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 Le produit scalaire

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Roi_Med



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MessageSujet: Le produit scalaire   Ven 5 Mar - 22:14

Comme tout début de chapitre, j'ai besoin de ton aide.. Laughing
On nous a définit le produit scalaire de deux nombre comme étant le nombre résultant du produit de 2 vecteurs.
Nous avons vu quatres techniques permettant de le trouver: et je ne comprends pas celle des projetés othogonnaux.
Pourrait tu me l'expliquer?
Oui si tu vois quelque chose pouvant m'aider à éclaircir la notion Smile
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Le produit scalaire   Sam 6 Mar - 11:35

Bonjour,

Alors je n'aime pas trop cette phrase:
Citation :
le produit scalaire de deux nombre comme étant le nombre résultant du produit de 2 vecteurs

En effet, il n'y a pas de produit de deux vecteurs dans le sens où la plupart des élèves conaissent le mot "produit" issue du produit entre deux nombres. En effet, il s'agit bien d'un produit scalaire car le résultat n'est pas du tout un vecteur mais bien un scalaire c'est à dire un nombre dans R. Le complément "scalaire" vient de là d'ailleurs car lorsqu'on note un produit tout court on s'attend à ce que le résultat soit toujours dans le même ensemble. En effet, le produit de deux nombres réels est encore un nombre réel, de même dans N, Z, D, Q et même C (un ensemble de nombre encore plus "gros" que R que tu verras l'année prochaine Smile). Or ici ce n'est pas le cas car le produit scalaire de deux nombres est dans R et non pas dans l'ensemble des vecteurs. Cela paraît anodin mais lorsqu'on commence à regarder de plus près les ensembles de nombres qu'on manipule et bien cela fait de grosse différence.

Sinon, pour en revenir aux méthodes de calculer le produit scalaire. Il y a donc la définition initiale qui est non démontrable à votre niveau d'ailleurs et qui utilise donc le cosinus de l'angle formé par les deux vecteurs c'est à dire le produit des normes fois le cosinus de l'angle. Ensuite, lorsqu'on a un repère, nous pouvons déduire les coordonnées des vecteurs et c'est la plus simple des méthodes pour le coup, il suffit de multiplier les coordonnées termes à termes (c'est à dire les abscisses ensembles et les ordonnées ensembles) puis d'additionner les deux et enfin pour le calcul direct il reste le calcul via le projeté d'un vecteur sur l'autre. La dernière méthode étant l'utilisation du développement d'une norme au carré normalement.

Donc essayons d'appronfondir ou plutôt de comprendre la méthode de projection orthogonale d'un vecteur sur l'autre. Pour mieux voir les chose, je vais donc considérer un cas particulier où les deux vecteurs ont la même origine comme AB et AC par exemple. Et j'appelle le point H, le projecté ortogonale de C sur (AB). Maintenant regardons ce qui se passe. Tu as du voir que le produit scalaire était distributif par rapport à l'addition de deux vecteurs c'est à dire que u.(v+w)=u.v+u.w. Je vais donc utiliser la relation de Chasles sur le vecteur AC pour faire apparaître le vecteur AH que nous voulons à la fin et je n'ai le droit d'utiliser que la définition du produit scalaire dans cette démonstration (car c'est la seule que je suppose connu et non démontrée):

AB.AC=AB.(AH+HC)

Ainsi: AB.AC=AB.AH+HC.AB

Maintenant, pourrais-tu me dire pourquoi AB.HC est bien égale à 0 pour conclure cette preuve? Car tout repose sur celà.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Le produit scalaire   Sam 6 Mar - 13:44

Je ne vois pas trop comment tu projètes H orthogonalement.
Si leur produit scalaire est égal à 0, c'est qu'ils sont perpendiculaires non? De là à le montrer..
Je vais te dire les formules que nous avons vues pour calculer un produit scalaire:
- u.v = ||AB|| . ||AC|| . Cos (BAC)

-u.v = xx' + yy'

- 1/2 ( ||AB + AC||² - ||AB||² - ||AC||²)

- Les projetés orthogonaux
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Le produit scalaire   Sam 6 Mar - 13:55

En effet, ce sont bien les 4 manières de faire les choses.

