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 Les structures

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Nakor



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MessageSujet: Les structures   Lun 15 Fév - 17:43

Bonjour !

Me revoici avec des questions sur les structures (groupes, anneaux et corps, espaces vectoriels). Je suis en train de travailler mon cours et j'aurais sans doute plusieurs questions qui me viendront à l'esprit au cours de ma lecture.

Je me demandais s'il était aberrant de comparer un anneau, et un espace vectoriel ?

Dans un espace vectoriel, il y a bien sur deux ensembles. Mais quand je regarde les définitions, je remarque pas mal de similarités.

Si A est un anneau muni de deux lois + et *, alors (A,+) est un groupe abélien.
Si E est un K-espace vectoriel, + étant la lci (loi de composition interne) et * la lce (externe), alors (E,+) est un groupe abélien.

De plus la loi * est associative, et est distributive par rapport à la loi +.
Et on retrouve l'existence d'un neutre 1 pour la loi *, c'est-à-dire que 1*x = x*1 = x ou dans un cas 1 est un élément de K (je suis pas sur qu'avec la structure d'espace vectoriel on puisse commuter le 1 et le x aussi).

La seule différence c'est que dans l'espace vectoriel, la loi * est une loi de composition externe, elle relie les scalaires aux vecteurs.

Donc voilà, je me demandais si c'était idiot de les comparer, ou si ces deux structures n'étaient vraiment pas comparables.^^

C'est ma première question, mais d'autres viendront sans doute ! Razz
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Les structures   Lun 15 Fév - 18:37

Bonsoir,

Voilà une question plutôt précise en effet. Alors, en fait, le fait que la deuxième loi soit interne dans l'un et externe dans l'autre est fondamentale au niveau de la structure. Ce qui change la nature d'un ensemble ce sont les opérations qu'on peut faire avec ses éléments.

Or dans un espace vectoriel, multiplier deux éléments n'a pas de sens (on ne multiplie pas des vecteurs, on les additionnent et les multiplie par des scalaires).

Ensuite, faire une relation entre les deux peut s'avérer dangereux dans la compréhension. En effet, tu ne vois peut-être pas la subtilité mais lorsqu'on dit que E est un K-espace vectoriel K est un corps qui a donc des propriétés en lui même pour pouvoir définir l'espace vectoriel. Mais on peut aussi définir des A-module où est un un anneau cette fois-ci et cela ressemble fortement à un espace vectoriel mais on perd quelque propriété vu que A est un anneau et non plus un corps.

Par contre, l'analogie pour la loi interne et sa structure de groupe est excellente v qu'il s'agit en effet de la mêem structure vu que dans les deux cas on considère des opérations internes au groupe à l'aide d'une loi tout aussi interne. La différence structurelle se faisant sur la loi externe mais cela change les choses car nous sommes obligé de mettre un corps de base pour pouvoir continuer à travailler dans l'espace vectoriel alors que pour l'anneau, il n'y a pas d'apport extérieur pour pouvoir travailler dedans.

En espérant avoir répondu à ta question de façon le plus clair possible en tout cas.

Bon courage pour la suite de tes révisions!

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Nakor



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MessageSujet: Re: Les structures   Lun 15 Fév - 19:57

Ok.

Sinon, est-ce que un espace vectoriel est toujours commutatif ? Parce que pour l'instant en cours on a vu que des espaces R ou C vectoriels, donc j'ai un peu de mal à me faire à l'idée. Souvent je me représente les ev comme un plan en fait, avec les vecteurs du plan.

Et sinon dans les propriétés qui définissent l'ev, il y a 1.x=x. Mais on a aussi x.1=x, même si la condition 1.x=x est suffisante ? Avec 1 le neutre de K le corps de base.

Edit: oh mon dieu, j'espère que t'es motivé pour les explications parce qu'en lisant mon cours je sens venir une foultitude de questions xD.

Autre question en tombant sur un cours d'internet sur les structures: Soit P une partie de E. <P> veut dire la même chose que Vect(P) ?

Une petite dernière question avant que tu me répondes: c'est quoi le plus "gros" ? Un anneau ou un groupe ? J'aurais tendance à dire le groupe puisque pour avoir un anneau, on rajoute des conditions (une loi supplémentaire, des conditions sur cette loi) mais dans un anneau on peut faire plus de choses vu qu'il y a deux lois, alors du coup je sais pas. =D
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Les structures   Lun 15 Fév - 20:51

Tu ne verra pas de corps non communatif cette année (ni les années suivantes d'ailleurs) et c'est loin d'être très courant. Pour t'en cité un et c'est le seul que je connaisse de nom en totu cas (je ne l'ai pas étudié) il s'agit du corps des Quaternions.

Donc considérer ton corps comme commutatif n'est pas des plus délirant car c'est vraimetn très courant en fait. Il faut vraiment vouloir chercher un corps non commutatif pour en trouver en quelque sorte.

