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 Distance d’un point à une droite.

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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Distance d’un point à une droite.   Sam 10 Avr - 12:40

Bonjour,

C'est excellent tout ça!

Juste peut-être préciser que d=AH pour être précis mais sinon tout est bien justifié, rien à redire Smile.

Bon courage pour la suite!

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Emel-ii-nee



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MessageSujet: Re: Distance d’un point à une droite.   Sam 10 Avr - 13:59

Merci beaucoup!
Pourriez vous également me guider pour celle-ci ?

Emel-ii-ne_ a écrit:
- Applications numériques
Le plan est muni d’un repère orthonormal.
a) Déterminer la distance du point A(5 ;6) à la droite d’équation 3x + y + 1 = 0.
b) Dans le triangle EFG, avec E(2 ;0), F(-1 ;1) et G(3 ;4), déterminer la longueur de la hauteur issue de E, puis l’aire de ce triangle.

Merci d'avance! Smile
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Distance d’un point à une droite.   Sam 10 Avr - 14:06

La réponse est contenue dans le titre:

Citation :
- Applications numériques

Il s'agit donc d'une application de ce qu'on vient de démontrer. Et le "numérique" est juste là pour dire qu'on va appliquer notre démonstration au cas réel.

Par conséquent: quelles hypothèses avons-nous besoin pour appliquer ce qu'on a démontré juste avant?

Bon courage!

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Emel-ii-nee



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MessageSujet: Re: Distance d’un point à une droite.   Sam 10 Avr - 15:03

Voici ce que j'ai fais :

a) Vu l'équation de D, "n" a pour coordonnées (3;1)
Soit ||"n"|| = √(x²+y²) = √10.
On a A(5;6). On choisit un point B sur D tel que B(0;-1)
Ainsi, AB = √(xB-xA)² + (yB-yA)² = √25+49 = √74.
D'où d = (| « BA ». « n »|) / || « n »|| =
?

Je reste bloquée pour la suite.. :S
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Distance d’un point à une droite.   Sam 10 Avr - 16:12

Alors toute la démarche est bonne.

On a bien un point sur la droite ainsi que le vecteur normal à la droite (D). Tu as bien calculer la norme du vecteur normal (c'est pas elle qu'on doit diviser la valeur absolue du produit scalaire donc il nous fallait bien cette donner).

Par contre pourquoi avoir calculer la distance AB?

Que nous manque-t-il pour calculer d? On a A, on a B, on a n. Donc il nous manque rien mis à part le calcul de d d'après la formule qu'on a démontré juste au-dessus qui est comme tu l'as écrit:

D'où d = (|BA.n|) / ||n||

Tu as trouvé ||n||=√10 ce qui est juste en effet. Maintenant que faut-il calculer pour conclure?

En fait, tu manques de recule j'ai l'impression. En effet, tu donnes l'impression de vouloir à tout prix faire des calculs. Je sais que c'est rassurant de voir des calculs fait et de manière tout à fait juste en plus (la distance AB est excellente mais hélas ne sert à rien ici et du coup) mais le soucis en fait c'est que tu te convainc pour le coup d'avancer alors qu'en fait tu t'éparpille dans les calculs faisable mais annexe à l'exercice.

après je peux totalement me tromper mais je pense que tu souhaites conclure trop rapidement et du coup tu sautes sur les calculs faisables à partir des données. Le soucis c'est qu'avec ce genre de méthode, tu risque de t'épuiser d'une part voire même de te dégoûter de maths. Pourquoi? Car c'est assez frustrant de faire des calculs et pour se dire en fin de compte "merde en fait ça sert à rien et j'ai pourtant fait deux pages de calculs justes". C'est énervant de voir mis à mal un travail qui est juste même s'il s'avère inutile pour l'exercice.

Bon le but, serait de savoir comment éviter de tomber dans cette écueil. En fait, il y a plusieurs manières de faire, j'en vois pour ma part deux.

La première c'est de prendre du recule par rapport à l'exercice c'est à dire de se mettre dans le schéma de réflexion:
1) Qu'est-ce que j'ai?
2) Qu'est-ce que je connais dans mon cours ou dans les questions précédentes qui utilise ce que j'ai?
3) Comment faire le lien avec ce que je cherche?

Le désavantage de cette réflexion là? C'est quelle demande beaucoup de temps pour l'acquérir. En effet, il faut sur tous les exercices sans exception se poser ces questions là pour qu'au bout d'un moment on finisse par entrevoir enfin les logiques internes des exercices. C'est à dire savoir pourquoi telle questions est posé là et pas ailleurs ou encore savoir quelle question va suivre la question que je suis en train de résoudre. Mais comme tu le constates le gros avantage c'est de pouvoir anticiper les questions et surtout mieux comprendre les exercices. Donc sur la durée c'est tout à fait payant même si cela coûte dans l'effort de la mise en place.


