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 Geometrie dans l'espace

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kit



Nombre de messages : 1
Localisation : PACA
Date d'inscription : 05/05/2010

MessageSujet: Geometrie dans l'espace   Mer 5 Mai - 18:03

bonjour,

Je suis coince sur un exercice de maths:
comment est-ce qu'on deduit qu'une droite d et un plan P sont secants grace a un systeme et l'equation du plan P?
De plus je dois determiner le point d'intersection entre D et P.
on m'a donne le systeme suivant:
2x-y-3=0
x+2z-2=0

et l'equation: 5x-3y+4z=4

j'ai deja trouve des solutions au systeme: x = 3 ; y=3 et z = -1/2
est-ce que c'est juste?

merci d'avance
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Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 30
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: Geometrie dans l'espace   Mer 5 Mai - 19:18

Bonsoir et bienvenue parmi nous!

L'espace est très agréable en fait lorsqu'on arrive à manipuler les objets qui s'y trouve et c'est là que se trouve la plus grande des difficultés.

En effet, que faut-il savoir dans l'espace?

Il y a des points repérés par leur coordonnées (x;y;z) dans le repère (O;i,j,k)

Toujours dans le même repère, on peyut expliciter l'équation d'un plan: a*x+b*y+c*z+d=0

Et enfin, il y a l'équation d'une droite. Mais comment caractérise-t-on une droite dans l'espace?

Eh bien, soit en considérant un vecteur directeur et un point appartenant à cette droite. Soit en considérant qu'une droite ce n'est autre que l'intersection de deux plan non parallèle tout simplement.

Dans tous les cas, on constate que pour avoir accès à l'équation d'une droite, il ne va pas y avoir une seule équation mais un système de plusieurs équations. Pourquoi?

Prenons la droite (d) dirigée par u(a;b;c) et passant par A(xA;yA;zA). Alors:

M(x;y;z) appartient à (d) <=> Il existe un réel t tel que AM=t*u

Or deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées. Donc on obtient un système de trois équations pour notre droite qui s'écrit:

{x-xA=t*a
{y-yA=t*b
{z-zA=t*c

Conclusion la droite (d) dirigée par u et passant par A à pour système d'équation:

{x=xA+t*a
{y=yA+t*b
{z=zA+t*c


Maintenant si on considère qu'on sait que notre droite (d') est l'intersection de deux plan (P1): a1*x+b1*y+c1*z+d1=0 et (P2): a2*x+b2*y+c2*z+d2=0 cela revient à dire que tous les point de la droite (d') appartiennent à la fois à (P1) et à (P2) et donc que les coordonnées des points de la droite doivent absolument vérifier les deux équations c'est à dire que le système d'équation de (d') est:

{ a1*x+b1*y+c1*z+d1=0
{ a2*x+b2*y+c2*z+d2=0


Est-ce qu'au niveau de la théorie c'est plus clair maintenant? Car au vu de ce que tu écrivais je n'avais pas l'impression que tout ceci était bien clair.

Donc le système d'équation c'est en fait l'équation de notre droite tout simplement. Il y a donc une infinité de triplet qui vérifie cette équation et non pas seulement le triplet (3;3;-1/2) par exemple. Vu que c'est le système d'équation d'une droite et qu'une droite contient une infinité de points.

Maintenant qu'elle est l'idée de l'exercice? Il s'agit en fait de te faire utiliser ce que tu connais normalement déjà à savoir qu'une point du plan est une point d'intersection s'il appartient aux deux éléments qu'on intersecte.

Est-ce que jusque là tu es d'accord?

Mais avant de se lancer dans les calculs essayons déjà de réfléchir deux minutes sur l'exercice et ce qu'on nous demande de faire. On nous demande de considérer l'intersection entre un plan et une droite. A partir de là, quelles solutions sont possibles? C'est à dire que pouvons-nous avons comment comme type d'intersection? une droite? un plan? un point? un cercle? une sphère? ...


Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est pas claire dans ce que je dis ou ce que je te propose comme démarche!

_________________
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