La représentation que tu as des espaces vectoriels n'est pas une mauvaise choses en soi. Cela permet de fixer les choses, le but étant de rester ouvert à la représentation en quelque sorte. Il faut que tout tes plans passe par 0 aussi vu qu'il s'agit d'un espace vectoriel (c'est la différence avec l'affine pour faire le lien entre équation linéaire et équation affine que tu as vu il y a lointemps pour les droites dans un repère).

Alors, je vais me renseigner pour les notation mais pour moi, il y a une différence entre <P> et Vect(P). En effet, Vect(P) est un espace vectoriel engengré par P alors que <P> est une partie de E engendré par P (id, P, P², ...., Pn, ...). Mais j'avoue que cela fait longtemps que j'ai utilisé la notation entre crochait, donc je vais vérifier et je te redis à la rigueur.

Sinon, pour la notation 1*x et non x*1 c'est une question d'habitude. Enfin bon, c'est surtout pour garder une certaine cohérence aussi dansl es notion car on fait agir K sur l'ensemble E et non l'inverse donc on le met à gauche. Mais bon le mettre à droite ne change rien dans notre cas (K=R ou C).

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Les structures   Lun 15 Fév - 21:07

Pour répondre sur groupe et anneau, je ne dirai pas qu'il faille considérer lequel est le plus "gros". En plus dans quelle sens? Dans le sens de l'inclusion? Vu qu'un anneau est aussi un groupe, donc il est inclus et dans dans un sens, un groupe estp lus gros qu'un anneau mais bon. Il faut mieux voir les choses en terme d'utilité et donc de capacité à pouvoir se servir des choses, à la manipuler de façon agréable en quelque sorte.

En gros, il estp lus intérressant de manipuler des rationnelles que des relatifs car il y a plus de possibilité. On gagne en structure et c'est cette notion de structure qui est intéressante en fait. Je n'ai aps dit que manipuler des relatifs était dérisoire (vu tous les problèmes ouverts d'arithmétiques, je serai mauvaise langue) mais je dis que c'est plus difficiles de manipuler les entiers relatifs que les rationnelles de par la structure de leur ensemble tout simplement.

En espérant que cela soit plus clair en tout cas.

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MessageSujet: Re: Les structures   Lun 15 Fév - 21:14

Citation :
En effet, Vect(P) est un espace vectoriel engengré par P alors que <P> est une partie de E engendré par P (id, P, P², ...., Pn, ...). Mais j'avoue que cela fait longtemps que j'ai utilisé la notation entre crochait, donc je vais vérifier et je te redis à la rigueur.

Autant pour moi, la notation <P> est aussi là pour dire qu'il s'agit du sous ensemble formé des combinaison linéaire des éléments de P. Et il y a donc égalité entre <P> et Vect(P). Bon, j'avoue que la notation entre crochet, je l'utilisais plus pour des groupes engendrée par une partie mais bon, la notation existe.

Avec mes excuse donc.

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Nakor



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MessageSujet: Re: Les structures   Mar 16 Fév - 8:53

Blagu'cuicui a écrit:
Sinon, pour la notation 1*x et non x*1 c'est une question d'habitude. Enfin bon, c'est surtout pour garder une certaine cohérence aussi dansl es notion car on fait agir K sur l'ensemble E et non l'inverse donc on le met à gauche. Mais bon le mettre à droite ne change rien dans notre cas (K=R ou C).

Oui mais si jamais K est différent de R ou C ? Par exemple dans la définition des anneaux, ou la loi * n'est pas forcément commutative, on a 1*x = x*1 = x. Alors que dans le cas des ev, il est seulement nécessaire que 1*x = x. Je n'y connais pas encore grand chose, mais il se pourrait que, dans un espace vectoriel, le neutre du corps de base ne commute pas avec tous les vecteurs ? Ou justement est-ce le cas et dans ce cas pas besoin d'écrire 1*x = x*1 = x mais seulement 1*x = x ?

Pour l'histoire de groupes et anneaux, je ne sais pas moi-même ce que j'entendais au sens de "plus gros".^^ J'essaie juste de les comparer en fait. Dans ton exemple, les relatifs sont l'anneau et les rationnels sont le groupe c'est bien ça ? Enfin je sais pas trop, ça dépend de quelles lois on dote ces ensembles. ^^

En fait j'avais posé cette question en lisant la partie sur les applications linéaires dans les espaces vectoriels. L(E) est un anneau pour + et o, mais GL(E) est un groupe pour o. Enfin c'est pas très clair dans ma tête, c'est pour ça que j'essaie de comparer un peu les différentes structures. Dans laquelle c'est le plus facile de travailler, quelles structures rencontre-t-on le plus souvent, etc...

Merci de m'éclairer.
Very Happy
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MessageSujet: Re: Les structures   Mar 16 Fév - 18:05

Bonsoir,

Pour l'histoire des groupes et des anneaux, en fait, j'avais pris Z et Q dans le sens où Z est un anneau mais Q est un corps en fait (tout élément admet un inverse pour la deuxième loi sauf 0 et il a toutes les autres propriétés aussi). Donc en fait, en ajoutant une propriété, on a jouter des éléments qu'il n'y avait pas dans Z pour construire Q. Donc en ce sens l'ensemble Q est plus gros (au sens de l'inclusion) que Z.

