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 Calculer angles et aire avec les relations d'Al-Kashi

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Emel-ii-nee



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MessageSujet: Calculer angles et aire avec les relations d'Al-Kashi   Mer 31 Mar - 15:08

Bonjour à tous.
Je rencontre un nouveau problème lors de la résolution d'un exercice.
Voilà l'énoncé :

ABC est un triangle tel que : AB = 7 ; BC = 8 et AC = 10.
1°) Calculer les angles du triangle ABC. (On donnera des valeurs approchées à 1 décimale.)
2°) Calculer l'aire du triangle ABC.


Le théorème d'Al-Kashi dit que..

*- a² = b² + c² - 2bc cos A
*- b² = a² + c² - 2ac cos B
*- c² = a² + b² - 2ab cos C


Je suis pourtant persuadée que cet exercice n'est pas si difficile que ça, mais je ne sais ni comment débuter, ni comment m'y prendre..

Merci d'avance.
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Alexia



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MessageSujet: Re: Calculer angles et aire avec les relations d'Al-Kashi   Mer 31 Mar - 16:12

C'est une simple application du cours ^^
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Emel-ii-nee



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MessageSujet: Re: Calculer angles et aire avec les relations d'Al-Kashi   Mer 31 Mar - 17:46

Donc si j'ai bien compris :

1°) Sachant que a² = b² + c² - 2bc cos A
On a 7² = 8² + 10² - 2(8*10) * cos A
d'où cos A = (8² + 10² - 7²) / (2*8*10) = 0.72
Donc A = 43,9 °

??

Est-ce bien cette démarche qu'il faut suivre ?
Si c'est la bonne démarche, je ferais la même chose avec les angles B et C dans ce cas.

Merci.
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Calculer angles et aire avec les relations d'Al-Kashi   Jeu 1 Avr - 0:39

Bonsoir,

Dans un premier temps, il faut mieux vérifier que le triangle n'est pas rectangle. En effet, si il était rectangle nous aurions des moyen assez simple pour calculer les cosinus et sinus des angles vu qu'on connaît les formules de cosinus et de sinus dans un triangle rectangle (sohcahtoa par exemple).

Donc ici, ce n'est pas le cas en effet, il va donc falloire faire appelle au formules d'Al-Kashi qui sont des formules mettant enrelation les trois distances du triangles (qu'on possède dans l'énocner) et le cosinus d'un des angles.

A partir de là, tout découle des formules vu que dans chaque formule on peut isoler le cosinus de l'angle et ainsi déduire les valeurs possibles de l'angle.

Par contre attention pour un cosinus donné, il y a toujours deux valeurs d'angles possibles lorsqu'on est entre 0 et 2*Pi (entre 0° et 360°). En effet, si Cos(A)=1/2 alors A=Pi/3 ou A=5Pi/3. Mais ici, nous sommes en train de calculer les angles d'un triangle et par conséquent, les angles sont compris entre 0 et Pi (c'est à dire entre 0° et 180°). Il y a donc pour une valeur donné du cosinus qu'une unique valeur possible pour l'angle correspondant. ET c'est bien celle donnée par ta calculatrice lorsque tu utilises la fonction Cos-1.

En espérant que la démarche ainsi que les arguments permettant sa mise en place soient plus claires maintenant. Sinon, n'hésite pas à poser tes questions.

Pour le calcul d'aire, il y a une formule mais je ne sais pas si tu l'as déjà vu (et démontrée). Sinon, nous verrons comment la retrouver au cas où.

Bon courage!

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Emel-ii-nee



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MessageSujet: Re: Calculer angles et aire avec les relations d'Al-Kashi   Jeu 1 Avr - 14:53

J’ai commencé la question, et je pense avoir trouvé la solution, mais je ne suis pas sûr du tout…

En utilisant la formule de Heron d'Alexandrie, on peut calculer l’aire d’un triangle en connaissant la longueur de ses cotés, sans utiliser la hauteur.
Soit, dans un triangle quelconque ayant pour longueurs des cotés a, b et c.
Avec le demi-périmètre, p = (a+b+c)/2
Et Aire = racine de [p (p-a) (p-b) (p-c)]
Dans notre cas, p = (7+8+10) / 2 = 25/2 soit 12,5
Et Aire = racine de [12,5 (12,5-7) (12,5-8) (12,5-10)]
Aire = 12,5 * 5,5 * 4,5 * 2,5 = 773


Mais je trouve ce résultat un peu bizarre.

