Moyennes

Bonjour !

J'ai un DM sur les moyennes. Auriez-vous la gentillesse de vérifier si ce que j'ai fait est correct, merci ?
Voici l'énoncé et mes réponses :
Etant donnés deux réels strictement positifs x et y, on définit :
leur moyenne arithmétique m telle que : m=(x+y)/2
leur moyenne géométrique m' telle que : m'=√(xy)
leur moyenne harmonique m" telle que : 2/m"=1/x+1/y
1. Exprimer m" en fonction de x et y.
Je trouve m"=2xy/x+y
b. Que peut-on-dire de m, m", et m' lorsque x=y ?
Je trouve que m=m'=m"(=x=y)
Dans les questions suivantes, on suppose que x<y
2. a. Démontrer que m"<m
Je fais m"-m et je trouve que cette différence est égale à : [-(x-y)²]/2(x+y)
Ceci est négatif donc m"<m
B.Démontrer que m'=v(mm")
J'ai calculé mm".On trouve mm"=xy d'où l'égalité.
3. En utilisant ces résultats démontrer que m"<m'<m
Puis je partir de l'inégalité, passer à la racine carrée ? Comment faire cette question ?
4. Classer par ordre croissant x, y, m, m", m', et m.
Je pense qu'il faut s'aider de la question précédente. qu'en pensez vous ?
Merci d'avance.

Bonjour,

La question 1 est nickel. Mais il faudrait peut-être justifier le fait que x+y est non nul lorsqu'on prend l'inverse pour exprimer m" ce qui est bien le cas vu que x et y sont strictement positif.

La démarche pour la 2)a) est excellente. Il faut en effet, commencer par regarder la différence pour voir si on ne peut pas déduire directement le signe de celle-ci. Et c'est ce qui fonctionne bien ici.

Pour le b), il suffisait de faire le calcul à partir de l'expression de m" calculer dans les questions précédentes.

Pour la question suivante, nous avons déjà fait tout le travail grâce à la question 2). La question 2) était divisée en deux parties où nous avons montré que:

m"<m et m'=√(m*m")

Or dès le début, nous savons de par l'énoncer que m>0, m'>0 et m">0 (car x>0 et y>0 en fait). A partir de là, nous pouvons manipuler comme bon nous semble l'inégalité m"<m.
La conclusion, venant du fait que si une fonction est croissante sur un intervalle alors les images sont rangées dans le même ordre que leurs antécédents c'est à dire:

Si F est croissante sur I, alors a≤b <=> F(a)≤F(b) c'est pas définition de la croissante d'une fonction.
Pour avoir l'inégalité stricte, il suffit de dire que la fonction est strictement croissante ce qui va être le cas dans notre exercice.

Est-ce que cette méthode te semble familière ou l'as-tu au moins déjà vue? Sinon, il va falloir que je fasse un rappel de cours sur la croissance et la décroissance des fonctions (en fait, cela se constate assez bien sur un dessin lorsqu'on dessine la courbe représentant la fonction dans un repère).

Pour la dernière question, elle se déduit de la question 3) en effet.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est pas claire.