Par contre les deux poru leur loi + sont des groupes.

Il faut penser les choses de façon plus pratique je pense. eN effet, pourquoi construisons-nous des ensembles avec des propriétés diverses? Car on ne peut pas tout faire avec l'ensemble des entiers naturels, N.

Il faut mieux se demander pourquoi on construit les choses plutôt que lequel est le plus gros au sens de l'inclusion. Surtout dans ta réflexion. Par exemple, pourquoi avons-nous crée R? Ou C? Quelle est l'intérêt d'un espace vectoriel par rapport à un corps ou un anneau? Je pense qu'il est préférable de comprendre pourquoi nous ajoutons des propriétés ou au contraire affaiblissons celles-ci. Car ainsi, je pense que tu comprendra mieux l'intérêt de l'utilisation de tel ou tel structure d'ensemble. La théorie des ensemble est très vaste, donc il faut mieux la regarder petit à petit je pense.

Sinon, pour revenir sur ton histoire de commutativité pour les espace vectoriel et le corps. Et bien, tous les corps que tu va voir vont être commutatif donc la précision n'est pas nécessaire en effet. Cependant, si le corps s'avère non commutatif, la on fera la distinction d'espace vectoriel à gauche (donc on considère l'action du corps à gauche des éléments de l'ensemble) et l'espace vectoriel à droite (donc on considère l'action du corps sur les éléments de E à droite cette-fois-ci). Donc dans tous les cas, il n'y a pas deux vérification à faire pour définir un espace vectoriel à gauche ou à droite.
Lorsque le corps est commutatif ce qui sera le cas dans la quasi totalité de ta scolarité, il y a égalité entre l'espace vectoriel à gauche et l'espace vectoriel à droite et on parle donc d'espace vectoriel tout court.

Alors pourquoi ne pas le dire? Car cela n'a pas d'intérêt d'une part et d'autre part, les définitions sont surtout là pour être cohérente avec ce que j'ai appelé les A-module c'est à dire les esapce qu'on considère sur un anneau ("espace vectoriel" mais sur un anneau au lieu d'un corps) et là tu vois que cela prend tout son sens car un anneau n'a aucune raison d'être commutatif pour le coup et donc on parlera de A-module à gauche ou à droite (même si pareil pour ceux que tu auras peut-être l'occasion de voir après ta prépas, les anneaux seront coomutatif car la notion de module n'estp as simple ne soit au niveau des quelques différences de manipulation par rapport aux espaces vectoriels qu'il ne sert à rien de tout compliquer).

Enfin, le groupe linéaire muni de la loi de composition des fonction qui est l'ensemble des éléments inversible de L(E) tout simplement est bien un groupe. Mais, là, on constate qu'on a quelque chose de plutôt restrictif par rapport à l'ensemble des applications linéaires quelconque. Et rappelons-le, dire qu'un ensemble est un groupe c'est juste dire qu'il y a un élément neutre pour la loi et que tous les éléments sont inverses pour la loi en question en plusd'être stable pour la loi. C'est donc plus restrictif surtout qu'on a qu'une seule loi ici par rapport à un anneau qui en a deux par exemple. On n'utilise pas les notion en opposition mais plutôt en complémentarité car on a besoin d'un groupe pour faire un anneau mais un anneau permet plus de possibilité qu'un groupe (il y a plsu d'information contenu dans un anneau par rapport à un groupe par exemple).

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Les structures   Sam 20 Fév - 20:25

Citation :
pourquoi avons-nous crée R? Ou C? Quelle est l'intérêt d'un espace vectoriel par rapport à un corps ou un anneau? Je pense qu'il est préférable de comprendre pourquoi nous ajoutons des propriétés ou au contraire affaiblissons celles-ci. Car ainsi, je pense que tu comprendra mieux l'intérêt de l'utilisation de tel ou tel structure d'ensemble.

Oui c'est vrai que ça m'aiderait à comprendre. Mais la théorie des ensembles, le nom me fait penser que c'est compliqué. Razz

Pour l'ensemble Gl(E), je me posais la question puisqu'en général c'est mieux d'avoir des fonctions bijectives (dans les exercices ça permet un certain nombre de trucs).

Merci.
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MessageSujet: Re: Les structures   Dim 21 Fév - 20:16

Bonsoir,

En effe le but est de pouvoir travailler sur des fonction qui sont bijective. Maisl e plus sintéressant c'est qu'on constate qu'ne plus c'est un groupe. Donc on peut carrément travailler dedans de façon intéressante et non à l'aveugle.

Pour C, la construstion vient surtout de la résolution des équation du troisième degré par radicaux. Il nous a fallu intruduire i de fçon à pouvoir finir la résolution d'une équation. Et de même, nous avons étudié la structure pour savoir s'il s'agissait d'un corps tout comme R ou pas par exemple. ET il s'avère qu'il s'agit bien d'un corps qui est dit algébriquement clos par exemple.

Bon courage pour la suite!

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