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 primitive d'un coefficient

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nulenmath



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MessageSujet: primitive d'un coefficient   Mar 25 Mai - 17:05

Bonjour,

est-ce que la primitive d'un "coefficient" s'intègre comme une constante ?

exemple:

f(x) = 2. 1/(1+x²). 1/(1+x²)

f'(x) = (2x+0). arctan x. arctan x

?
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: primitive d'un coefficient   Mar 25 Mai - 17:18

Bonsoir,

Toujours la même erreur. En effet, on n'intègre pas un produit terme à terme cela n'a pas de sens.

En revanche pour répondre strictement à la question posée, il faut savoir que l'intégrale est linéaire et positive (les deux ensembles entraînant que l'intégrale est croissante d'ailleurs) c'est à dire qu'elle a les propriétés suivantes:

- Si F est une fonction continue sur [a;b] telle que F>0 sur [a;b] alors ∫ab F(x)dx >0 (propriété de positivité)

- Soit F une fonction continue sur [a;b] et un réel λ, alors ∫ab λ*F(x)dx=λ*∫ab F(x)dx

- Soit F, G deux fonctions continues sur [a;b] alors ∫ab [F(x)+G(x)] dx= ∫ab F(x)dx + ∫ab G(x)dx

(les deux dernières propriétés sont dites de linéarité)


Et ce sont les seules propriétés utilisables et connu sur l'intégrale, ∫. Ainsi, la seconde propriété énoncé ci-dessus répond à ta question dans le sens où sur ton exemple, on a:

∫ 2*[1/(1+x²)]² dx= 2*∫[1/(1+x²)]² dx

Et nous ne savons pas calculer plus en avant cette intégrale d'ailleurs.

Est-ce que c'est plus clair ainsi? Pour se convaincre de ton erreur pour l'intégration facteur par facteurs, il faut essayer de se ramener à l'aspect géométrique des choses. En effet, la fonction x|-->1/(1+x²) est positive. Donc l'intégrale n'est autre que l'aire sous la courbe. Or si je multiplie deux fonction positives entre-elles, cela ne va pas revenir à multiplier les deux aires sous la courbe.

Bon courage!

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nulenmath



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MessageSujet: Re: primitive d'un coefficient   Mar 25 Mai - 18:51

Blagu'cuicui a écrit:
Bonsoir,

Toujours la même erreur. En effet, on n'intègre pas un produit terme à terme cela n'a pas de sens.

En revanche pour répondre strictement à la question posée, il faut savoir que l'intégrale est linéaire et positive (les deux ensembles entraînant que l'intégrale est croissante d'ailleurs) c'est à dire qu'elle a les propriétés suivantes:

- Si F est une fonction continue sur [a;b] telle que F>0 sur [a;b] alors ∫ab F(x)dx >0 (propriété de positivité)

- Soit F une fonction continue sur [a;b] et un réel λ, alors ∫ab λ*F(x)dx=λ*∫ab F(x)dx

- Soit F, G deux fonctions continues sur [a;b] alors ∫ab [F(x)+G(x)] dx= ∫ab F(x)dx + ∫ab G(x)dx

(les deux dernières propriétés sont dites de linéarité)



tout à fait d'accord mais...


dans cet exercice l'énoncé ne demande pas d'intégrer, mais de trouver la primitive seulement (il n'y a même pas l'espèce d'accolade) ... donc je laisse le "2" comme il est ?
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: primitive d'un coefficient   Mar 25 Mai - 18:59

La primitive en fait c'est une intégrale. Pour "l'accolade", il s'agit en fait d'un S allongé qui signifie "somme".

Le 2 reste un multiplicateur dans la primitive en effet. Pour faire plus simple, je dirai que la primitive de 2*g est 2*G+cste avec G la primitive de g tout simplement.

En effet, si on dérivée, on a bien 2*G'=2*g ce qui est ce qu'on cherchait.


