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 DM sur les Barycentres

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Alexia



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MessageSujet: DM sur les Barycentres   Mar 30 Mar - 13:53

Bonjour, j'ai un DM à rendre pour Jeudi et un exercice m'a posé problème.
J'ai essayé de le résoudre, je pense avoir trouvé sauf pour la derniere question.

Voici l'énoncé :



Voici mes réponses :

En appliquant le théorème de Thalès dans le triangle AEF, on montre que (BC)//(EF). (j'ai passé cette étape pour être + rapide en écrivant)
En appliquant le théorème de Thalès dans le triangle DBC, on montre que (BC)//(IJ). (de même)
Donc (EF)//(IJ)
Donc E, F, I, J coplanaires

2)a)
E appartient à (AB)
E appartient à (AB)
I appartient à (BD)
K appartient à (AD)
donc E, I et K appartiennent au plan (ADB).
Ils appartiennent aussi au plan (EFIJ).
Donc ils appartiennent à l'intersection de ces 2 plans, qui est une droite.
Donc ils sont alignés.

De même pour F,J,K

b) Je ne sais pas...




Je pense pas que ma méthode est bonne pour les 2 premières vu que c'est un DM sur les barycentres mais que je ne les utilise pas...
Et pour la dernière, pas trouvé.

Voila, en vous remerciant d'avance pour votre aide
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: DM sur les Barycentres   Mar 30 Mar - 17:40

Bonsoir et bienvenue parmi nous Alexia!
J'espère que ce forum te sera utile et que tu aura plaisir à le parcourir.

L'avantage d'un exercice de géométrie c'est bien évidemment de pouvoir s'aider de la figure pour les démonstration (même si on ne prouve rien sur une figure cela peut tout de même donner des idées).

La première question, est juste là pour vérifier si tu connais la définition d'être coplanaire pour 4 points. Et en fait on revient directement à la caractérisation des plans par des droites.

Donc:

- Deux droites parallèles non confondues définissent un plan
- Deux droites sécantes définissent un plan

Et nous avons un autre cas qui permet à 4 points d'être coplanaires c'est d'être aligné tout simplement. Cela ne définit pas un plan mais une droite est toujours continue dans un plan et donc tous les points de la droites sont coplanaires tout simplement.

Ici, on voit vite quelque petites astuces pour s'en sortir et pour savoir vers quoi nous allons nous diriger. En effet, I et J sont définis comme des milieux de segments dans un triangle. On va donc pouvoir utiliser le théorème de la droites de milieux ou la réciproque du théorème de Thalès avec un rapport 1/2 si on veut (le premier est peut-être moins long à rédiger). Et donc déduire du parallélisme.
De plus, E et F sont défini comme barycentre de deux points, il sont donc tous les deux sur deux droites ( (AB) et (AC) respectivement d'ailleurs). ET nous allons donc pouvoir regarder s'il n'y a pas la possibilité d'utiliser la réciproque du théorème de Thalès pour conclure à du parallélisme.

On constate donc qu'on s'oriente vite vers une étude de parallélisme ce que tu as fait en effet. Sinon, une remarque au niveau de la rédaction car deux choses sont assez gênantes sur le fond.

EN effet, le Théorème de Thalès donne des égalités de rapport, c'est sa réciproque qui donne le parallélisme (c'est fourbe comme remarque mais tout de même fondamentale au niveau de la logique car si je suppose A j'ai B mais dès fois l'inverse est faux donc attention).
Et l'autre remarque c'est au niveau des hypothèses car même si tu ne rédiges pas les choses ici bas, fait attention que la réciproque du théorème tout comme le théorème de Thalès s'applique dans deux triangles (c'est l'hypothèse principale) ou si on veut être plus précis, on explicte les deux droites sécantes en un point.

