calcul intégral

je ne comprend strictement rien à cet exercice (enfin à sa correction) à partir de la petite flèche. d'où viennent -1/2 et 3/8 ?



Uploaded with ImageShack.us




Uploaded with ImageShack.us

Bonjour,

C'est avec plaisir que je constate que vous avancez toujours dans les mathématiques ce qui est une bonne chose en soi!

Alors ne fait, la correction est loin d'être des plus clair en effet. Pour les grandes lignes, on ne sait pas calculer les intégrale de puissance de sinus ou de cosinus en règle générale. Pour cela, il faudrait pouvoir linéariser c'est à dire se ramener à une polynôme en sinus ou en cosinus mais seulement de degré 1.

Il arrive comme c'est le cas ici que la linéarisation ne soit pas du tout évidente et à partir de là, on passe par les complexes car on a une expression "simple" des fonction trigonométrique en sous forme complexe à l'aide des exponentielles. En effet, nous savons que e^ix= Cos(x) + i*Sin(x) (qui est une formule admise à ce stade et qu'on ne démontrera pas du tout d'ailleurs). Et à partir de là, sachant que le sinus est une fonction impaire (c'est à dire que Sin(-x)=-Sin(x) ) et que le cosinus est une fonction paire (c'est à dire que Cos(-x)=Cos(x) ), on peut déduire que e^-ix=e^i(-x)= Cos(-x) + i*Sin(-x) c'est à dire que e^-ix= Cos(x) - i*Sin(x)

On constate donc qu'en additionnant les deux termes, on peut obtenir le cosinus et si on les soustrait, on obtient le sinus. C'est ainsi que retrouve que:

Sin(x)= [ e^ix - e^-ix ] / 2

Quel est l'avantage?

Et bien lorsqu'on souhaite intégrer, nous connaissons des intégrales simples de la fonction exponentielle et lorsqu'on élève l'exponentielle à une puissance entière cela revient juste à multiplier l'exposant initiale par la puissance (c'est à dire (e^ix)^p=e^ipx )

donc on effectue le calcul et arriver là où tu as compris, il y a deux moyens de continuer. En effet:

- soit on utilise la linéarité de l'intégrale à fond et on intègre chaque terme (ce qui est le plus simple à faire lorsqu'on est perdu)
- soit on essaie de faire apparaître des sinus et/ou des cosinus de degré 1 (en gros on essaie de faire apparaître la linéarisation qu'on ne savait pas calculer de façon immédiate)

Et eux, ils choisissent la deuxième méthode. Il faut donc pour cela, regrouper les exponentielles de même exposant entre-eux c'est à dire les exposant i4x et -i4x ensemble ainsi que i2x et -i2x ensemble ce qui permet donc de faire apparaître des cosinus en l'occurrence (vu qu'on a des additions d'exponentielles).

Mais d'après le changement, il faut aussi faire apparaître une division par 2 pour avoir réellement ce qu'on souhaite vu que:

Cos(x)= [e^ix + e^-ix ] / 2

Il va donc falloir qu'on pique une division par 2 au facteur devant qui est 1/16 à l'étape où tu es rendu.

Ainsi pour le premier terme, on a regroupé les exposent 4 ensemble, il fallait multiplier l'intégrale par 1/16 et ils ont en fait écrit 1/16=(1/8)*(1/2) opur faire apparaître la division par 2 voulu ce qui explique le 1/8. Pour le deuxième terme c'est le même principe et pour le troisième terme, il s'agit d'isoler la constante +6 et nous savons que:

Si c est une constante alors ∫c dx = c*∫dx


Est-ce que tout ceci te paraît plus claire? Sinon, n'hésite pas à demander des précisions surtout.

Bon courage!

