[PCSI] Espaces vectoriels

Citation :

Soient E=Rⁿ et f un endomorphisme de E vérifiant :

f²=0.5*(f+Id_E) (1)

1) Déterminer les réels a tels que f = a*Id_E, l'homothétie de rapport a, vérifie la relation (1).

On supposera dans toute la suite du problème que f n'est pas une homothétie.

2) Exprimer f³ et f⁴ comme combinaison linéaire de Id_E et f.

3) Montrer que pour tout n dans N, il existe (a_n,b_n) dans R² tels que:

f_n = a_n*f + b_n*id.

On explicitera a₀, a₁, b₀ et b₁ et on exprimera a_n+1 et bn₊₁ en fonction de a_n et b_n

Je rajouterai les questions au fur et à mesure. =D

Alors pour la première question, je remplace f par a*Id dans (1), et j'obtiens a²*Id = ((a+1)/2)*Id.

Je me demandais quel est l'argument qu'il faut donner pour pouvoir simplifier par Id ? C'est évident que les scalaires sont égaux ou il faut le justifier ? Ce que je pensais c'est qu'ici la famille Id est composée d'un seul élément donc les scalaires sont forcément égaux (puisque Id_E est différent du vecteur nul).

1) Je trouve a=-1/2 ou a=1.

2) Je trouve f³= (3/4)*f + (1/4)*Id_E
Et f⁴=(5/8)f+(3/8)*Id_E

En composant par f l'expression précédente et en substituant les expressions des itérées précédentes.

Pour la 3) comment montrer qu'il existe a_n et b_n ? Je vais essayer par récurrence.

Bonjour,

Désolé pour les contre temps mais il y a des exercices qui demandent plus de temps que d'autre et vu que mon temps (je suis dans un hôtel en ce moment en vacance) est plutôt comptée au niveau de la connexion, je palie au mieux.

Alors pour la première question, l'égalité est exacte! La justification pour "simplifier" par id ? Et bien, il suffit de mettre tout du même côté pour se ramener à la fonction nulle ou sinon invoquer le fait que (id) est une famille libre tout simplement (car c'et une fonction non nulle). Donc c'est exactement ce que te proposait ton intuition d'ailleurs .

Pour la résolution de l'équation du second degré c'est exacte!

Pour la suite on suppose donc que a est différent de -1/2 et 1 vu qu'il ne s'agit plus d'une homothétie.

La question 2) est tout aussi excellente!

Enfin, pour la dernière question, il 'agit tout simplement d'expliciter les suites pour montrer qu'elle existe. Pour les deux premiers termes de chaque suite rien de bien compliqué vuqu'on a déjà fait les calculs. Ensuite pour la relation entre deux termes conséquctif, on peut déjà supposer l'existence dans un premier temps puis expliciter la relation de récurrence reliant deux termes consécutifs pour chacune des suites. Ensuite, connaissant la raltion de récurrence ainsi que les premiers termes, nous aurons l'existence en faisant une récurrence tout simplement.

Bon courage!