Ces deux remarques paraissent sans doute anecdotique (du type: "pourquoi, il m'emmerde pour des broutilles" Razz) mais s'avère fondamentale dans la compréhension même ou l'utilisation des mathématiques. En effet, les hypothèses d'un théorème sont assez triviaux à expliciter c'est vrai mais autant le faire car un jour ou l'autre tu tombera dans un cas compliqué ou justement, toute la difficulté sera de montrer que les deux droites sont bien sécante en un point (surtout dans l'espace). Donc attention à celà.
Enfin, vu que nous sommes dans l'espace et que le théorème de Thalès tout comme sa réciproque ne s'applique que dans un plan (il n'y a pas de théorème de Thalès dans l'espace), le nec plus ultra serait de citer au début de l'énoncer des hypothèse du théorème: "On se place dans le plan ...." et après seulement on énonce le théorème.
C'est aussi anecdotique mais cela montre un plus au niveau de la compréhension qui sera non négligeable à l'avenir (et faut mieux le travailler maintenant, je pense) que ce soit en maths, en physique-chimie ou en biologie ou même en argumentation/dissertation de français/philo, la rigueur qui est acquise le reste pour la suite et c'est vraiment un plus important je pense.

Une remarque annexe et pas obligatoire pour le coup, dans ta conclusion, tu peux réciter la proposition qui te permet de conclure (mais là c'est vraiment pas obligatoire) c'est à dire que deux droites parallèles non confondus définissent un plan.


Pour la question 2)a), la démarche est tout aussi excellente que pour la première question!
Juste une remarque, un plan est défini par trois points non aligné, donc dire que E, I et K appartiennent à (EIF) suffit pas besoin d'inclure le J.

La seule chose qui manque dans ton argumentation c'est pourquoi les deux plan exhibés ne sont pas confondus? En effet, tu as démontré que E, I et K appartenaient aux plans (ABD) et (EIF) donc à l'intersection mais il manque un argument pour dire qu'ils ne sont pas confondus car sinon, appartenir à l'intersection ne nous servirait pas à conclure.
Est-ce que tu comprends le soucis dans la démarche? C'est presque excellent jusqu'au bout sauf qu'il manque vraiment un argument qui est vraiment évident je le conçois tout à fait mais il est tout de même cruciale car sinon on ne peut pas conclure.

De même pour F, J et K dire qu'ils appartiennent à (EFI) suffit car J appartient au plan (EFI) d'après question 1). ET la conclusion, même remarque, ne pas oublier de dire que les deux plans ne sont pas confondus sinon pas de conclusion possible.

Pour ta remarque finale, tu utilises les barycentre dans ta première question pour avoir accès au rapport de longueur. Donc ce n'est pas si déconnant que cela qu'on parle de barycentres tout de même car on utilise tout de même la définition ou la relation réduite pour avoir accès aux longueurs.

Sinon, pour la dernière question c'est à dire la 2)b). Il faut déjà se mettre dans les condition de l'exercice. nous sommes à la fin d'un exercice et donc, il faut avoir utiliser un maximum des hypothèses et questions de l'exercice.
Nous avons déjà utilisé la définition des barycentres pour E et F dans la question 1). Le fait que (IJKL) forme un plan a été utilisé dans la question 2)a). Nous avons utilisé aussi la définition de I et J dans la question 1). Enfin, nous avons utilisé la définition du point K dans la question 2)a).
En conséquence, toutes les données du texte ont été utilisé au moins une fois sauf les réponses à la question 2)a).
De plus, la question 2) est une question morcelée en deux sous questions. En conclusion, la véritable question était la question 2)b) mais le soucis c'est que de façon brute, elle n'était pas ré-solvable. Du coup, on a jouté une question intermédiaire dans l e but de pouvoir conclure à la question 2)b). Ceci nous conforte donc dans l'idée que les deux résultats démontré dans la question 2)a) sont non négligeable pour faire la question 2)b).