Mais cela m'épate qu'on te demande de calculer la primitive de cette fonction telle qu'elle est écrite, ce n'est pas plutôt F(x)=(2*x)/[1+x²]² ?

Sinon, j'ai grand peur qu'il n'y ait pas la possibilité de calculer la primitive de façon directe.

Bon courage!

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nulenmath



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MessageSujet: Re: primitive d'un coefficient   Mar 25 Mai - 19:11

en effet ce n'était pas l'énoncé, j'avais la "flemme" de prendre mes cours et tout retaper donc j'ai crée un exemple. je vais tout de même te montrer l'énoncer :

"trouver la primitive de 1/(1+t²)² dt" je l'ai transformé en [-1.2t]/[-2t.(1+t²)²] qui est aussi égal à [2t/[(1+t²)]²].[-1/-2t] pour mettre en évidence -v'(t)/v²(t)

donc v=1+t²; v'= 2t

et donc j'ai trouvé la primitive :

[1/(1+t²)].(-1/-2t) soit 1/(2+2t²).
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: primitive d'un coefficient   Mar 25 Mai - 19:40

Si je pose: G(t)=(1/2)*1/(1+t²)

On a: G'(t)=(1/2)*[-2t/(1+t²)²]=-t/(1+t²)² ce qui n'est pas la fonction 1/(1+t²)². Ton erreur vient du faite que 1/(-2t) n'est pas une constante vu que ce terme dépend de la variable t. On ne peut donc pas la considérer comme une constant lorsqu'on va prendre la primitive.

En fait, la primitive de ta fonction est bien plus complexe à calculer qu'elle en a l'air. En effet, l'idée serait plutôt de partir sur cette réflexion là:

1=1 + t² - t² pour tout t

Ainsi 1/(1+t²)²=(1+t²-t²)/(1+t²)² = (1+t²)/(1+t²)² - t²/(1+t²)²

On se ramène donc à calculer la primitive de 1/(1+t²) - t²/(1+t²)²

Est-ce que jusque là, c'est d'accord?

Maintenant as-tu des idées pour continuer le raisonnement? Sachant qu'on connait une primitive de 1/(1+t²), il faut donc regarder comment calculer la primitive de l'autre terme.

Bon courage!

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nulenmath



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MessageSujet: Re: primitive d'un coefficient   Mar 25 Mai - 23:19

nulenmath a écrit:

...trouver la primitive de 1/(1+t²)² dt" je l'ai transformé en [-1.2t]/[-2t.(1+t²)²] qui est aussi égal à [2t/[(1+t²)]²].[-1/-2t] pour mettre en évidence -v'(t)/v²(t)


excuse-moi d'avoir fait perdre ton temps, je me suis gouré dans l'énoncé, c'était bien "trouver la primitive de t/(1+t²)² dt" et non 1/(1+t²)² dt désolé ! ma primitive est donc bonne je pense.
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: primitive d'un coefficient   Mer 26 Mai - 16:24

Bonsoir,

Il n'y a pas de temps de perdu ne t'inquiète pas. Je trouvais vraiment bizarre que tu proposes une primitives de ce niveau là (astuce de calcul suivie d'une intégration par partie) de façon aussi brute par rapport aux erreurs que tu faisais encore. Mais je me suis adapté et j'espère que mes indications étaient "suivable" en tout cas. Je pense qu'en fin de chapitre, nous pourrons revenir sur cette primitive là: 1/(1+t²)² qui est intéressante en soit juste pour les astuces de calcul après tout.

Sinon, vu que ta fonction est F(t)=t/(1+t²)² en effet, en multipliant au numérateur et au dénominateur par 2 comme tu l'avais fait ce qui donne:

F(t)= [1/(-2)]*[(-2t)/(1+t²)²]

Nous nous retrouvons bien avec une forme -u'(x)/[u(x)]² avec une multiplication par la constante (1/2) ce qui rejoint ta première question du coup.

La primitive est donc G(t)= -1/(2+2t²)

Bon courage pour la suite

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