. C'est à dire qu'ici, IJKL est un parallélogramme si et seulement si:

IJ=LK
ou
IK=JL

Après c'est toi qui choisis ta démonstration après tout. Donc à quelle égalité souhaites-tu arriver? ET qu'avons-nous sous la main pour y arriver?

On devrait forcément utiliser à un moment ou à un autrel e fait que ABCD est un parallélogramme et par conséquent, nous avons accès à sa caractérisation par égalité vectoriel: AB=DC et AD=BC.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: DM Barycentre - Parallelogramme   Sam 2 Jan - 16:37

Bonsoir & bonne année !


Alors on pourrait se servir du point O non? Vu qu'il est contre des 2 parallelogrammes (je crois).
On pourrait partir de AO=OC par exemple.. Puis introduire I et K ? J'en sais rien du tout Shocked
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MessageSujet: Re: DM Barycentre - Parallelogramme   Sam 2 Jan - 18:30

Bonsoir,

L'idée est intéressante aussi, l'avantage d'un raisonnement par relation de Chasles surl es vecteurs c'est qu'on peut partir d'à peu près où l'on veut. Le chemin sera juste plus où moins long et il faut juste éviter de tourner en rond Wink.

Mais bon, en étant malin, tu peux essayer de retrouver les relations vectoriels qu'on obtenait pour les barycentres successif vu que c'est presque la même chose qu'on va faire sauf qu'on va dire "par relation de Chasles on a ceci ou celà" et qu'on va explicité les égalités vectorielles.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: DM Barycentre - Parallelogramme   Sam 2 Jan - 19:08

Tu parles de celles-ci ?
AI = (-2/5)*AB
BJ = -2*BC
CK = (-2/5)*CD
DL = -2*DA



Si oui, j'ai essayé de bouger mais..je tourne en rond avec Chasles!
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MessageSujet: Re: DM Barycentre - Parallelogramme   Sam 2 Jan - 19:58

Lorsqu'on souhaite montrer une égalité, on ne part pas à l'aveugle. On part d'un côté de légalité et on souhaite arriver à l'autre.

Par exemple essayons de montrer que IJ=LK et partons de IJ.

Utilise la relation de Chasle et la caractérisation d'un parallélogramme par les vecteurs AB=DC et BC=AD pour arriver à l'égalité à LK.

Quel point pouvons nous introduire d'après les relations barycentrique que nous avons sous les yeux et en partant donc de IJ.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: DM Barycentre - Parallelogramme   Sam 2 Jan - 21:03

Grr je suis désolée mais la je séche ! Embarassed
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MessageSujet: Re: DM Barycentre - Parallelogramme   Sam 2 Jan - 21:08

Il pleut dans la maison? Hum, désolé... Mais bon sécher sans avoir une idée ou même un déamarrage faux c'est plutôt bizarre, aurais-tu laisser ta réflexion en 2009?

Alors nous avons les égalités suivante:

Par les barycentres:
AI = (-2/5)*AB
BJ = -2*BC
CK = (-2/5)*CD
DL = -2*DA

Par le fait que ABCD est un parallélogramme:
AB=DB
BC=AD

Toutes les hypothèses sont écrites pour le coup, il n'y a rien d'autre, on a utilisé tout ce que l'énoncer pouvait nous donner.

Notre réflexion, nous dit qu'il faut montrer que IJ=LK pour déduire que IJKL soit un parallélogramme.

On part donc de IJ par relation de Chasle et on cherche à trouver une égalité avec LK après quelques opération.

Alors entamons au moins les hostilités, quel point fais-tu entrer "dans" IJ par relation de Chasle d'après toutes les relations qu'on veut ou peut utiliser d'après l'énoncer?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: DM Barycentre - Parallelogramme   Sam 2 Jan - 21:31

Bon j'essaye.. Mais je promets rien

IJ =IB + BJ
IJ = IB - 2BC
IJ = IB + 2DA
JI = BI - 2DA
JI = BI + DL
IJ = IB + LD
IJ = IB + LK + KD

Mouais nan c'est pas possible..
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MessageSujet: Re: DM Barycentre - Parallelogramme   Sam 2 Jan - 21:35

Ca commence plutôt bien pourtant.

Le soucis est que tu tiens absoluement à garder le BI qui ne sert à rien vu qu'à la fin ni le I ni le B doit être présent. Pourquoi ne pas dire que IB=IA+AB?

Je te laisse continuer. Nous n'avons pas utiliser toutes les relation c'est que nous n'avons pas encore fini donc Wink.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: DM Barycentre - Parallelogramme   Sam 2 Jan - 22:05

Je reprends donc

IJ =IB + BJ
IJ = IB - 2BC
IJ = IB + 2DA
JI = BI - 2DA
JI = BI + DL
IJ = IA + AB + LD
IJ = IA + AB + LK + KD
IJ = (2/5)AB + AB + LK + KD
IJ = (7/5) AB + LK + KD


Ca vaut la peine que je continue ou je vais droit dans le mur la ? ><
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MessageSujet: Re: DM Barycentre - Parallelogramme   Aujourd'hui à 9:06

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