La deuxième méthode que je vois est un intermédiaire à partir de ton fonctionnement. En effet, aujourd'hui, tu fonces tête baissée et advienne que pourra. En gros "pourvu que j'arrive au résultat à partir de mes calculs". Alors le but ça serait de prendre 30s à chaque fois que tu entames un calcul pour te poser cette question là: "Pourquoi j'effectue ce calcul?" ou encore "Pourquoi je démontre telle chose?".

L'avantage de cela? C'est que tu vas t'apercevoir très rapidement que ça t'évite de démarrer un calcul inutile car tu ne sais pas à quoi cela va servir ou encore qu'avec lui tu ne peux pas aboutir.

Je prends l'exemple de ton dernier calcul. Tu calcules donc la distance AB. Cette distance n'apparaît pas dans la formule permettant le calcul de d. Donc pourquoi j'effectue ce calcul?
Réponse: J'effectue ce calcul car je sait quel e produit scalaire de BA avec n demande le calcul de distance dans sa définition basique. En effet, BA.n=BA*||n||*Cos[(BA,n)].

Mais, attention si j'utilise cette définition là, il va me falloir le cosinus d'un angle. Est-ce que je connais l'angle en question?
Réponse: non!

Conclusion, cette définition n'est pas utilisable ici. Donc je n'ai pas encore besoin de calcul la distance AB.


On a l'impression quand je l'écris que ça prend un temps fou comme réflexion mais pas du tout car quand tu fais cette réflexion, tu n'as pas besoin de tout écrire au brouillon et la simple réflexion de pensée suffit et donc on gagne du temps car faire les calculs d'élever au carré puis de prendre la racine carrée et enfin de simplifier la racine carrée pour s'apercevoir qu'au bout du compte, je suis toujours coincé c'est long d'une part et très frustrant d'autre part.
Il n'y a pas de méthode miracle mais, je pense qu'on peut améliorer sa réflexion et ses démarches dans les exercices en essayant de ne pas foncer tête baissée sur tout ce qui est faisable mais seulement foncer dans tout ce qui est utile pour la question.

Est-ce que cela te paraît plus claire? Voire même plus abordable du coup?

Bon courage!

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Emel-ii-nee



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MessageSujet: Re: Distance d’un point à une droite.   Sam 10 Avr - 18:15

a) Vu l'équation de D, "n" a pour coordonnées (3;1)
Soit ||"n"|| = √(x²+y²) = √10.
On a A(5;6). On choisit un point B sur D tel que B(0;-1)
Ainsi, "BA"."n" = (5-0)*3 + (6-(-1))*1 = 15+7 = 22
D'où d = (| « BA ». « n »|) / || « n »||
d ) |22| / √10 = (22√10)/10 = (11√10)/5


Very Happy

Mais pour la b), pourriez vous me donner une piste s'il vous plait .. Smile
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Distance d’un point à une droite.   Sam 10 Avr - 18:50

Nickel pour la question a)!

Pour la question b), as-tu des idées avant même de commencer un seul calcul juste en regardant la question quelles caractéristiques as-tu entre les mains d'après l'énoncer de la question?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Distance d’un point à une droite.   Sam 10 Avr - 19:34

Voici un début de réponse pour la b) :

0n détermine l'équation de la droite (FG)
On a F(-1;1) et G(3;4)
On sait que y = ax + b, soit

{ -1a + b = 1
{ 3a + b = 4

{ b = 1-1a
{ 3a + 1-1a = 4

{ b = 1-1a
{ 2a = 3 soit a = 3/2.

Donc b = 1-1*(3/2) = 1-(3/2) = -1/2
d'où y = 3/2x - 1/2

Ensuite, soit H le projeté orthogonal de E sur (FG).
EH (qu'on peut également appeller d) est la distance du point E à la droite (FG).

soit, vu l'équation de (FG), "n" a pour coordonnées (3/2;1/2)
Soit ||"n"|| = √(x²+y²) = √5/2.

...

Je pense que je suis entrain de me tromper dans ma démarche..
Qu'en pensez vous ?

Ensuite, pour l'aire on a : (EFG) = (EH*FG) / 2


J'attend votre avis avant de poursuivre.. :/
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MessageSujet: Re: Distance d’un point à une droite.   Sam 10 Avr - 19:58

Ouuuups! Pardon..

