Maths Cuicui, l'envolée mathématique

forum gratuit d'entraide mathématique de la 6ème à la 2ème année de licence
 
AccueilPortailFAQRechercherS'enregistrerMembresGroupesConnexion

Partagez | 
 

 équation différentielle

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Aller en bas 
AuteurMessage
nana17



Nombre de messages : 84
Localisation : 17
Date d'inscription : 25/11/2007

MessageSujet: équation différentielle   Jeu 31 Déc - 11:25

Bonjour voila je bloque sur cet exercice à partir de la première question. Merci pour votre aide



1)les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme f(x)=C e^(-Kx)+(Vo/K) avec C appartient à R
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 30
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: équation différentielle   Jeu 31 Déc - 12:12

Bonjour,

La première question est tout à fait juste. Dans la démarche, il faut commencer par résoudre l'équation différentielle homogène c'est à dire sans second membre. Puis après vu que le second membre est constant et que les coefficient de cette équation aussi, il nous suffit de chercher une solution particulière sous la forme d'une fonction constante (vu que sa dérivée sera nulle, cela simplifie grandement les choses).

La question suivante, va nous donner l'unicité de la solution vérifiant Théta(0)=0. Et pour la question b), il s'agit d'isoler le terme contenant le t (qui se situe seulement dans l'exponentielle comme on l'aura remarqué) puis ensuite, il faut réussir à "enlever" l'exponentielle.
A titre d'indication pour cette question b), t s'exprime en fonction dela fonction logarithme népérien.

Le but d'exprimer t en fonction des autre variable c'est de pouvoir trouver les antécédents de valeur de Théta données.

Bon courage pour la suite et bon réveillon aussi!

_________________
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
nana17



Nombre de messages : 84
Localisation : 17
Date d'inscription : 25/11/2007

MessageSujet: Re: équation différentielle   Jeu 31 Déc - 13:19

Alors

1) f(x)=C e^(-Kt)+(Vo/K) avec C appartient à R

2)a Theta(0) = 0. Donc C*exp(0) + Vo/K = 0. Donc c = -Vo/K

Théta(t) =-Vo/K*exp(-Kt) + Vo/K = Vo/K(1-exp(-Kt))

b) Théta(t)*K/Vo = 1-exp(-Kt)
exp(-Kt) = 1-Théta(t)*K/Vo
-Kt = ln(1-Théta(t)*K/Vo)
t = -1/K*ln(1-Théta(t)*K/Vo)

Bon réveillon et merci
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 30
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: équation différentielle   Ven 1 Jan - 17:56

Bonsoir et bonne année!

La première question était déjà juste donc rien ne change. Et les deux suivantes sont tout à fait justes.

Il faut par contre avoir conscience que lorsque tu as pris le logarithme népérien, tu as considéré que ton expression était strictement positive. Il ne peut en aucun cas exister de logarithme prenant comme iantécédent une valeur négative. Par conséquence, il faut toujours vérifier (au moins au brouillon) que ce qu'on écrit est cohérent c'est à dire ici que 1-Théta(t)*(K/V0) est strictement positif pour toutes les valeurs de t qu'on considère. Sinon, il nous serait impossible de passer au logarithme népérien.

Voilà pour l'aparte sur la rigueur, sinon il ne nous reste plus qu'à faire le calcul pour la question c). Puis à faire l'étude de fonction pour la question 3). D'ailleurs, l'étude de fonction, nous permettra de connaître le comportement des solutions ce qui est toujours intéressant vu qu'une équation différentielle modélise le plus souvent un problème réel soit en mécanique, électricité ou encore en biologie (passage d'un fluide dans un compartiment par exemple). En cours, on étudie que des cas d'école c'est à dire qu'on vous fait faire des exercices qui sont totalement hors contexte sur ce sujet car la modélisation de cas concret est vraiment complexe et les solutions ne sont pas souvent calculable à la main, c'est surtout le soucis.

Bon courage pour la suite!