Maintenant qu'on a analysé l'exercice en lui-même essayons de voir ce qu'on cherche à démontrer (on a commencer par faire le bilan des hypothèse puis ensuite le bilan des questions et de la structure du texte et maintenant on passe à la question en elle même pour savoir où on doit aller). On doit donc démontrer que: AK=(3/5)*AD (les vecteurs sont en gras sur le forum)

Cette égalité est en fait la définition de K comme un barycentre de A et de D (c'est l'écriture réduite d'un barycentre). Maintenant, les seules relation vectorielle que nous ayant sont les relations sur les barycentre E et F. ET nous avons aussi l'alignement des point E,I,K et F,J,K.

Est-ce que tu vois une idée à l'horizon à partir de là?

Bon courage et surtout n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est pas claire dans ce que j'ai dit ou non!

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Alexia



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MessageSujet: Re: DM sur les Barycentres   Mar 30 Mar - 18:02

Merci beaucoup pour cette réponse très très complète ! Very Happy

J'espere avoir le temps d'y réfléchir dès ce soir, .je posterais sinon une réponse demain (mercredi aprem, tout le temps pour moi de me creuser les méninges ^^)
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: DM sur les Barycentres   Mar 30 Mar - 23:30

Une indication au cas où pour la dernière question. Car j'ai laisser plané un peu le doute sur l'utilisation des relation vectoriel utilisant E et F mais nous avons déjà déduit beaucoup de chose dans la question 1) sur celà.

Indication: Deux alignements de trois points dont un commun (question 2)a)), cela devrait te mettre sur la voie de la démarche à suivre.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions!

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MessageSujet: Re: DM sur les Barycentres   Mer 31 Mar - 15:06

Donc je viens de retravailler l'exercice et j'ai changé un peu ma méthode pour le résoudre.
Merci de me dire si c'est correct et de me proposer une meilleur rédaction si la mienne est incorrecte, notre professeur est très stricte sur ce point !

1)
I milieu de [BD] donc IB+ID=0
J milieu de [CD] donc JC+JD=0

E barycentre de (A,-2),(B,3) donc -2EA+3EB=0
F barycentre de (A,-2),(C,3) donc -2FA+3FC=0

-2EA+3EB=0 donc EA+3AB=0 donc AE=3AB
-2FA+3FC=0 donc FA+3AC=0 donc AF=3AC
EF=AF-AE=3(AC-AB)=3BC

IB+ID=0 donc 2AI=AB+AD donc AI=(1/2)AB+(1/2)AD
JC+JD=0 donc AJ=(1/2)AC+(1/2)AD
IJ=AJ-AI=(1/2)(AC-AB)=(1/2)BC
donc EF=6IJ
donc les deux droites (EF) et (IJ) sont parallèles
donc les quatre points E,F, I et J sont coplanaires

2)Soit (A,AB,AC,AD) un repere cartésien
dans ce repère on a
E(3,0,0) ; car AE=3AB
F(0,3,0) ; car AF=3AC
I(1/2;0;1/2)
J(0;1/2;1/2)
a)
le plan (EFI) est défini par (E,EF,EI)
EF=(-3;3;0)
EI=(-5/2;0;1/2)
AM(x;y;z) donc EM=(x-3;y;z)
M appartient au plan (EFI) si et seulement si (EM;EF;EI)=0
après calcul l' équation cartésienne du plan (EFI) dans (A;AB;Ac;AD) est : x+y+5z-3=0
AD coupe (EFI) en K si et seulement si K(0;0;z) et K appartient à (EFI) donc z=3/5
et
K(0;0;3/5)
EK=(-3;0;3/5)
EI=(-5/2;0;1/2)
donc
EK=(6/5)[b]EI
donc les trois points E;K et I sont alignés
De la meme manière on montre que F, J et K sont alignés

b) en question a) nous avons trouvé que K a pour coordonnée dans (A,AB,AC,Ad) (0;0;3/5)
donc
AK=(0;0;3/5)
=(3/5)(0;0;1)
=(3/5)AD


Citation :
après calcul l' équation cartésienne du plan (EFI) dans (A;AB;Ac;AD) est : x+y+5z-3=0