Blagu'cuicui a écrit:

Et eux, ils choisissent la deuxième méthode. Il faut donc pour cela, regrouper les exponentielles de même exposant entre-eux c'est à dire les exposant i4x et -i4x ensemble ainsi que i2x et -i2x ensemble ce qui permet donc de faire apparaître des cosinus en l'occurrence (vu qu'on a des additions d'exponentielles).

et des sinus, non ? [u]

Blagu'cuicui a écrit:

... et pour le troisième terme, il s'agit d'isoler la constante +6 et nous savons que:

Si c est une constante alors ∫c dx = c*∫dx


Est-ce que tout ceci te paraît plus claire? Sinon, n'hésite pas à demander des précisions surtout.

Bon courage!

excuse-moi, il y a juste ce dernier point que je ne comprend toujours pas (du coup je ne vois pas d'où viennent -1/2 et 3/8) mais le reste c'est nickel merci.

Ok!

Donc tu n'as pas encore bien assimilé la propriété de linéarité de l'intégrale.

En fait, tu as compris ce point ci:

Si F et G sont deux fonctions continue sur [a;b] (a<b) alors, on a ∫_[a;b] [F(x) + G(x)] dx = ∫_[a;b] F(x) dx + ∫_[a;b] G(x) dx


Mais en fait, pour réellement avoir la propriété de linéarité, cela ne nous suffit, pas, il faut aussi avoir ceci:

Soit F une fonction continue sur [a;b] et a un réel (ou complexe),
Alors: ∫_[a;b] [a*F(x)] dx = a*∫_[a;b] F(x) dx

C'est d'ailleurs ce qu'ils utilisent dès le début c'est à dire qu'ils sortent de l'intégrale la constante [1/(2i)]⁴ ce qui nous donne le coefficient 1/16 devant l'intégrale.

Et bien, lorsqu'on utilise la linéarité c'est à dire que l'intégrale d'une addition est égale à l'addition des intégrale, on arrive à 3 termes ce que tu as compris mais dans ces trois termes il y a aussi des constantes qu'ils sortent de l'intégrale.

Donc par exemple ∫_[a;b] 10 dx = 10*∫_[a;b] 1 dx avec 1 la fonction F(x)=1 pour tout x par exemple qu'on écrit aussi:

∫_[a;b] 10 dx= 10*∫_[a;b] dx


Et on peut généraliser les choses ainsi:

Pour tout réel ou complexe c, on a: ∫_[a;b] c dx = c*∫_[a;b] dx

Est-ce que ceci te paraît plus clair maintenant?

Bon courage!

nickel, merci! j'ai mis du temps à comprendre étant donné l'accumulation depuis la 3ème de lacune en math! mais depuis quelque mois j'ai décidé de comprendre les maths (et oui c'est maintenant que je me réveille ).

En fait, pour faire simple:

On dit qu'une fonction F définie sur R est linéaire si:

Pour tout x et y dans I et pour tout a et b réel, on est: F(a*x+b*y)=a*F(x)+b*F(y)

Et ici, l'intégrale se comporte exactement de la même manière (c'est en fait une fonction qui prend pour ensemble de départ au lieu des réels, des fonctions mais je ne rentre pas là-dedans c'est juste pour la culture).

Bon courage pour la suite et n'hésite pas à poser tes questions surtout!

salut,

est-ce je pourrais avoir un petit tuto de l'intégration par "changement de variable" ? en fait je ne vois même pas l'intérêt d'intégrer de cette manière (c'est censé nous simplifier l'intégration mais ce n'est pas mon cas . )

Bonjour,

Pour voir l'intérêt du changement de variable, il suffit de se confronter à un mur. Par exemple, essaie de calculer l'intégrale suivante:

I=Int_[0;2*Pi] [ 1/Racine(1-x²) ] dx

Ou dans un autre syle mais bon on commence à parler d'intégrale beaucoup plus complexe(changement de variable en polaire):

I= Int_R (e^-x²) dx

Le plus simple pour comprendre le changement de variable c'est d'en faire un en même temps. Par exemple, prenons la première intégrale (l'autre est anecdotique) et essyons de la calculer pour voir ce qui bloque concrètement.