{ -1a + b = 1
{ 3a + b = 4

{ b = 1+a
{ 3a + 1+a = 4

{ b = 1+a
{ 4a = 3 soit a = 3/4.

Donc b = 1+(3/4) = 7/4
d'où y = 3/4x + 7/4
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MessageSujet: Re: Distance d’un point à une droite.   Sam 10 Avr - 21:05

Moins je pose de questions et plus tu deviens juste dans tes raisonnements. Comme quoi, tu commences à voir de mieux en mieux les enchaînements, j'ai l'impression.

Fais-toi confiance maintenant. La démarche est bonne et tu as même rectifié ton erreur de signe.
Il faudrait par contre au niveau de la rédaction ajouter le fait que EH est bien la hauteur issue de E dans le triangle (par définition d'une hauteur). Cela doit figurer quelque part pour justement montrer que ta démarche n'est pas dénuée de sens justement.

Donc la distance à trouver est bien celle de EH qui n'est autre en effet que la distance du point E à la droite (FG). Il ne reste plus qu'à finir les calculs du coup.

Pour l'aire, dès qu'on connaît la valeur d'une des hauteurs c'est en effet fini en utilisant le calcul de l'aire d'un triangle tout simplement.

Bon courage et n'hésite pas si des questions persistent à les poser surtout!

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MessageSujet: Re: Distance d’un point à une droite.   Sam 10 Avr - 21:30

Soit, vu l'équation de (FG), "n" a pour coordonnées (3/2;1/2)
Soit ||"n"|| = √(x²+y²) = √5/2.

On a F(-1;1) et G(3;4)
Ainsi, "FG"."n" = (-1-3)*3/2 + (1-4)*1/2 = -4*3/2 + (-3)*1/2 = (-12/2) + (-3/2) = -15/2 = -7,5.

d'où d = (|"FG"."n"|)/||"n"| = |-7,5| / √5/2 (Comment simplifier ça ? :S)
Ainsi, on aura la longueur de la haute issue de E.

Puis, pour l'aire :

(EFG) = (EH*FG) / 2 = ?
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MessageSujet: Re: Distance d’un point à une droite.   Sam 10 Avr - 22:31

Par contre là, tu manque de concentration:

Citation :
d'où y = 3/4x + 7/4

J'ai l'impression que ton vecteur normal n'est pas le bon. Sinon, la méthode était juste. Par contre laisse les réponses sont forme fractionnaire c'est plus facile à simplifier par la suite.

Je te laisse reprendre les calculs.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Distance d’un point à une droite.   Dim 11 Avr - 13:59

Soit, vu l'équation de (FG), "n" a pour coordonnées (3/4;7/4)
Soit ||"n"|| = √(x²+y²) = √(29/8).

On a F(-1;1) et G(3;4)
Ainsi, "FG"."n" = (-1-3)*3/4 + (1-4)*7/4 = -4*3/4 + (-3)*7/4 = (-12/4) + (-21/4) = -33/4

d'où d = (|"FG"."n"|)/||"n"| = |-33/4| / √29/8 = |-33/4| * 8/√29= |-33*4*2|/4*√29 = |-66/√29| = |-66√29|/29

? Smile
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MessageSujet: Re: Distance d’un point à une droite.   Dim 11 Avr - 14:13

Bonjour,

Ceci est un joli réflexe:

Citation :
Soit, vu l'équation de (FG), "n" a pour coordonnées (3/4;7/4)

Mais t'es-tu posé la question: "comment trouve-t-on les coordonnées d'un vecteur normal à partir de l'équation?" avant de répondre à la question? Je ne pense pas au vu de la réponse Wink.

En effet, tu as répondu en routine:

Citation :
Lorsque l'équation est de la forme a*x+b*y+c=0 alors le vecteur normal à pour coordonnée (a;b).

Apprendre par cœur les résultats cela peut faire gagner du temps mais attention aux pièges du par cœur la preuve ici. Es-tu dans la bonne configuration pour avoir accès aux coordonnées du vecteur normal?

Je te laisse reprendre les calculs.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Distance d’un point à une droite.   Dim 11 Avr - 14:32

Je ne vois pas d'autres manière de déterminer les coordonnées d'un vecteur normal avec l'équation d'une droite.. :S
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MessageSujet: Re: Distance d’un point à une droite.   Dim 11 Avr - 14:34

En effet, même quand je recherche sur internet, on ne me parle que de cette méthode..

Citation :
Lorsque l'équation est de la forme a*x+b*y+c=0 alors le vecteur normal à pour coordonnée (a;b).

confused
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MessageSujet: Re: Distance d’un point à une droite.   Dim 11 Avr - 14:37

La méthode que tu trouves est juste mais l'as-tu comprise?