Je viens de comprendre ce qui te gênait en fait. Ce n'est pas le calcul via le projeté orthogonale mais le fait de savoir à quoi correspond le projeté orthogonale d'un point sur une droite.

En fait par définition:

Le projeté d'un point A sur la droite (d) est le point H situé sur la droite (d) tel que: (AH)⊥(d)

Est-ce qu'à partir de là, c'est plus clair pour le calcul en lui-même? Le produit scalaire AB.HC est nulle par définition du point H tout simplement.

En passant, je te déconseille fortement d'apprendre la première formule que tu as écrite car il faut mieux l'apprendre comme le cosinus d'un angle orienté c'est à dire:

AB.CD=AB*CD*Cos[(AB,CD)]

L'orientation de l'angle n'a pas d'importance ici car le cosinus est une fonction paire mais il faut mieux considérer cette formule là pour la définition du produit scalaire que la formule avec l'angle géométrique car elle pourrait te poser des soucis si par exemple la seule chose que tu connaisses pas dans un exercice c'est justement l'angle et qu'il faut utiliser des relation de Chasles sur les angles avec les angles géométriques cela sera difficile d'en avoir l'idée.

Enfin, serais-tu démontrer la troisième formule?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Le produit scalaire   Sam 6 Mar - 14:09

C'est bon j'ai compris pour le projeté orthogonal. Very Happy
J'ai un schéma sur mon bouquin qui illustre parfaitement ce que tu as dit, et qui explique que:
-u.v > 0 si les vexteurs sont de même sens
-u.v < 0 si les vecteurs sont de sens contraires
-u.v = 0 si le point B appartient à la perpendiculaire à (OA) passant par O.

Je en comprends pas ce que tu veux dire ici:
L'orientation de l'angle n'a pas d'importance ici car le cosinus est une fonction paire mais il faut mieux considérer cette formule là pour la définition du produit scalaire que la formule avec l'angle géométrique car elle pourrait te poser des soucis si par exemple la seule chose que tu connaisses pas dans un exercice c'est justement l'angle et qu'il faut utiliser des relation de Chasles sur les angles avec les angles géométriques cela sera difficile d'en avoir l'idée.

Peut être les angles orientés permettent ils de ne pas faire d'erreur dans le sens de rotation?
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Roi_Med



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MessageSujet: Re: Le produit scalaire   Sam 6 Mar - 14:12

Pour la démonstration, il me semble l'avoir faite en classe, mais je en saurais pas la refaire, peut être est ce en rapport avec ce que j'ai sous les yeux:
Cherchons une relation entre OA et AB,AC et BC:
et on arrive sur OA² = 1/2 AB² + 1/2 AC² - 1/4 BC²
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Le produit scalaire   Sam 6 Mar - 14:25

Pour les relation que tu donnes sans connaître u et v, je ne saurais pas te dire si ce que tu dis est juste ou pas.

En effet, si u et v ne sont pas colinéaire, dire que "u.v>0 si u et v sont dans le même sens" n'a pas de sens en soi.

Sinon, pour les histoire de notation d'angle. En fait lorsque tu écrit (ABC) pour l'angle B, tu considères un angle géométrique c'est à dire non orienté. Je ne fais pas de diférence dans ma notation entre (BA,BC) et (BC,BA)=-(BA,BC). Or depuis cette année, tu fais normalement la différence entre ces deux angles là car tu as vu la notation d'angle orienté.

Je disais donc qu'il serait souhaitable d'utiliser cette notation là car au moins on sait manipuler plus efficacement la relation de Chasles sur les angles de vecteurs.

Cependant, j'ajoutais le fait que cela n'avais pas d'importance de ne pas faire de distinction entre les deux orientations possibles dans le cas du produit scalaire car tu as la chance que le cosinus soit une fonction qui soit pair c'est à dire que pour tout x Cos(-x)=Cos(x). Ainsi Cos[(BC,BA)]=Cos[-(BA,BC)] tout simplement.