Bon courage!

ok pour l'interet mais est-ce que tu peux expliquer le plus clairement possible (je sais je suis très exigent ) comment procéder ?

Bonsoir,

Le soucis du changement de variable c'est qu'il n'y a pas de formule miracle permettant de conclure à tous les coup. Il y a d'ailleurs énormément d'intégrale qui ne se calculent pas, il faut le savoir. C'est même intégrale si elles ont un sens se calculeront de manière approchée via des méthodes numériques et à partir de là c'est la machine qui prend le relai et va approcher la solution au plus près.

Le principe est en fait assez élémentaire. En effet, nous avons à calculer l'intégrale sur un intervalle [a;b] par exemple d'une fonction F qu'on ne sait pas calculer:

∫_[a;b] F(x) dx par exemple.

Le soucis c'est que nous ne connaissons pas de primitive simple de la fonction F et même ne faisant une intégration par partie, on ne voit pas comment s'en sortir (il y a des racines carrées par exemple ou autre...), c'est à ce mometn là qu'intervient le changement de variable.

Quelle est l'idée?

En fait, la variable x est muette (elle peut prendre le nom qu'on souhaite) et nous pouvons même lui attribuer une fonction carrément! En effet, je peux considérer la fonction suivante:

G: I -> [a;b]: t|-->G(t) avec G bijective!

Et nous décidons d'au lieu d'intégrer sur [a;b] en fonction de x et bien nous allons intégrer sur I en fonction de t.

Ainsi, je pose x=G(t) c'est à dire que je définis une nouvelle variable t=G^-1(x) tout simplement (x étant connu et G étant bijective, elle admet bien une fonction inverse, nous connaissons donc la variable t).

On constante qu'en fait x est en fait une fonction de t, je devrais si je souhaite être rigoureux noter: x(t)=G(t).

Si je dérive maintenant cette nouvelle fonction en t, nous obtenons x'(t)=G'(t). Maintenant, si je note la dérivée x'(t) "à la physicienne" c'est à dire dx/dt, j'obtiens donc:

dx=G'(t)*dt

On a donc exprimé dx en fonction de la nouvelle variable. Et nous savons aussi vu que G est bijective que G^-1([a;b])=I

On va donc intégrer notre fonction F sur I en fonction de la variable t tout simplement. Mais attention au changement de différentielle dx=(1/H'(x))*dt

On obtiens donc par changement de variable qu'on abrège ainsi: x=G(t) et dx=G'(t)*dt

∫_[a;b] F(x)*dx=∫_I F[G^-1(t)]*G'(t)*dt


Maintenant, sur mon exemple dans le message précédent comment procéder pour calculer cette intégrale:

I=∫_[0;2*Pi] [ 1/Racine(1-x²) ] dx

Quel changement de variable allons-nous pouvoir faire pour simplifier Racine(1-x²) par exemple vu qu'une racine c'est toujours très gênant?


Est-ce que c'est plus clair ou pas du tout?

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout!

c'est un peu plus clair. néanmoins j'ai mis pas mal de temps pour comprendre. j'espère qu'à l'exam ils n'exigent pas d'intégrer par changement de variable...(sauf s'il n'y a pas le choix).

Bonjour,

Il n'y a jamais d'obligation de méthode pour conclure en fait. Le chemin menant à la conclusion est souvent multiple mais certaines astuces permettent de minimiser le nombre de chemin qu'il faudrait tester pour aboutir.

L'intégration par partie peut s'avérer difficile par exemple lorsqu'il faut mettre en place une récurrence pour conclure (je pense au intégrale de Wallis avec les sinus par exemple). Le changement de variable quant à lui s'avère le plus souvent simple car assez bien balisé dans l'ensemble, le plus dure c'est le changement de variable polaire mais je ne pense pas que tu en sois là pour l'instant.