Quelle est l'équation de la droite (FG)? Est-elle sous la bonne forme pour conclure?

Attention au démarche toute faite! Ce n'est pas parce que je te donne une allumette et une bougie que tu vas pouvoir allumer la bougie car encore faut-il pouvoir craquer l'allumette Smile.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Distance d’un point à une droite.   Dim 11 Avr - 18:05

L'équation trouvée pour la droite pourrait encore s'écrire : 3x-4y+7=0 ?
Donc les coordonnées du vecteur normal sont (3;-4)

Soit, en reprenant ma démarche...

Soit ||"n"|| = √(x²+y²) = 5.

On a F(-1;1) et G(3;4)
Ainsi, "FG"."n" = (-1-3)*3 + (1-4)*-4 = -4*3 + (-3)*-4 = -12 + 12 = 0

d'où d = (|"FG"."n"|)/||"n"| = |0| / 5 = 0 ?
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MessageSujet: Re: Distance d’un point à une droite.   Dim 11 Avr - 18:39

Pardon, ce n'est pas "FG"."n" qu'il faut calculer mais "EF"."n" puisque c'est la distance de E à la droite (FG) que l'on demande.

Donc je reprend..

On a E(2;0) et F(-1;1)
Ainsi, "EF"."n" = (2-(-1))*3 + (0-1)*-4 = 3*3 + (-1)*-4 = 1 + 4 = 5

d'où d = (|"EF"."n"|)/||"n"| = |5| / 5 = 1 ?
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MessageSujet: Re: Distance d’un point à une droite.   Dim 11 Avr - 18:53

bonsoir,

En effet, du coup, on a pu constater que n était bien orthogonale à FG ce qui est logique vu qu'il s'agit du vecteur normal à la droite (FG) Wink.

Donc après correction, nous avons bien les bons calculs avec les bonnes valeurs.

Est-ce cohérent par rapport au dessin (que tu as du faire d'ailleurs) la distance de 1? toujours vérifier la cohérence de ses résultats surtout lorsqu'on a un dessin pour mieux constater les choses.

Est-ce que la démarche te semble plus abordable maintenant? Donc ne pas se jeter dans les calculs trop rapidement et bien regarder quelles sont les hypothèses que nous avons besoins pour appliquer telle ou telle méthode.

Bon courage pour la suite!

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MessageSujet: Re: Distance d’un point à une droite.   Dim 11 Avr - 19:13

Merci beaucoup..


Puis, pour l'aire :

(EFG) = (EH*FG) / 2

Mais on ne connait pas les longueurs EH et FG.
On peut calculer celle de FG grâce à la formule: FG = √(xG-xF)² + (yG-yF)²
Mais pour EH ? :S
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MessageSujet: Re: Distance d’un point à une droite.   Dim 11 Avr - 19:18

Décidément tu manques de recule c'est vraiment dommages car quand tu sais quelque chose tu le sais plutôt bien.

Qu'a-t-on calculer juste avant en fait? Ou que représente le "d" dans ta dernière réponse?

Sinon, la distance FG, il faut en effet la calculer à la main via la formule habituelle.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Distance d’un point à une droite.   Dim 11 Avr - 19:32

Oh mon Dieu !
Mais où ai-je la tête?

C'était vraiment évident, j'ai honte de moi là.. Vraiment ! Crying or Very sad

Donc je disais:

Soit avec EH = 1 et FG = 5,
On a EFG = 5/2 m²

Ca me parait très peu, Non ?
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MessageSujet: Re: Distance d’un point à une droite.   Dim 11 Avr - 19:41

Ça paraît peu en effet.

Alors vu qu'on est pas satisfait de notre résultat essayons de regarder sur le dessin si c'est plausible. Le dessin après l'avoir fait confirme le fait que ça n'a pas l'air très plausible. Mais il nous dit que la distance de 1 pour EH n'est pas tout à fait plausible non plus d'ailleurs.

Donc revenons à ce calcul. Peux-tu me donner les coordonnées du vecteur EF?

L'erreur est bête en fait mais engendre donc quelques erreurs par la suite et du coup, les valeurs deviennent incohérentes au finale.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Distance d’un point à une droite.   Dim 11 Avr - 19:52

Les coordonnées du vecteurs EF sont : ((-1)-2 ; 1-0) soit ( -3 ; 1 ).

Vous voulez dire qu'en fin de compte, "EF"."n" serait égal à -3*3 + 1*(-4) soit -13 ?
Mon erreur serait donc ici ? Shocked
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MessageSujet: Re: Distance d’un point à une droite.   

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