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 Dérivation.

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Roi_Med



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MessageSujet: Dérivation.   Mar 19 Jan - 18:56

Re bonjour,
le chapitre sur la proba est très bien passé, mais là ça se corse.. Very Happy.
Je pense avoir compris le principe & les formules à utiliser, mais j'aurais besoin de précisions sur certains points??
Qu'est ce qu'exactement la limite en 0 d'une fonction ( représentable)??
Qu'est ce qu'un nombre finit (pour pouvoir dire si la fonction est oui dérivable en a?)
Qu'est ce que représentation affine et erreur ( je sais els trouver, mais ne voit pas ce que ça représente.)
Merci.
Si tu vois des trucs importants ou qui peuvent aider à assimiler, pourquoi pas.

Laughing
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Dérivation.   Mar 19 Jan - 20:04

Bonsoir,

Toujorus des questions très précises à ce que je vois mais toujours du mal à bien visualiser les choses, j'en suis presque frustré pour toi vu que tu te poses réellement les bonnes questions lorsque tu abordes un cours.

La notion de limite n'est pas des plus simple à concevoir au niveau conceptuel en fait. Et bien oui, l'humain a du mal avec la notion l'infiniment petit et l'infiniment grand. Cependant, pour avoir une idée de ce qu'est une limite, on peut la voir sur la représentation graphique de la fonction.

En effet, si je prend pas exemple une fonction que tu as déjà étudié comme la fonction carrée par exemple c'est à dire F(x)=x².

Si je souhaite prendre la limite de cette fonction lorsque x tend vers un réel a par exemple, je vais regarder les points dont l'abscisse est situé dans une bande verticale centrée en a qu'on peut représenter par ]a-β;a+β[ (avec β>0). Cette bande verticale contient une partie de la représentation de la fonction. Si notre bande contient une portion visible de notre courbe (c'est à dire qu'on peut voir tous les points de notre courbe dans cette portion), alors nous pouvons trouver une bande horizontale qui contiendra les ordonnées des points que nous avons considérés. Je peux considérer que cette bande horizontale est de la forme ]b-ε;b+ε[ par exemple.

Ainsi, si je prend β de plus en plus petit, notre bande verticale va se rétrécir petit à petit jusqu'à ne plus formé qu'une droite verticale x=a en quelque sorte. En la bande horizontale va se rétrécir elle aussi pour ne plus former qu'une droite horizontale y=b.

Ainsi, on dira que la limite lorsque x tend vers a de notre fonction est égale à b. Et ici, on a même le fait que F(a)=b c'est à dire qu'on peut expliciter b=a² tout simplement.


Plus clairement, on peut dire que si pour tout réel ε positif, on arrive à trouver une bande verticale autour de a (c'est à dire qu'il existe un β>) telle que la l'image de tous les points de cette bande se situe autour de b (dans une bande horizontale autour de b), alors la limite de F(x) lorsque x tend vers a est b.


Je considérai ici un a fixé c'est à dire qu'il n'y avait pas d'infini. Par exemple, si on prend la fonction inverse, F:x|-->1/x. On constate que si on prend un intervalle du type ]0;0+β[, et qu'on prend un β de plus en plus petit et bien, on ne trouvera pas de bande horizontale pour mettre toutes les valeurs de F(x) car pour toute valeur A>0, il existera toujours un β (très petit) tel que pour tout x dans ]0;0+β[, F(x)>A. On dit ici que F tend vers +Infini lorsque x tend vers 0 par valeur positive.

En espérant que cela soit plus clair. Il faut faire des dessin pour bien visualiser les choses en tout cas.

Sinon, une limite est dite finie si:

- elle n'est pas infini (c'est à dire différente de +Inf et -Inf)

et si elle admet une limite. Par exemple, Cosinus n'admet pas de limite lorsque x tend vers +Inf (cela oscille tout le temps et on n'a donc pas accès à des valeurs pour cette limite là).

Enfin, pour une représentation affine, tu connais déjà la notion ne fait. En effet, les fonctions affines ne sont autre que les fonction du type F(x)=a*x+b tout simplement. On dit que la fonction en un point où elle est dérivable est approximée par la tangente au point (dont le coefficient directeur est le nombre dérivée au point). En effet, il y a une erreur (qui est calculable ne faisant la différence entre la fonction et l'équation de la tangent tout simplement) mais intuitivement, on peut dire que si on zoom énormément sur le point qu'on considère et bien autour de ce point là, la courbe est quasiment une droite qui se confond avec la tangente à la courbe au point.

Est-ce que tout ceci te semble plus clair?

Bon courage et n'hésite pas à poser tes question surtout!

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MessageSujet: Re: Dérivation.   Mar 19 Jan - 20:23

OUi ça semble..
Je n'arrive juste pas à visualiser les bandes pour la limite.
Mais combien de limites existe il par fonction? Une par réel différent??
Et par exemple, pour trouver f'(a) qui est aussi coef directeur si j'ai bien suivit, on cherche le taux d'accroissement t, puis on remplace h par 0. Pourquoi?? Shocked
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MessageSujet: Re: Dérivation.   Mar 19 Jan - 20:51

En fait, f'(a) lorsque la dérivée en a de la fonction f existe c'est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a de la courbe.

