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 Géométrie dans l'espace

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lefandepblv



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MessageSujet: Géométrie dans l'espace   Mar 20 Avr - 16:04

Bonjour,

Voilà donc le problème que je dois résoudre, je ne vous donne que la première partie, car la deuxième est en partie identique et seule une question me pose problème.

Une salle rectangulaire a une longueur de 5m, une largeur de 4m et une hauteur de 3m. Une fourmi non volante est au coin F du plafond et veut atteindre par le plus court chemain une miette située au centre O du plancher. (VOIR FIGURE JOINTE)
Le problème est de déterminer le plus court chemin de F à O, en longeant bien sûr le plancher, les murs ou le plafond.

1) la fourmi choisit de passer par le mur (ABFE).
a) On appelle x la distance BM; M est un point de [AB]. Quelles sont les valuers possibles de x ? J'ai donc trouver : S= [0;5]
b) la distance parcourue est FM + MO qui est uen fonction f de x. EXpirmer f en fonction de X. J'ai trouver que FM était égale à 9x en me servant du triangle FMB, rectangle en B. Mon poblème est donc de trouver MO en focntion de x et c'est pour cela que je demande votre aide !

Merci d'avance
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Géométrie dans l'espace   Mar 20 Avr - 21:41

Bonsoir et bienvenue parmi nous!

Alors sans figure c'est plutôt dire mais je crois avoir réussit à faire une figure qui ressemble à celle que tu dois avoir sous les yeux. Pour le détail j'ai:

(ABCD) le sol avec AB la longueur et AC la largeur d'après ce que tu as marqué. Et O est le centre du rectangle
(EFGH) le plafond avec EF la longueur et EH la largeur

Et j'ai donc AE qui est la hauteur de notre salle.

A partir de là, on a donc un point M sur le segment [AB] et donc BM ne peut être plus grand que le segment tout entier c'est à dire 5m (M=A) et plus petit que 0m (M=B).

Et à partir de là, on cherche donc à calculer la distance de notre fourmi non volante (ça aurait été plus simple si elle avait appris à voler d'ailleurs Wink) pour aller de F à O en passant par M donc.

On a donc FO=FM+MO et on cherche à exprimer cette distance là en fonction de x.

Tu utilises donc le fait que FMB est un triangle rectangle en B ce qui est une très bonne idée pour en déduire la distance FM. En revanche, quel calcul effectues-tu pour arriver à FM=9*x ?

Nous verrons la distance MO par la suite.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose ne s'avère pas clair dans ce que j'écris ou propose ou autre.

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MessageSujet: Re: Géométrie dans l'espace   Mar 20 Avr - 22:09

Dans un premier temps merci pour votre réponse, et votr eexpllixcation du dessin me paraît très bien

Donc pour FM, je me suis en effet trompé , FM est égal à racine carrée de (9+x^2)
Je suis donc en problème pour calculer MO !!

Merci d'avance
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Géométrie dans l'espace   Mar 20 Avr - 22:25

Alors en effet, nous avons bien FM=√(9 +x²)

Maintenant comment calculer la distance OM ?

Ce n'est pas des plus évident en effet mais essayons une méthode, il y en a sans doute d'autres mais pour l'instant celle que je vais proposer qui me paraît plutôt abordable.

Nous sommes donc amener à une étude dans un plan (ABCD). Donc nous sommes passer d'une étude dans l'espace à une étude dans le plan ce qui devrait nous simplifier la vie en quelque sorte.

Et dans un plan, nous savons qu'il est toujours possible de définir un repère et ici, on peut même définir un repère orthonormé.

Mais avant d'aller plus loin, essayons de comprendre le raisonnement que je te propose. En effet, je considère que la seule chose que nous savons fait c'est calculer des distances à l'aide du théorème de Thalès ou du théorème de Pythagore lorsque nous sommes en réflexion géométrique pure. Mais, tu connais aussi un autre moyen de calculer des distances, il s'agit du calcul de distance dans un repère orthonormé lorsqu'on connaît les coordonnées des points.

alors essayons ici de définir un repère orthonormé nous permettant de connaître les coordonnées des points M et O pour en déduire la distance MO.

Est-ce que le raisonnement te paraît clair? Abordable? Sinon, en rédigeant j'ai trouver un autre moyen plus géométrique de conclure mais bon après totu si tu sais mettre en place des repère c'est encore mieux (pour la compréhension globale des mathématiques j'entends).

Je te laisse réfléchir sur le sujet.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Géométrie dans l'espace   Mar 20 Avr - 22:33

Oui donc en effet, cett =e technique ne me paraît pas très simple, j'avais pensé à une autre technique mais je voudrais justement avoir votre avis

si on considère que MO = MB + BO

Grace a Pythagore dans ABD, on trouve que BD est égal à racine carrée de 41 et donc BO a 1/2 (racine carrée de 41)
comme MB =0

donc MO = x+1/2(racine carrée de 41)

Votre technique je n'est pas tout compris ??
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Géométrie dans l'espace   Mar 20 Avr - 22:45

Et oui c'est tentant de considère que MO = MB + BO, n'est-ce pas?

Le soucis? Je pense que tu l'as vu dans ta propre réticence à l'écrire. La distance qui va de M à B ajoutée à celle qui va de B à O est bien entendu différent de celle qui va de M à O directement. Pour prendre un contre exemple classique, l'hypoténuse est plus courte que l'addition des deux côtés de l'angle droit, tu peux le vérifier sur un exemple si tu veux.

Bon ma technique est sans doute trop complexe encore car tu n'as pas encore l'habitude de manipuler les repères orthonormés. Mais si tu souhaites t'orienter vers une série qui contient encore des mathématiques l'anée prochaine, demande moi d'y revenir par la suite car elle est intéressante pour la mise en équation.

Alors essayons un calcul plus géométrique. Je considère H l'intersection de la droite parallèle à (AD) passant par O et de la droite (AB).

- Que peut-on dire de cette droite par rapport à (AB)?
- Comment calculer la distance HO? Et la distance AH?

Est-ce que tu vois le raisonnement se mettre en place?

Ici, l'idée est vraiment d'introduire un point sur la figure pour débloquer la situation (l'autre idée étiat d'introduire un repère pour calculer sur des coordonnées).

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Géométrie dans l'espace   Mar 20 Avr - 22:50

Non justement je ne vois pas l'intéreêt en lui même !
comment passer de ces calculs la a la distance MO ??

Ces calculs nous permettraient de calculer Bo , mais je pense pas que ce soit ca !!

MErci d'avance !
Mon cerveau est peut etre un peu fatigué !! Smile mais je pense pouvoirc comprendre !
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MessageSujet: Re: Géométrie dans l'espace   Mar 20 Avr - 23:08

Alors essayons de prendre les choses à l'inverse et prenons un schéma classique de démarche scientifique:

Qu'avons-nous?

- La distance AB et la distance AD
- De plus, nous savons que ABCD est un rectangle donc (AB)//(CD) et (BC)//(AD) ainsi que BC=AD et AB=CD. De plus vu qu'il s'agit d'un rectangle, nous avons (AB) perpendiculaire à (AD) (les autres s'en déduisent par parallélisme)

- M est sur [AB] et MB=x


Que pouvons-nous déduire de l'énoncer?

- La distance BD par Pythagore. Et vu que les diagonale sont égales (c'est un rectangle) nous avons aussi la distance AC du coup.
- La distance AO car les diagonales se coupent en leur milieu (un rectangle est un parallélogramme particulier). Et donc aussi BO=CO=DO=AO

- La distance AM car A, M et B sont alignés donc AM=AB-BM et nous connaissons AB et BM


Et c'est tout ce que nous pouvons faire en l'état de lieu.


Maintenant que cherchons-nous?

- nous cherchons à calculer la distance MO.


Qu'avons-nous dans notre cours comme moyen de calculer une distance?

- Le théorème de Thalès et le théorème de Pythagore.
- La trigonométrie (soh-cah-toa)
- Calcul de distance dans un repère orthonormé

Et c'est tout ce que nous avons. Avons-nous un repère dans l'énoncer? Non!
Donc la dernière possibilité est in-envisageable en l'état.

Avons-nous des angles pour utiliser la trigonométrie? Non! Donc la trigonométrie est in-envisageable aussi.

Il nous resterait donc les deux théorème classique. Mais avons-nous des triangles sous forme de Thalès dont on ne connaissent pas encore les côtés? Non! Et avons nous des triangles rectangles dont on ne connaît pas encore les côté? Non plus!

Nous sommes sont dans une impasse au niveau du cours et des notions présente dans l'énoncer pour répondre à la question. Il va donc falloir de nous-même introduire un point ou une notion pour pouvoir résoudre le problème.

Pour cela, on pourrait définir un repère ce que je proposais au début pour se ramener au cas d"utilisation de calcul de distance dans un repère. C'est faisable mais un peu complexe à mettre en place, je l'admet (même si c'est très pratique une fois compris).

Du coup, le but ça va être d'introduire un point que j'ai appelé H d'ailleurs de tel sorte qu'il nous fasse apparaître soit des parallèles, soit des triangles rectangles voire les deux. Pour qu'on puisse se ramener à la configuration d'application des deux théorème connu.

Et donc je construis H de telle sorte qu'il soit par construction, un point qui mette en évidence une configuration de Thalès (ou ici plus simplement la configuration de la droite des milieux d'ailleurs). Donc H est en fait le projeté de O sur le segment [AB], voilà pour la théorie hors programme et on le construit tout simplement comme l'intersection de deux droites défini dans mon précédent message.

Et dans cette configuration là, que peut-on dire du triangle MHO? Et c'est pour cela que je cherche à calculer la distance Ah ou BH pour en déduire celle de HM tout simplement car connaissant HM et HO j'en déduirai MO !

Est-ce plus clair?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Géométrie dans l'espace   Mar 20 Avr - 23:25

Merci, tout n'est pas encore très clair, je ne vois pas l'utilité de la configuration de Thalès, je comprends comment calculer HM, mais il y a donc 2 possibilités, quand X supérieur à 2 (jenne trovue pas la formule !) ou quand x inférieur à 2 (2-x) ??

Je vous laisse le temps de me répondre (je vais me coucher !!)
et surtout de m'avancer dans mon raisonneement !!

Merci d'avance !
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MessageSujet: Re: Géométrie dans l'espace   Mar 20 Avr - 23:37

La configuration de Thalès permet de calculer OH en fait. Mais c'est vrai qu'ici le rapport des longueur est égale à 1/2 donc bon, il n'y à pas grand chose à faire.

Par contre, ce que je ne comprend pas de ta part c'est la disjonction à x=2. En effet nous sommes sur [AB], donc que vaut BH?

Il y a bien deux cas à considérer mais la disjonction de cas se fait pour M=H (si M appartiant à la partie [AH] ou M appartient à la partie [BH]).

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Géométrie dans l'espace   Mer 21 Avr - 9:54

Oui mais c'est ça, quand M est sur BH, c'est que X est inférieur à 2 (car BH égal 2 m) et quand il est sur AH, x est suéprieur à 2

Et la question que je me pose, c'est comment je vais pouvoir faire apparaître deux cas différents dans la réponse que je dois donner à la fin : la fonctipon f !!??

Merci
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MessageSujet: Re: Géométrie dans l'espace   Jeu 22 Avr - 1:16

Bonsoir,

Désolé pour le contre temps, beaucoup de chose de prévu pour cette looongue journée.

Sachant que O est le milieu de [BD] vu qu'il s'agit du centre du rectangle. Et qu'on trace la parallèle à (AD) passant par O. Que savons-nous du point H pour le segment [AB] ?

Pour la destinction de cas, elle disparaîtrait peut-être après calcul qui sait après tout tant qu'on n'a pas encore fini les calcul, on ne sait pas. Sinon, il y aura une fonction F définie sur deux ensembles mais nous en reparlerons si besoin est.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Géométrie dans l'espace   Jeu 22 Avr - 12:22

Donc si j'ai bien compris

HM = 2,5-x quand x est inférieur à 2,5
HM est égal à 2,5 + (x-2,5) quand x est supérieur à 2,5 ???????

Est-ce exact, sinon où est l'éerreur, par la suite on me demande de dresser un tableau de variation de cette fonction f (qui représente FM + MO) Comment je vais faire si jai deux expressions de MO (une quand x est supérieur à 2,5 et une quand x est inférieur à 2,5) ??

Merc id'avance !!
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MessageSujet: Re: Géométrie dans l'espace   Jeu 22 Avr - 12:34

Bonjour,

Ta question est judicieuse (savoir anticiper est une vertu du mathématicien après tout) mais avant pour le coup de dire qu'il y a deux expressions, attendons d'arriver au bout de nos calculs car en effet, il serait plutôt gênant d'avoir deux expression pour la distance MO (vu ce que tu connais sur les fonction actuellement mais bon cela pourrait ne pas être impossible en fait).

alors déjà tu as rectifier en utilisant le théorème de Thalès ou la droite des milieux pour le coup, et H est le milieu de [AB] en effet. Du coup, la distinction se fait en 2.5 et non en 2 comme tu le pensais.

Maintenant, lorsque x<2.5, M est donc sur le segment [BH] et la distance HM=HB-BH (car B, H et M sont aligné, donc le calcul de distance se fait bien ainsi) et on retrouve bien que HM=2.5-x

Si x=2.5, aucun problème pour le coup, HM=0.

Maintenant si x>2.5 et c'est là que ça se complique un peut vu que M est sur le segment [HA] cette fois-ci. Donc comment calculer HM? Et bien vu que les point A, B, H et M sont alignés on effectue les calculs de distance comme on le souhaite. Et on ne trouve pas ce que tu écris.

En effet, si je finis, ton calcule, on trouvera que 2,5 + (x-2,5)=x c'est à dire que HM=x ce qui est loin d'être le cas, tu en conviendra assez facilement je pense.

Je te laisse donc corriger cette erreur de calcul.

Mais ensuite, nous n'avons pas encore calculer MO !!! Avoir accès à HM, va nous permettre de conclure mais attendons de voir si la conclusion, ne nous amène pas (par un hasard total) le même résultat pour la distance MO peut importe où se situerait le point M sur [AB].

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Géométrie dans l'espace   Jeu 22 Avr - 13:24

C'est bon, je pnese que je touche le bon bout !!

Je trouve donc que dans le cas ou X est inférieur à 2,5 on a HM=2,5-x et dans le cas où x est suéprier à 2,5 on a HM=x-2,5

Puis, on applique donc Pythagore au triangle OHM rectangle en H et on trouve dans les deux cas que MO = racine carrée de (x^2 - 5x + 10,25)
Je ne pense pas pouvoir simplifier ce résultat

Est-ce que le raisonnement est juste et est-ce que ls résultats aussi ??

Merci d'avance !
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