La théorie du changement de variable est plutôt lourde et on a souvent du mal à l'exprimer correctement mais par contre la pratique permet de mieux comprendre les choses et de savoir ce qui se passe directement lors du calcul loin de la théorie qu'on ne te demande pas de réécrire d'ailleurs. On te demande simplement de bien poser ton changement de variable c'est à dire x=F(t) en gros c'est souvent ça et de bien montrer comment vont changer les bornes de l'intervalle d'intégration ainsi que la différentielle dx=F'(t)*dt tout simplement.

C'est souvent difficile à comprendre dû à la barrière théorique car il faut travailler sur des intervalles ouvert si on souhaite bien l'écrire et plein de petits détaille qui font que la théorie est assez lourde à écrire et à comprendre. Mais il faut passer rapidement dans le vif du sujet pour s'en sortir c'est à dire pratiquer le changement de variable en l'écrivant proprement.

Si tu as des questions ou souhaite faire des exemples, n'hésite pas à demander.

Bon courage!

la théorie est difficile à comprendre surtout quand on ne peut pas se représenter chaque vocabulaire mathématique.

autre choses :



Uploaded with ImageShack.us


j'ai essayer d'intégrer ce qu'il y a d'encadrer en rouge, mais je ne trouve pas le même signe que la correction: je trouve un signe positif pour (x-t)^4. quelle erreur ai-je fait ?

Bonsoir,

L'erreur est dû à ton conditionnement mathématiques je dirai. Nous sommes tous plus ou moins conditionné en fait et dès qu'on voit un x on se dit qu'il s'agit de la variable d'intégration car on apprend toujours ∫_I F(x) dx mais il faut faire attention que pour l'intégration cette petite lettre est muette et donc on a les égalité suivante:

∫_I F(x) dx = ∫_I F(t) dt = ∫_I F(u) du = ...

En conséquence, il faut dans un premier temps regarder en fonction de quoi on intègre c'est à dire si nous sommes en "dx", en "dt", en "du" ou autre.

Ici, l'intégration se fait donc par rapport à t. On doit donc considérer que tout ce qui n'est pas en t est fixé lorsqu'on intègre c'est à dire que pour l'intégrale x est fixé dans ton exemple!

Donc on intègre la fonction: t |---> (x-t)³ / 6 pour x fixé.

Du coup, est-ce que tu comprends, d'où vient le "-" lorsqu'on intègre?

Bon courage!

ok ça je l'ai bien compris mais je ne vois pas où est-ce que les lettres muettes influencent dans l'intégration.

pour moi la primitive de (x-t)3 est : [1/(n+1)]*x^n+1

et je trouve le même résultat qu'en correction mais en signe positif...

Bonjour,

L'influence est énorme pourtant. Essayons de bien comprendre les choses sur deux exemples à ce moment là:

La formule du cours classique: la primitive de la fonction x|--> xⁿ est [1/(n+1)]*xⁿ⁺¹ + A (A une cosntnate)

Maintenant, regardons la fonction suivante: t|-->tⁿ, la primitive est alors [1/(n+1)]*tⁿ⁺¹ + A (A une constante)


Et maintenant, le piège, voici le deuxième exemple:

On considère pour tout réel x fixé, la fonction t|--> xⁿ. Alors la primitive de cete fonction est xⁿ*t + A (A une constante)!!

En effet, xⁿ est une constante pour la variable t et donc lorsqu'on intègre ne fonction de t, xⁿ n'est autre qu'une constante C.


Enfin, revenons à notre exercice, x ici est fixé vu qu'on intègre en fonction de t. Pourrais-tu me dire qu'elle est la valeur de la primitive de la fonction t|--> (x-t)³/6 pour x=1 par exemple?

Il ne reste plus qu'à généraliser pour un réel x quelconque.

Est-ce plus clair ainsi?

oui mais d'après le tableau des primitive usuelle x^n = [1/(n+1)]*x^(n+1) + A comme tu l'as dis. or le "x" du tableau c'est le module (x-t)^3 non ?

et pour répondre à ta question : je trouve en primitive si x=1 :

[(1-t)^4]/24...

Je comprend mieux le problème !!!

Et pourtant, j'ai martelé en étant persuadé que le soucis n'était pas là.

x est une variable dans ton tableau de primitive. Or ici, t|--> F(t)=(x-t)³ est une fonction ce qui change tout!!

Vulgairement, on peut dire que la primitive c'est la fonction inverse de la dérivation. En effet, c'est même la définition qu'on en fait après avoir manipuler sur les aires, on dit que:

F est la primitive de f sur I si pour tout x dans I, F'(x)=f(x).

En conséquence, si je dérive une primitive, je dois absolument retrouver la fonction de départ. CE qui est le cas lorsque je dérive: x|--> xⁿ⁺¹/n+1 je retrouve bien xⁿ.

En revanche, si je pose F(t)=(x-t)⁴/4 que vaut la dérivée de F? Essaie d'en déduire une formule générale pour les primitives de fonction du type (ax+b)ⁿ avec a et b des réels et a non nul.

Bon courage!

je l'ai bien compris : la primitive c'est faire le contraire de la dérivée mais bon...

j'ai dérivé la primitive j'ai trouvé : (x-t)^3.

edit: et je viens de dériver le module négatif et je trouve [-(x-t)^3/6]. le signe est négatif même en dérivant.

Bonsoir,

Citation :

j'ai dérivé la primitive j'ai trouvé : (x-t)^3.

C'est tout le problème justement. En dérivant, tu ne devrait pas trouver (x-t)³. Car il s'agit de dérivée un donction qui est élevé au cube ici et non seulement une variable élevé au cube.

Ainsi, si je pose u(t)=x-t

Que vaut la dérivée de F(t)=[u(t)]⁴/4 ?

Bon courage!

Blagu'cuicui a écrit:

Bonsoir,


Ainsi, si je pose u(t)=x-t

Que vaut la dérivée de F(t)=[u(t)]⁴/4 ?

Bon courage!

[u(x)]^n, sa dérivée est n.u'.u^n-1

soit (si x est "fixe", constante):

= [4.(-1+0).(-t+x)^3]/4
= [-4.(-t+x)^3]/4
= [-1.4.(-t+x)^3]/4 ---------------> vu que -4=-1.4
= -1.(-t+x)^3
= (t-x)^3

(quelques choses me dit que c'est faux...)

Bonsoir,

C'est totalement juste. J'aurai laissé -(x-t)³ pour bien faire apparaître le fameux "-" qui te posait tant de soucis mais vu que 3 est impair ta conclusion est tout à fait juste.

Est-ce que tu comprends ton erreur d'intégration du coup? Tu n'intègres pas la fonction t|--> tⁿ mais tu intègre la fonction t|--> [u(t)]ⁿ

En générale, on ne sait pas intégrer ce genre de fonction pour u quelconque. Par contre lorsque u est une fonction affine ou linéaire, il s'avère qu'on sait très bien le faire.

En effet, quelle est la primitive de la fonction t|--> (a*x+b)ⁿ lorsque a est non nul ?

Bon courage!

Uploaded with ImageShack.us


c'est ce qu'il y a dans le tableau des primitives usuelles... j'ai appliqué :

j'ai considéré que u=x-t=-1t+x en prenant en compte (comme dans l'énoncé et vu que la lettre muette est dt) que x est constante donc u'=-1

OR pour vérifier la "condition" u.u' il faut que u' soit égal à 1 et non -1 (bah vu que (x-t)^3=1.(x-t)^3)...
j'ai donc "changé la fonction u" en -(-x+t)^3 qui est mathématiquement l'équivalent de (x-t)^3. MAIS DU COUP u=-x+t et u'=1 (au lieu de -1 comme je l'aurais voulu).

j'ai beau jongler avec les nombres là, mais je bloque alors que je vois très bien où tu veux en venir.