Mais le conseil était d'utiliser de façon plutôt systématique la notation d'angle de vecteur autant ue faire se peut car c'est une notation bien plus commode à manipuler que les angles géométriques tout simplement.

Enfin, pour la démonstration, ne connaissant pas A, B, C et O je ne peux savoir de quoi tu parles. Par contre, la démonstration est en fait simple pour la troisième formule de calcul.

En effet, nous savons que (u+v).(u+v)=||u+v||*||u+v||*Cos(0)=||u+v||² (car l'angle est plat)

Ainsi, que vaut (u+v).(u+v) en utilisant la distribution du produit scalaire sur l'addition? Attention v.u=u.v

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Le produit scalaire   Sam 6 Mar - 14:41

Tu me dis que (u+v).(u+v) = (u+v)² = ||u+v||²

Et ||u+v||² = ||u||² + 2u.v + ||v||².

D'ou (u+v).(u+v) = ||u||² + 2u.v + ||v||².

Après, il me semble que u.v = 1/4 ( ||u+v||² - ||u-v||²)

D'ou (u+v).(u+v) = ||u||² + 1/2 ( ||u+v||² - ||u-v||²) + ||v||².

Une fois là, je ne sais pas trop comment continuer, le départ est il le bon?
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MessageSujet: Re: Le produit scalaire   Sam 6 Mar - 14:54

Le but est de retrouver des façon de calculer le produit scalaire, je considère ici que tu ne connais que les bases c'est à dire la distributivité ainsi que la définition initiale avec le cosinus. On a déjà retrouver le calcul via la projection orthogonale maintenant, on essaie de retrouver celle avec les normes de l'addition. Et ton calcul est juste:

Citation :
(u+v).(u+v) = ||u||² + 2u.v + ||v||².

Et du coup, en isolant le produit scalaire dans cette expression, ne pourrais-tu pas retrouver la troisième façon de calcul que tu proposais par un hasard total Wink.


Sinon, pour cette cinquième façon de faire le calcul:
Citation :
u.v = 1/4 ( ||u+v||² - ||u-v||²)

Nous connaissant le développement de ||u+v||² d'après ce qui précède. Il faudrait svoir ce que vaut: ||u-v||²=(u-v).(u-v) ?

Et en effectuant le calcul, tu risques fort de retomber sur ta formule. Je te laisse faire les calculs si tu les as jamais fait c'est plutôt formateur de manipuler cela un peu.

Tu constates qu'on a pas besoin de connaître beaucoup de chose pour redémontrer trois façon d'effectuer le calcul du produit scalaire en admettant qu'on a la distributivité du produit scalaire sur l'addition ainsi que la définition initiale avec le cosinus. Cela revient surtout à de la manipulation sur les cosinus (savoir que le cosinus d'un angle plat est égale à 1) ainsi que sur la relation de Chasles.

En espérant avoir démistifier un peu cette partie là.

Bon courage pour la suite!

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MessageSujet: Re: Le produit scalaire   Sam 6 Mar - 15:04

Je dois donc isoler u.v ??

(u+v).(u+v) = ||u||² + 2u.v + ||v||².

(u+v).(u+v) - ||v||² - ||u||² = 2u.v
D'ou u.v = 1/2 ((u+v).(u+v) - ||v||² - ||u||²) = (||u+v||² - ||v||² - ||u||²) Smile

Pour ||u-v||², grace aux identités remarquables: ||u||² - 2u.v + ||v||².


Cool
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MessageSujet: Re: Le produit scalaire   Sam 6 Mar - 15:34

Nickel !!

Lorsqu'il y a des démonstration simple autant savoir d'où elles viennent. Car après tout ça ne coûte pasp lus cher de les fait soit même d'une part et d'autre part cela peut aussi aidé à mieux manipuler les objets qu'on utilise dans les exercices aussi. Cela donne un peu plus de sens à ce qu'on fait je trouve pour ma part. Cela donne une meilleur cohérence en quelque sorte.