Pour cette petite étape j'avoue avoir utilisé un logiciel me donnant directement la réponse, ayant oublié comment faire.
Serait-il possible de m'écrire les étapes ? si ce n'est pas trop demandé ^^


Voila en espérant avoir une réponse aujourd'hui sachant que je dois rendre mon travail demain.
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: DM sur les Barycentres   Jeu 1 Avr - 0:23

Bonsoir,

La première réponse est très bien détaillée. Juste avant de conclure, tu peux dire que EF et IJ sont colinéaire ce qui implique que les deux droites sont parallèles. Car c'est totu de même la propriété de colinéarité qui fait marcher tout ton raisonnement en tout cas.

Par contre simple remarque:

Citation :
-2EA+3EB=0 donc EA+3AB=0 donc AE=3AB

Ce qui n'est pas en gras est pourtant une égalité vectorielle car c'est bien: EA+3*AB=0 qu'on obtient par relation de Chasles sur le vecteur EB. Mais je pense qu'il s'agit d'un oubli de recopie sur le forum tout simplement.

Par contre pour la question 2), tu as cherché beaucoup trop compliqué car ta première méthode dans ton premier message est tout à fait juste c'était juste un problème de rigueur en fait et non un problème de démarche qu'il y avait (tu écrivais théorème de Thalès au lieu de reciproque tu théorème de Thalès et tu oubliais l'hypotèse d'alignement des point tout simplement).

Mais prenons ta nouvelle méthode si tu veux. Tu as bien défini le repère. Par contre, il faudrait peut-être justifier qu'il s'agit bien d'un repère c'est à dire quel es vecteurs considérés ne sont pas colinéaires mais ça on l'a car ABCD est un tétraèdre donc les 4 points sont non coplanaires et non confondus ce qui permet ici de conclure.

De même, il faut rappeler ici:

Citation :
le plan (EFI) est défini par (E,EF,EI)

que E, I et J sont copléanaire non aligné et donc forment un plan sinon, le repère n'a pas de sens et cela est donné par la question 1). après au niveau de la rédaction, il faut mieux dire "On considère M(x,y,z) un point de l'esapce" au lieu de considérer un vecteur c'est plus simple.

Je ne comprend pas cette équivalence par contre:

Citation :
M appartient au plan (EFI) si et seulement si (EM;EF;EI)=0

Il s'agit du produit mixte? En gros l'idée c'est de dire que vu que EI et EF sont deux vecteurs non colinéaire du plan, ils caractérisent donc le plan (il s'agit en fait d'une base pour donner le véritable vocabulaire). Donc il existe deux réel p et q tel que EM=p*EI+q*EF

Cela nous donne un système de trois équation à deux inconnues qui sont p et q vu que toutes les autres sont des paramètre (a,y et z sont fixé ici vu qu'on cehrche la relation que ses trois variables doit vérifier pour qu'un point appartienne au plan). Et ainsi, on retrouve bien l'équation du plan.

Tu ne peux pas écrire "de même" sans rien ajouter pour l'autre partie de la question car il ne s'agit pas de la même égalité vectorielle à la fin du calcul. Il faut donc l'expliciter sans refaire les calculs de l'équation du pla et du reste mais il faut tout de même expliciter l'égalité vectorielle opur pouvoir conclure.

Le point K étant caractériser, la dernière question tombe toute seule en fait et sans se servir de la question 2)a) en fait car le résultat ne nous serre pas du coup.


Tu as donc trouvé un moyen de répondreà toutes les questions de la question 2) sans suivre l'idée de l'exercice qui n'est autre que d'utiliser la réciproque du théorème de Thalès ains ique le théorème de Thalès pour la dernière question. Mais cela abouti et sans faire de contre sens (on répond aux questions dans l'ordre). Donc aucun soucis c'est nickel si tu justifies bien les choses en fait.

Sinon, nous pourrons reprendre ta première intuition si tu le souhaite car elle aboutissait bien et je pense que cela peut être intéressant à regarder.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: DM sur les Barycentres   Aujourd'hui à 19:07

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