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 Deux problèmes de tracé...

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Blagu'cuicui
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Masculin Nombre de messages : 5009
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MessageSujet: Deux problèmes de tracé...   Sam 17 Nov - 0:57

Dans la 1ère parution de l'édition 1998 de la revue Diagonales, nous trouvons entre autres les deux problèmes suivants:

Citation :
Est-il possible de dessiner la figure ci-contre sans jamais lever le crayon et sans jamais passer deux fois le long d'une même ligne ?

Toujours dans la même édition, je vous propose un problème du même style:

Citation :
Est-il possible de dessiner la figure ci-contre sans jamais lever le crayon et sans passer deux fois le long d’une même ligne ?

Le thème de cette édition était les Graphes et en particulier les Graphes d'Euler.

Merci à Diagonales de nous soutenir.

Bonne recherche à toutes et tous! N'hésitez pas à poser vos questions si vous bloquez!

@bientôt au sein du forum!

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MouaDoS

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MessageSujet: Re: Deux problèmes de tracé...   Mer 10 Juin - 0:09

Bsr Mr.Blagu'cuicui !


Joli et facile probleme


On vois bien qu'il y'a 4 sommets de degrés impairs , et d'apres le theo d'Euler , qui dit qu'il doit exister exactement 2 sommets Impaires ... --><-- Contradiction !

Donc c'est Impossible ... sauf erreur !
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Deux problèmes de tracé...   Mer 10 Juin - 10:41

C'est exact pour la réponse!

Le théorème d'Euler pour les graphes nous dit un peu plus que ce que tu sites:

- Si les sommes de degré impair sont au nombre de 0 ou 2 exactement alors le graphe est réalisable.

En effet, si tous les sommets sont de degré pair, il n'y a pas non plus de problème pour effectuer le tracer sans lever le crayon.


La théorie des graphes est croustillante d'application dans des domaines tel que la construction de pont, de route mais je ne serait pas étonné qu'elle est aussi servi pour l'aviation (même s'il y a d'autre contrainte à prendre en compte que le seul trajet comme la minimisation du trajet par exemple).

Le plus célèbre des problèmes est le suivante: PONT DE KÖNIGSBERG qui a été résolu en 1736 par Euler lui-même.

Je vous laisse découvrir ce domaine des mathématiques aussi intéressant qu'amusant je dois le dire.

Pour celles et ceux qui souhaitent plus d'information sur cette exercice, n'hésitez pas à poser vos questions!

Bonne continuation @toutes et tous!

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Eh



Masculin Nombre de messages : 237
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MessageSujet: Re: Deux problèmes de tracé...   Mer 10 Juin - 12:13

que signifie "des sommets de degrés impairs" ??
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Blagu'cuicui
Admin'cuicui
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Masculin Nombre de messages : 5009
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MessageSujet: Re: Deux problèmes de tracé...   Mer 10 Juin - 14:10

Très bonne question!!

Alors faisons un peu de théorie des graphe.

Le dessin est composé de sommets et des arêtes reliant ses sommets.

Le nombre d'arètes partant (ou arrivant comme vous voulez) à un sommets s'appelle le degré du sommet.

Ainsi, si le nombre d'arètes partant d'un sommet est 4, sont degré est 4 et on dira que le degré de ce sommet est donc pair.

Sur le dessin, il y a 3 sortes de sommets différent:

- Les sommets de l'hexagone ayant pour degré 2 (au nombre de 8 donc)
- Les sommets du carré qui sont sur les arêtes de l'hexagone et qui ont donc un degré de 5 (ils sont au nombre de 4)
- Le sommet qui est l'intersection des deux diagonales qui a pour degré 4 donc (il n'y en a qu'un)

On constate au final qu'il y a 9 sommets de degré pair et 4 sommets de degré impair.

Un graphe est dit eulérien (c'est à dire qu'il peut être tracé sans levé le crayon) s'il possède un nombre pair de sommet impair au plus égale à 2. (c'est à dire qu'il a exactement 0 ou 2 sommets de degré impair).

Par exemple, pour la maison (que tout le monde a du tenter de faire sans levé le crayon), il y a:

- le haut du toit qui est un sommet de degré 2
- Les deux coins supérieurs de la maison qui sont de degré 4
- Les deux coins inférieurs de la maison qui sont de degré 3
- L'intersection des deux diagonales qui est de degré 4

Il y a donc exactement 2 sommets de degré impair ce qui signifie par le théorème d'Euler pour les graphe que cette maison est bien "traçable" sans lever le crayon.

En espérant avoir un peu éclairci cette théorie là.

Bonne continuation!

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Eh



Masculin Nombre de messages : 237
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MessageSujet: Re: Deux problèmes de tracé...   Mer 10 Juin - 19:16

Parfait ! excellente explication Smile
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Eh



Masculin Nombre de messages : 237
Localisation : France
Date d'inscription : 08/02/2009

MessageSujet: Re: Deux problèmes de tracé...   Mer 10 Juin - 19:21

Mais si on ne connaissait pas les graphes d'Euler et tout... ce problème était-il toujours résolvable, sachant qu'on est pas assez fort pour redémontrer ce qu'a démontré Euler ? !?
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Blagu'cuicui
Admin'cuicui
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MessageSujet: Re: Deux problèmes de tracé...   Mer 10 Juin - 20:12

Alors sans la théorie d'Euler ce problème n'est pas résolvable en effet.

Par contre vu qu'il s'agit d'une question par un tracer, il y a un moyen de connaître la réponse si le tracer est faisable Smile. Par test tout simplement!

En effet, si tu trouves un moyen de faire le dessin sans lever le crayon alors le tracer est forcément faisable en effet. Et si après plusieurs tentative différente (le but serait de tout tester d'ailleurs pour avoir une démonstration viable), tu pourras conjecturer le fait que le tracer n'est pas faisable.

C'est comme cela que naisse certaine conjecture mathématique par exemple. Non pas sur des tracer mais sur des propriété qui intuitivement paraissent évidente mais qui ne sont pas encore démontré (on appelle certain problème des "problèmes ouverts" c'est à dire à démontrer car pas encore démontré à ce jour).

Le but des exercices mis ici est de pouvoir aller un peu plus loin dans certain domaine ou tout simplement de s'amuser un peu avec des mathématiques. Car par exemple la théorie des graphes aurait pu passer dans le nouveau programme de second de la rentrée prochaine (mais ce n'est pas le cas) et c'est déjà au programme de la série ES par exemple.

Bonne continuation!

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Nakor

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MessageSujet: Re: Deux problèmes de tracé...   Mar 16 Juin - 13:13

Nom de Dieu je viens de découvrir cette partie énigme, et si je n'avais pas le bac dans 2 jours à peine, je m'y pencherai un peu, on a l'air d'apprendre des choses ici !

Dès que j'aurai le temps, je regarderai.
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