_________________


Dernière édition par Blagu'cuicui le Ven 1 Jan - 20:23, édité 1 fois (Raison : orthographique)
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
nana17



Nombre de messages : 84
Localisation : 17
Date d'inscription : 25/11/2007

MessageSujet: Re: équation différentielle   Ven 1 Jan - 20:10

OUI Bonne année 2010

pour la c)en appliquant les valeurs dites dans l'énoncé je trouve comme valeur exacte 400.2401922 mais après pour la valeur à une seconde près je ne vois pas trop comment mis prendre
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 30
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: équation différentielle   Ven 1 Jan - 20:31

Il est fort peu probable qu'une valeur exacte puisse s'écrire sous une forme décimale sauf si celle-ci tombe juste. Or ici ce n'estp as le cas vu que le logarithme népérien tombe que très rarement juste.

La forme que tu donne est donc une valeur approchée. La valeur exacte est une valeur avec le lograithme népérien car on ne peut pas faire mieux ici.

Sinon, pour l'arrondi à la seconde près, il faut savoir l'unité que prend t dans notre expression? ET savoir si ce qu'on trouve est en seconde ou en minute ou encore en heure.

Est-ce plus claire?

Bon courage!

_________________
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
nana17



Nombre de messages : 84
Localisation : 17
Date d'inscription : 25/11/2007

MessageSujet: Re: équation différentielle   Ven 1 Jan - 20:48

je trouvais bien cela étrange aussi alors pour la valeur exacte:

t=-1/(3*10^-6)*ln(1-40*3*10^-6/0.1)
= -10^6/3*ln(1-400*3*10^-6)
=-10^(6)/3*ln(1-1.2*10^-3)


pour contre pour l'autre je ne vois toujours pas
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 30
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: équation différentielle   Ven 1 Jan - 20:51

Je suis d'accord pourl a valeur exacte!

Maintenant qu'elle est l'unité du temps ici d'parès l'énoncer? Et après conclure pour la valeur approchée en calculant le logarithme népérien bien entendu.

Bon courage!

_________________
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
nana17



Nombre de messages : 84
Localisation : 17
Date d'inscription : 25/11/2007

MessageSujet: Re: équation différentielle   Sam 2 Jan - 18:03

selon l'énoncé t est en seconde alors

t1 = -10^(6)/3*ln(1-1.2*10^(-3)) = 400 s

3)dthéta/dt = 10^5/3*(1-exp(-3*10^-6*t))' = 10^5/3*3*10^(-6)*exp(-3*10^(-6)*t) = 0.1*exp(-3*10^(-6)*t).

Or exp est positive sur R. donc la fonction est strictement croissante sur 0;+l'infini
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 30
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: équation différentielle   Sam 2 Jan - 18:48

Bonsoir,

C'est exacte pour la question 2)c).

Pour la question 3), pour éviter tout abus de langage, on préférera écrire θ'(t) au lieu de "dθ/dt" qui n'est pas très rigoureuse en fait. Pour regagner la rigueur il faudrait au moins écrire dθ(t)/dt pour montrer la dépendance en t de la fonction θ. Et cela pose quelque soucis car en maths que signifie dt en fait? Car il a une signification très précise ne fait ce qu'on est obligé de mettre sous le tapis en physique jusqu'en bac+2 presque. Cela est lié à la notion de différentielle qui est plutôt complexe à construire et c'est pour cela qu'on évite de l'écrire en Terminale en maths car on n'a pas le bagage nécessaire pour parler de différentielle même si c'est très intuitif comme le dira un professeur de physique pour pouvoir faire son cours (car tout ce base sur la notion sous jasent hélas pour lui): "il s'agit de variation très petit en temps qu'on note dt au lieu de Δt qui est une variation plus grande en t".

Sinon, la dérivée est tout à fait juste en tout cas. Il ne reste plus qu'à faire le tbleau de varaition pour voir dans quel domaine θ(t) va varier lorsque le t va de 0 à l'infini.

Bon courage pour conclure cette exercice!