En cherchant un peu sur internet, j’ai trouvé que :

- Si on connait la base et la hauteur, on utilise: Aire = (base*hauteur)/2
- Si on connait la longueur de deux côtés du triangle et la mesure de l'angle adjacent à ses deux côtés, on utilise : S = 1/2ab * sinC = 1/2bc * sinA = 1/2ca * sinB
- Si on connait la longueur d'un côté et les mesures de ses deux angles adjacents, on utilise : S = (a² * sinB * sinC) / (2 * sin (B+C))
- Enfi, si on connait les trois longueurs du triangle, on utilise : S = racine de [p (p-a) (p-b) (p-c)] ; avec p le demi-périmètre (c'est-à-dire 2p = a + b +c)



Je ne sais vraiment pas comment m'y prendre pour cette question.. Sad
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Calculer angles et aire avec les relations d'Al-Kashi   Jeu 1 Avr - 15:06

Bonjour,

Très très très très gros triangle en effet. Une aire d'environ 773 m² en considérant les destance en m, c'est tout de même énorme en effet Wink. Maisalors où est l'erreur vu que la formule est bonne?

Mmmmm, et bien je dirai une faute d'étourderie. Attention les yeux:

Formule de Héron: Aire = racine de [p (p-a) (p-b) (p-c)]

Je pense que ça serait tout de même plus cohérent ainsi, non? Wink.

Sinon, la formule avec les sinus aurait été pas intéressante aussi car plus cohérente avec la question d'avant (vu qu'on calculait les angles) mais bon si tu ne l'as pas vu cela ne sert à rien de l'utiliser.

Par contre, si tu le souhaites, on peut regarder comment la démontrer. D'ailleurs est-ce qu'on t'as démontrée la formule de Héron d'Alexandrie que tu utilises? On peut regarder d'où elle vient si tu le souhaites aussi.

Bon courage pour la suite!

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Emel-ii-nee



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MessageSujet: Re: Calculer angles et aire avec les relations d'Al-Kashi   Jeu 1 Avr - 15:23

J'ai vue la formule de Héron d'Alexandrie au collège il me semble.
Désolée pour la faute d'inatention.
Cela donne :
Aire = 27,8. (Beaucoup mieux ! ^^)

Je préfère utilisé cette formule, elle est plus simple, et je suis plus à l'aise avec.
Mais cela ne me dérange pas du tout de démontrer l'autre, car j'en aurais surement besoin et je vais surement m'en servir un jour ou l'autre.

Merci beaucoup.
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Emel-ii-nee



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MessageSujet: Re: Calculer angles et aire avec les relations d'Al-Kashi   Jeu 1 Avr - 15:25

Mais, est-ce que je dois, pour cet exercice, représenter la figure sur ma copie ?
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Emel-ii-nee



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MessageSujet: Re: Calculer angles et aire avec les relations d'Al-Kashi   Jeu 1 Avr - 15:31

Et comment sait-on que c'est ne m² ? pourquoi pas en cm² ? Question ^^
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Calculer angles et aire avec les relations d'Al-Kashi   Jeu 1 Avr - 15:38

Alors la question, n'est pas posé mais il est toujours préférable même pour toi de représenter la figure sur ta copie directement. L'avantage c'est qu'ainsi, tu pourras voir si les angles trouvés sont cohérent ou pas avec la figure (même si la figure n'est sans doute pas exacte à 100%, s'il y a un écart de plus de 2° c'est qu'il y a un problème dans les calculs ou dans la figure Wink).

Pour les m² c'est moi qui est pris cette unité là car dans ton exercice, il n'y a pas d'unité de longueur. Le but était de te montrer qu'en effet la valeur trouvée était vraiment aberrante pour ton aire vu qu'il est facile de visualiser je pense un triangle doncl es côté font 7, 8 et 10 mètres. Mais dans l'exercice, aucune unité à mettre en fin de calcul. Le but étant juste de faire des calculs ici de façon déconnectée de la réalité (il n'y a pas de modélisation du réel dans cette exercice si tu veux donc mettre des unité n'a pas d'intérêt en soi sauf si on cherche à se convaincre de certains résultats).

Pour la formule du calcul d'aire avec les sinus, elle n'est en fait pas exigible mais assez simple à retrouver tout de même, donc essayons de regarder les choses.

La seule chose qu'on connaît c'est la définition de l'aire d'un triangel c'est à dire A=(base*hateur)/2.

Pour formaliser un peu les choses, on va poser a=BC, b=AC et c=AB. Et je vais considérer ici que la base c'est a=BC.

Je trace donc la hauteur issue de A coupant (BC) en H. Et je pose h=AH (la longueur de ma hauteur).

Ainsi, je peux dire que mon aire s'écrit: A=(a*h)/2.

Et on constate que par rapport à la formule qu'on cherhe à montrer, nous en sommes pas si loin. Il faudrait juste expliciter la valeur de h en fonction des autres valeurs du traingles et des angles.

Or que peux-t-on dire du triangle AHC?
E déduire la valeur de h en fonction du sinus de l'angle C.
Conclure pour la formule.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Calculer angles et aire avec les relations d'Al-Kashi   

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