Le taux d'accroissement représente le coefficient directeur de la droite passant par les points de la courbes d'abscisses a et a+h sur le dessin. On constate que lorsque h va être très petit, le point d'abscisse a+h va se rapprocher de plus ne plus près du point d'abscisse a jusqu'à ne fairep lus qu'un avec lui et ainsi avoir le coefficient directeur de la droite limite qui n'est autre quel a tangente à la courbe au point d'abscisse a.

Voici ceque cela donne sur un dessin:


En espérant que cela soit plus clair pour le taux d'accroissement et la notion de limite de celui-ci.

Sinon, dès que la fonction est défini en un point la limite en se point n'est autre que l'image del a fonction. Par exemple pour reprendre la fonction carrée. Elle est définie sur R donc tous les points de R ont une image et par conséquent, en chaque réel a, F(x) admet une limite qui n'est autre que F(a) tout simplement.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Dérivation.   Mar 19 Jan - 21:14

Ici on aurait la tangente en rouge & la corde en jaune??
Oui là c'est clair pour limite en un point. Laughing
On va faire des applications, je te dirai ou ça bloque
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Dérivation.   Mar 19 Jan - 21:25

Si tu as déjà analyser le vocabulaire. En effet, en orange c'est une corde passant par deux point de la courbe et la position limite est bien la tangente qui est en rouge tout à fait.

Bon courage pour la suite!

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MessageSujet: Re: Dérivation.   Sam 6 Mar - 10:07

Bon sur les dérivations ça va.. Cool
le seul endoirt ou j'ai du mal c'est les optimisations, je ne vois pas pourquoi il faut a chaque fois se servir de la dérivée.. je le fais donc mais bêtement. Et poser le problème sous forme d'équation n'est pas non plus donné à chaque fois! Shocked
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MessageSujet: Re: Dérivation.   Sam 6 Mar - 11:38

Bonjour,

Si j'ai bien compris, ton soucis c'est que tu ne vois pas le rapport entre la tangente à une courbe en un point A(a,b) et la notion de nombre dérivée en l'abscisse a, c'est ça? Il ne faut absolument pas rester avec ce genre de queston en effet et surtout essayer autant que faire se peut de ne jamais appliquer les choses bêtement sans en avoir compris le sens ni la démarche car c'est le meilleur moyen de se planter dès que les démarches d'un exercice se complique. Donc essayons d'éclaircir celà.

Et bien essayons de mieux comprendre les choses alors. Pourrais-tu en utilisant le dessin me donner le coefficient directeur de la corde en orange/jaune?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Dérivation.   Sam 6 Mar - 13:53

Si je me souviens bien, c'est le taux de variation entre les deux points de la courbe par lesquels elle passe: f(b) - f(a) / b-a
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MessageSujet: Re: Dérivation.   Sam 6 Mar - 13:58

C'est tout à fait ça! Le coefficient directeur d'une droite c'est la différence des ordonnées de deux points de la droite divisée par la différence de leurs abscisses. Il faut d'ailleurs mieux savoir d'où cela vient et pourquoi c'est cela pour mieux comprendre les choses. Donc si tu as un doute n'hésite pas à le redémontrer ou à me demander des explications.

Maintenant, pourrais-tu en utilisant les points de la courbe d'abscisses a et a+h me donner le coefficient directeur de la courbe orange/jaune?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Dérivation.   Sam 6 Mar - 14:05

Je dois prendre des valeurs sur la courbe?
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MessageSujet: Re: Dérivation.   Sam 6 Mar - 14:13

En fait, je considère que la courbe est la courbe représentative de la fonction F et je cosidère les deux seuls points que tu connaisses de la droite orange c'est à dire celui d'abscisse a et l'autre d'abscisse a+h.

La question est: quelle est le coefficient directeur de cette droite passant par ces deux points là?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Dérivation.   Sam 6 Mar - 14:22

Ici ce serai f(a+h) - f(a) / h, car a+h-a = h.
Peut être ya t'il une manière "d'ouvir" f(a+h)?
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MessageSujet: Re: Dérivation.   Sam 6 Mar - 14:28

C'est tout àfait exact pour la formule du coefficient directeur!

En effet, nous avons bien [F(a+h)-F(a)] /h

Donc ceci est le coefficient de la droite orange. Mais nous savons que la tangente à la courbe n'est autre que la droite limite lorsque h tend vers 0.

Or si je suppose que F est dérivable en a, que vaut le coefficient directeur de la droite orange lorsque h tend vers 0? Le résultat sera donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a par définition de la tangente.

Est-ce que tu commences à comprendre le lien entre nombre dérivée et équation d'une tangente, du coup?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Dérivation.   Sam 6 Mar - 14:45

Qu'appelle tu la droite limite??

Après j'ai: [F(a+h)-F(a)] /h, donc plus h tends vers 0, plus le numérateur tends vers 0, c'est à dire plus le coeficient directeur se rapproche de 0 non?
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MessageSujet: Re: Dérivation.   Sam 6 Mar - 14:56

La droite limite c'est la droite rouge sur le dessin c'est à dire la tangente à la courbe en fait.

Pour répondre à ta deuxième question, c'est incorrecte ce que tu dis. Mais je vais prendre les choses à l'envers peut-être que cela te parlera mieux, pourrais-tu me dire comment tu calculerais F'(a) à l'aide d'une limite justement? Ensuite, essaie de faire le lien avec la question précédente.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Dérivation.   Lun 8 Mar - 10:59

F'(a) = limite + h ??
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MessageSujet: Re: Dérivation.   Lun 8 Mar - 15:01

Bonjour,

Citation :
F'(a) = limite + h ??

Qu'as-tu voulu dire? Je considère une fonction F défini sur un voisinage de a et dérivable en a, comment calcules-tu le nombre dérivée F'(a), c'est ça la question pour l'instant.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Dérivation.   Lun 8 Mar - 15:08

Avec les propriétés des dérivées, c'est à dire que si f:x --> x² f'(x) = 2x
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MessageSujet: Re: Dérivation.   Lun 8 Mar - 15:24

Mais essayons de garder un cadre général pour le coup. Car ta question est totalement généraliste à la base: "Quel lien y a-t-il entre la dérivation et la tangente à une courbe?".

Donc en revenant à la définition, comment calcule-t-on le nombre dérivée d'une fonction F au point d'abscisse a c'est à dire comment calcule-t-on F'(a)?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Dérivation.   Lun 8 Mar - 16:07

Ah! Je calcule en premier le taux d'accroissement:
t= f(a+h) - f(a) / h, et je cherche sa limite lorseque que h tends vers 0 ?
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MessageSujet: Re: Dérivation.   Lun 8 Mar - 17:26

Nickel !!

Bon maintenant le rapport avec la tangente? Alors l'as-tu vu en écrivant le taux d'acroissement? Si ce n'est pas le cas, regarde une nouvelle fois le coefficient directeur de la droite orange/jaune dont la limite lorsque h tendait vers 0 était la tangente à notre courbe.

Alors maintenant, vois-tu le lien crucial qu'il y a entre une tangente et un nombre dérivée?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Dérivation.   Lun 8 Mar - 20:19

Cette limite est représentée par la tangente??
En fait je ne vois pas ce qu'on fait quand on dérive un nombre Shocked
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MessageSujet: Re: Dérivation.   Lun 8 Mar - 21:51

En fait la notion de dérivée est liée à la notion de limite d'une part et d'accroissement d'une fonction d'autre part.

En effet, le nombre dérivée en a de la fonction F n'est autre que la limite du taux d'accroissement de la fonction F au point a c'est à dire la limite lorsque h tend vers 0 de la quantité [F(a+h)-F(a)]/ h.

Ca c'est la définition mathématique des choses. Ensuite, si on veut avoir une définition physique, le nombre dérivée en a del a fonction F n'est autre que la vitesse du mobile en l'abscisse a dont la trajectoire est représenté par la fonction F.

C'est à dire qu'on regarde le graphique de notre fonction F comme si on voyait la trace qu'a laissé un mobile qui se déplace sur une feuille de papier par exemple. Ensuite, on peut mettre un repère sur notre feuille blanche en disant que le coin en bas à gauche n'est autre que lorigine de notre repère et que les côté de la feuille sont respectivement l'axa des abscisse et l'axe des ordonnées de notre repère.

Ainsi, j'ai une feuille avec une courbe de tracée dessus et un repère de défini. Si on suppose que la trajectoire de notr mobile était lisse c'est à dire pas de boucle et pas de trajectoire à la verticale, nous avons bien l'image d'une courbe représentant une fonction qu'on peut appeler F par exemple.

Et la vitesse de notre mobile (ce déplaçant sur notre courbe donc) au point d'abscisse a n'est autre que le nombre dérivée F'(a).

Est-ce que tu comprends mieux les choses sous ce point de vue là?

Maintenant, revenons à la question que tu posais plus haut c'est à dire le rapport entre nombre dérivée et tangente. Pourrais-tu me rappeler maintenant le coefficient directeur de la droite orange qu'on avait calculé il y a un petit moment?

Quel lien y a-t-il entre ce coefficient directeur et notre nombre dérivée F'(a) d'après la définition de F'(a) qu'on a rapelée juste au-dessus?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Dérivation.   Lun 8 Mar - 22:11

Le coef de la droite orange est : f(a+h) - f(a) / h.
Si le nombre dérivé est la limite de ce taux d'accroissement, alors il représente le taux d'accroissement maximum en un point, non? Neutral
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