_________________
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
nana17



Nombre de messages : 84
Localisation : 17
Date d'inscription : 25/11/2007

MessageSujet: Re: équation différentielle   Sam 2 Jan - 22:58

donc pour conclure comme exp est positive sur R. Donc théta'(t) > 0 donc de 0 à plus l'infini c'est positif donc strictement croissant
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 30
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: équation différentielle   Sam 2 Jan - 23:21

C'est en effet strictemetn croissant. On a donc le fait que la fonction Tétha est strctiement croissante.

Il ne nous reste plsu qu'à calculer les valeurs au bornes de l'intervalle d'étude pour conclure (c'est c'est cela qui nous intéresse surtout en fait Smile).

Bon courage!

_________________
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
nana17



Nombre de messages : 84
Localisation : 17
Date d'inscription : 25/11/2007

MessageSujet: Re: équation différentielle   Dim 3 Jan - 10:56

Bonjour

limite en + l'infini

limite de -3*10^-6t=-l'infini

on pose X=-3*10^-6t

limite de expX quand X tend vers -l'infini=0 donc en + l'infini cela vaut 0

et téta(0)=0 mais la je ne sais plus si on doit faire la limite ou l'image de 0
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 30
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: équation différentielle   Dim 3 Jan - 12:53

Bonjour,

Attention à ne pas être trop pressée Razz. En effet, c'est la limite de quoi que tu calcules là? Car je n'ai pas l'impression que la fonction Théta est une limite égale à 0 à l'infini.

Sinon, pour répondre à ta deuxième interrogation, le calcul de la limite en un point où la fonction est définie, cela revient bien au calcul de l'image d'une point parce que justement la fonction est définie au point. Et ici en effet, la fonction est bien définie en 0 et continue en 0 donc on calcul juste l'image de 0 par la fonction Théta qui est bien nulle en effet.

Je te laisse reprendre le calcul de ta limite qui était bon jusqu'au moment de ta conclusion qui s'est avérée fausse par je ne sait quelle magie pour le coup.

Bon courage!

_________________
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
nana17



Nombre de messages : 84
Localisation : 17
Date d'inscription : 25/11/2007

MessageSujet: Re: équation différentielle   Dim 3 Jan - 13:04

oula oui alors je reprend

limite en + l'infini

limite de -3*10^-6t=-l'infini

on pose X=-3*10^-6t

limite de expX quand X tend vers -l'infini=0 donc limite en + l'infini de exp-3*10^-6t=0
d'où limite en + l'infini de 1-exp-3*10^-6t=1
donc limite de θ(t) en + l'infini=10^5/3
voila j'espère que cette fois-ci c'est bon
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 30
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: équation différentielle   Dim 3 Jan - 14:04

En effet c'est tout de suite mieux Wink.

En plus, il faut éviter les incohérence sur une copie (le plus possible du moins). Et tu aurais dû te dire qu'il y avait un problème directement vu que tu as trouvé que ta fonction était strictement croissante. Donc une fonction strictement croissante qui part de 0 et qui tend vers 0 à l'infini, j'en connais pas beaucoup pour ma part Wink.

J'ai l'impressino que ça conclu l'exercice. Tu commences à gagner en assurance même s'il reste quelque étourderies par ci par là, cela est tout de même plus fluide dans les idées et c'est surtout ça qui feral a différence par la suite et et fera progresser.

Bon courage!

_________________
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
Contenu sponsorisé




MessageSujet: Re: équation différentielle   Aujourd'hui à 16:00

Revenir en haut Aller en bas
 
équation différentielle
Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Revenir en haut 
Page 1 sur 1
 Sujets similaires
-
» équation différentielle, besoin d'aide
» Equation différentielle non linéaire (2)
» Equation différentielle
» Équation différentielle (RL)
» Protection différentielle

Permission de ce forum:Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Maths Cuicui, l'envolée mathématique :: L'envolée du Lycée GT, Pro et du CAP :: Entre-aide pour la Terminale G, T et Pro :: Problèmes et exercices-
Sauter vers: