Maths Cuicui, l'envolée mathématique

forum gratuit d'entraide mathématique de la 6ème à la 2ème année de licence
 
AccueilPortailFAQRechercherS'enregistrerMembresGroupesConnexion

Partagez | 
 

 Suite de Fibonacci

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Aller en bas 
AuteurMessage
mode2



Nombre de messages : 33
Localisation : Marne
Date d'inscription : 04/11/2009

MessageSujet: Suite de Fibonacci   Dim 3 Jan - 20:53

Re bonsoir,

Soit (Un) la suite définie par U0=0, U1=1 et, pour tout n Є N, Un+2=Un+1+Un (1)
1.Calculer U2 ,U3, U4, U5
2..Soit α et β les deux racines de l’équation :
x² -x -1 =0
Donner les valeurs exactes de α et β ( on notera α la plus petite valeur)
3.Montrer que la suite définie pour tout n Є N, par Vn = λαn + μβn est solution de (1)
4.Déterminer λ et μ telles que V0=U0 et V1=U1. On admet désormais que, pour tout n Є N, Un =Vn
Indication du prof Question 3: il est inutile d’utiliser les valeurs exactes de α et β trouvées dans la question précédente
on utilisera le fait que α et β sont solutions de x² - x- 1=0, ce qui donne x² = x+1.

J'ai trouvé U2=1 U3=2 U4=3 U5=5
Les deux racines α=(1-V5)/2 et β=(1+V5)/2
après je ne vois pas trop quoi faire, j'ai essayé ça vn+1 +vn = λαn+1 +μβn+1+ λαn + μβn
= λαn(α+1) +μβn(β+1)
Mais je suis resté bloqué


Dernière édition par Blagu'cuicui le Dim 3 Jan - 21:18, édité 1 fois (Raison : mise en forme)
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 30
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: Suite de Fibonacci   Dim 3 Jan - 21:15

La fameuse suite de Fibonacci! Elle en aura fait couler de l'encre celle-là.

Bon trève de bavardage et allons-y.

La première question est juste. La deuxième est excellente!

La troisième par contre elle n'est pas aboutie et c'est dommage ça !!

Le but est donc de montrer que Vn+2=Vn+1+Vn

On a claculer Vn+1+Vn mais que vaut Vn+2? Est-ce que par harsard α+1 ne serait pas égale à ce qu'on cehrche pour avoir la bonne puissance?

Bon courage!

_________________
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
mode2



Nombre de messages : 33
Localisation : Marne
Date d'inscription : 04/11/2009

MessageSujet: Re: Suite de Fibonacci   Lun 4 Jan - 17:29

Ok je crois que j'ai compris :

vn+1 +vn = λαn+1 +μβn+1+ λαn + μβn
= λαn(α+1) +μβn(β+1)
Mais on sait que α+1=α² et β+1=β²
Donc vn+1+vn= λαn*α² +μβn*β²
vn+1+vn=λα(n+2) + μβ(n+2)

Donc c'est bien Vn+2

Et par contre pour la question pour la quest 4 je n'ai pas trop d'idées
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 30
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: Suite de Fibonacci   Lun 4 Jan - 18:13

Bonsoir,

C'est nickel pour la troisième question.

Maintenant pour la 4), ne pas avoir d'idée m'étonne un peu. Le but ici est de montrer que l'écriture explicite en fonction de n est bien la même suite que la suite de Fibonacci. On a montré dans la 3) que notre suite (Vn) vérifiait bien la relation de récurrence.

Et la question 4) a donc pour but de fixe les deux constante pour que notre suite vérifie aussi les conditions initiales. Il nous resterait à montrer l'unicité de la solution mais dans cette exercice on va admettre que Vn=Un lorsqu'on a les bonnes constantes.

Maintenant, que vaut V0 et V1 en fonction des constante bien évidemment? Que vaut U0 et U1 d'après l'énoncer?

Nous devons avoir les deux conditions simultannément. Nous sommes donc devant un système de deux équations à deux inconnues μ et λ vu que alpha et béta sont toutes les deux fixées.

Est-ce que la démarche te semble plus claire?

Bon courage pour la résolution de ce système!

_________________
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
mode2



Nombre de messages : 33
Localisation : Marne
Date d'inscription : 04/11/2009

MessageSujet: Re: Suite de Fibonacci   Lun 4 Jan - 19:51

J'essaye Rolling Eyes

U0=V0=0==> λ + μ = 0
U1=V1=1==> λ(1-V5/2)^1 + μ(1+V5/2)^1=1


Pour trouver ce système
λ + μ = 0
λ(1-V5/2)+ μ(1+V5/2)=1

Est-il bon ?
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 30
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: Suite de Fibonacci   Lun 4 Jan - 20:04

Il est tout à fait exacte!

Tu pouvais presque l'écrire en fonction de alpha et béta aussi mais peut-être que l'explicitation aidera dans les calculs après tout.

Bon courage pour la résolution de ce système!

_________________
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
mode2



Nombre de messages : 33
Localisation : Marne
Date d'inscription : 04/11/2009

MessageSujet: Re: Suite de Fibonacci   Lun 4 Jan - 21:07

λ + μ = 0 ===< μ=-λ
λα+ μβ=1

λα+ -λβ=1 ===< λ=1/(α-β)

Après en appliquant la formule je trouve λ=-1/V5 et α=1/V5

Voilà j'espère que je ne me suis pas trompée dans mes calculs
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 30
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: Suite de Fibonacci   Lun 4 Jan - 21:15

Sans refaire les calculs, je dirai que c'est tout à fait cohérent au fait près que c'est mu pour le deuxième et non alpha Wink.

Nous avons donc explicité la suite de Fibonacci. Enfin l'une des suites de Fibonacci car tu le constates toi même, si on change la valeur de U0 et de U1 nous allons trouver d'autre constante qui vérifie la relation de récurrence de Fibonacci.

Sinon, il faut avoir conscience qu'on a juste montré l'existence de notre suite ici. En effet, on a explicité Vn en fonction de n avec les bons coefficient pour que tout marche. Mais nous n'avons pas montrer l'unicité. C'est à dire existe-t-il d'autre forme de suite vérifiant les hypothèses?
La réponse est non mais nous ne le montrons pas il faut bien en avoir conscience pour savoir quel raisonnement nous avons mis en évidence ici.

En espérant que la démarche de cette exercice t'aura fait réfléchir sur quelque méthode de calcul ainsi que sur une démarche scientifique en générale (pour la remarque en aparté à la fin).

Bon courage pour la suite!

_________________
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
Contenu sponsorisé




MessageSujet: Re: Suite de Fibonacci   Aujourd'hui à 14:00

Revenir en haut Aller en bas
 
Suite de Fibonacci
Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Revenir en haut 
Page 1 sur 1
 Sujets similaires
-
» suite de fibonacci:
» qusetion "suite de Fibonacci"
» Mystères de la Suite de Fibonacci
» sinplification
» Suites lineaires

Permission de ce forum:Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Maths Cuicui, l'envolée mathématique :: L'envolée du Lycée GT, Pro et du CAP :: Entre-aide pour la 1ère G, T et Pro :: Problèmes et exercices-
Sauter vers: