Annale Antilles-Guyane juin 2009

Bonjour !

Je continue sur ma lancée, je vous fais beaucoup de boulot pour cette journée du travail
Mais cette fois c'est un petit exercice, je n'ai pas de grosse difficulté là mais seulement quelques points que je voudrais éclaircir.

Voici l'énoncé :
http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/AntillesS23juin2009.pdf

Il s'agit de l'exercice 4, mêlant le logarithme et les suites.

Les premières questions me semblent faisables, voire même assez faciles..
J'ai simplement un soucis au niveau du calcul de la limite à la question 2b).
A la calculatrice je trouve que la lim x-> 0 ( ln (1+x) / x ) est égale à 1.

Pour la suite de la question :
Calculer lim v_{n n->} +oo

Or lorsque n tend vers +oo, x tend vers 0. Cela correspond donc au résultat trouvé juste avant ?
Faut-il dans ce cas calculer explicitement la limite ? On tombe sur une forme indéterminée de type 0/0, je ne comprends pas bien le but de cette "double question" enfait, et surtout ce qui est attendu ou non.


Cela permet de répondre à la question suivante, oui la suite vn est donc convergente et sa limite est par conséquent 1.
N'y a-t-il aucun calcul demandé ici, encore une fois ?

Je vous remercie,
Mirabelle

Re-bonjour,

Citation :

Or lorsque n tend vers +oo, x tend vers 0. Cela correspond donc au résultat trouvé juste avant ?

Qui va se plaindre d'un sujet ultra linéaire? .

En effet, ici, le sujet est ultra guidé. Cela ne s'appelle même plus être guidé vu comment ce sujet prend par la main l'élève pour résoudre celui-ci. En effet, les trois premières questions sont linéaires et chaque réponse sert à la question suivante de façon très évidente. Et bien, pour la suite, il n'y a pas de changement d'optique de la part du rédacteur de l'exercice vu qu'on continue sur le même principe.

En effet, la limite calculer dans la première partie du 2)a) donne la réponse à la deuxième partie du 2)a) en disant simple que lorsque n tend vers l'infini, x tend vers 0 d'une part et d'autre par on a V_n= Ln(1+1/n)/(1/n) ce qui est exactement ce qu'on souhaite.

Par contre attention à la conclusion, il est certes pas compliquée mais il ne faut pas se tromper de suite . En effet, le but de l'exercice était d'étudier la suite (u_n) et on a introduit une suite auxiliaire pour arriver à faire l'étude mais la suite auxiliaire reste.... auxiliaire tout de même car on souhaite une réponse à la question initiale tout de même.

Je te laisse corriger cette erreur de précipitation je pense.

Bon courage!

Bonjour !

Merci pour votre réponse.
Ohoho ! Oui effectivement, je me suis complètement plantée à la dernière question.

Pour prouver que la suite u_n est convergente, je dirais qu'il faut "analyser" la suite v_n ?

v_n = ln (1 + 1/n)ⁿ
<=> n ln (1 + 1/n)

Sa limite lorsque n tend vers +oo étant 0, on en déduit que ce qui se trouve entre parenthèse (1 + 1/n)ⁿ tend vers 1, puisque le logarithme s'annule uniquement pour cette valeur.

Or ce qui se trouve entre parenthèse correspond à la suite u_n, cette suite est donc convergente et sa limite est 1.

Cette rédaction me paraît assez louche tout de même, cependant je ne vois pas d'autre moyen de faire ?
Qu'en pensez-vous ?

Merci !

La rédaction est extrêmement louche en effet surtout qu'elle aboutit à une erreur .

Alors qu'il serait si simple de relire l'énoncer: [On pose .....] v_n=Ln(u_n)

Donc u_n=Exp(v_n) pour tout n.

Non?

Je te laisse conclure d'après ce qu'on sait déjà sur la suite V_n et la continuité de la fonction exponentielle.

Bon courage!