Dimension finie

Bonsoir,

Citation :

Soient E un K-ev de dimension finie, H un sev de E et f un endomorphisme de E. Démontrer que H inclu dans f(H) => H=f(H).
Trouver un contre-exemple en dimension infinie, par exemple dans R[X].

J'ai réussi à montrer l'implication (forùule du rang appliquée à la restriction de f à H + hyothèse donne l'égalité des dimensions, donc l'égalité des sev), mais je n'arrive pas à trouver de contre exemple...

On a donc un espace infini R[X], quelle sous-espace vectoriel connais-tu de cet espace?

Sinon, pour un endomorphisme de R[X] dans R[X], as-tu des exemples simples? Il y en a deux très connu au moins.

Il faut trouver un sev simple inclus dans l'image de celui-ci par F mais de façon stricte, il ne faut pas chercher compliquer.

Bon courage!

Bin y'a Rn[X] par exemple.

Mais j'ai du mal à trouver des endomorphismes qui pourraient marcher. Je sais pas, y'en a plein... f:P->PQ, avec deg(Q)>n+1 ça pourrait peut-être le faire ?

On prend par exemple Rn[X] le sev de R[X], et l'endomorphisme f de R[X]. Rn[X] est inclu dans f(Rn[X]) non ?

C'est tout à fait exact en effet!

Dans tous les cas l'image de tout polynôme est un polynôme de degré supérieur à n (sauf pour le polynôme nul) et il nous en fallait seulement un pour avoir l'inclusion stricte donc c'est nickel.

Tu aurais aussi pu prendre l'intégration (primitive), c'est aussi un moyen de créer un polynôme de degré strictement plus grand.

Donc cela fonctionne très bien. Il ne faut pas chercher compliqué à partir du moment où le sev s'y prête bien les contres exemple tombe tout seul. En fait ce qui est mis en défaut dans la démonstration pour la dimension fini c'est justement que le rang n'a pas de dimension fini nécessairement alors que le sev lui peu être de dimension fini tout simplement.

Bonne continuation!

Ok merci !

Je vais essayer d'attaquer mon DS de maths de demain (intégration et dimension finie) sereinement, c'est à dire avec au moins 8h de sommeil. Bonne nuit !