Bon courage pour la suite!

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MessageSujet: Re: Le produit scalaire   Dim 7 Mar - 19:18

RE bonjour,
tant qu'on est dans les démonstrations, croit tu que je peux comprendre celle de théorème d'Al-Kashi??
Parce que je connait la formule, mais c'est tout. Sad
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MessageSujet: Re: Le produit scalaire   Dim 7 Mar - 20:11

Bonsoir,

Je vois que tu suis les conversation annexe, c'est une bonne chose Wink. La démonstration d'Al-Kashi est tout à fait compréhensible en effet et repose comme tu t'en doutes sur le calcul d'un produit scalaire.

Et tu va te rendre compte que c'est plutôt simple en fait à comprendre. Je considère donc un triangle ABC quelconque tel que AB=c, AC=b et BC=a.

Nous allons essayer de démontrer que a²=b²+c²-2a*b*Cos[(AC,AB)] (bon la notation d'angle vectoriel est un peu pompeuse ici mais c'est pour garder une certaine cohérence maintenant qu'on les connaît).

Maintenant, as-tu des idées pour démarrer la démonstration? On va dire qu'on va partir de gauche pour arriver à l'expression de droite.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Le produit scalaire   Dim 7 Mar - 21:30

On commence donc par prendre BC²??
Je ne vois pas du tout comment partit..
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MessageSujet: Re: Le produit scalaire   Dim 7 Mar - 21:36

Bon, je suis un peu sadique pour le coup car je te laisse dans le vague mais vu qu'il s'agit d'une démonstration le but est de se mettre dans une condition de recherche après tout Smile.

On part donc de BC². Bon maintenant, est-ce qu'il y a un lien entre cette quantité c'est à dire une distance au carré et un produit scalaire? Ensuite, le but est de faire intervenir les deux autre mesure bien entendu, as-tu des idées?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Le produit scalaire   Dim 7 Mar - 21:42

BC² = valeur absolue de BC² = distance BC au carré ??
Ou peut être dois-je partir de BC au carré = BC.BC?

Je viens de trouver un truc, mais je ne pense pas avoir le droit de poser BC² = (BA+AC)²..
Sinon je mets que c'est égal à BA² + 2BA.AC + AC²
=BA² -2AB.AC + AC²

Et il me manque une étape.
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MessageSujet: Re: Le produit scalaire   Dim 7 Mar - 21:54

Alors nous y sommes presque en effet !

L'idée était bien là: BC²= BC.BC et oui le cosinus est bien égale à 1.

Donc en introduisant par relation de Chasles le point A, on a bien: BC²= BA² + 2*BA.AC + AC²

Nous ne sommes donc à a²=c² + 2*BA.AC + b²

Bon maintenant, essayons de travailler sur l'expression BA.AC. Une idée pour te ramener à l'angle qu'on souhaite avoir?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Le produit scalaire   Lun 8 Mar - 9:32

Bah je prendrai: BC² = BA² -2AB.AC + AC²
Mais je ne vois pas comment introduire le cosinus la dedans.. Peut être comme tu le dis avec le produit scalaire de AB et AC?
CE qui ferais AB.AC.Cos[Ac;AB]
D'où BC² = BA² -AB.AC.Cos[(AC,AB)] + AC²

Laughing


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MessageSujet: Re: Le produit scalaire   Lun 8 Mar - 10:17

Bonjour,

C'est excellent! Pour l'angle, on doit respecter l'ordre des vecteurs en fait c'est à dire que l'angle ici c'est (AB,AC) et non l'autre mais ça ne change rien vu que le cosinus est pair comme nous l'avons vu plus haut.

Du coup, tu viens de redémontrer la formule d'Al-Kashi, plutôt puissant comme objet mathématique que la fonction produit scalaire Wink.

Bon courage pour la suite!

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MessageSujet: Re: Le produit scalaire   Lun 8 Mar - 10:32

Bah jespère avoir compris les notions, je fais des exos et je te dit ou je bloque. Laughing
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MessageSujet: Re: Le produit scalaire   

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