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 Trigonométrie, changement de repère

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Titux



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MessageSujet: Trigonométrie, changement de repère   Sam 14 Aoû - 18:14

Bonjour,

Je tente de résoudre cet exercice, voici l'énoncé :

On considère que le plan est rapporté au repère orthonormal (O,,)
On pose :
et
--> En écrivant les formules exprimant les coordonnées (X,Y) d'un point M relativement au repère (O,) en fonction de (x,y) les coordonnées du même point relativement au repère (0, ,), justifiez la formule :

sin t + cos t = )

Perso je pense que x= (X+Y)/V2 et y=(Y-X)/V2
J'utilise le fait que dans un repère (O,i,j) si A(x,y) alors vecteurOA=xi + yj

Peux tu m'aider pour la suite ?
Merci Smile
Titux

PS : Ce sujet n'étant plus une factorisation, j'ai créé un nouveau topic !
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Trigonométrie, changement de repère   Sam 14 Aoû - 19:27

Bonsoir,

Il s'agit d'effectuer des changements de coordonnées en effet. Ici, en l'occurrence, on cherche à expliciter les nouvelles coordonnées d'un point (X,Y) en fonction des anciennes coordonnées (x,y).

En conséquence de quoi, il faudrait que tu exprimes les choses dans le bon sens. En effet, c'est "en fonction de (x,y)" et non en fonction de (X,Y).

Donc il faut plutôt partir du fait qu'un point M de coordonnées (X,Y) dans le repère (O,I,J) et de coordonnées (x,y) dans le repère (O,i,j) cela signifie que OM= X*I + Y*J et de plusOM= x*i + y*j

Le principe que nous allons utiliser pour faire l'identification c'est que (i,j) est une base du plan tout comme (I,J) en est une autre. Par contre, je crois que ta conclusion contient une erreur de signe. Je te laisse refaire les calculs.

Ensuite à partir de la conclusion, il faudra répondre à la question c'est à dire exprimer X et Y en fonction de x et y et non l'inverse.

Une autre façon de faire comme tu le constates peut-être c'est d'exprimer i en fonction de I et J et de même exprimer j en fonction de I et J. Tu devras effectuer les calculs dans tous les cas pour répondre à la question. D'ailleurs, cela peut te paraître idiot d'exprimer X en fonction de x et y et Y en fonction de x et y alors que l'autre sens est si facilement accessible (modulo les erreurs de calculs). Mais en fait, si on réfléchit deux minutes, il s'avère assez logique de vouloir connaître les nouvelles coordonnées de nos points en fonction de nos anciennes coordonnées car le plus souvent nous avons accès au anciennes coordonnées et non au nouvelles qu'on cherche à calculer tout simplement.
Il faut toujours essayer de trouver un peu de sens au calcul pour mieux les appréhender et ainsi mieux les maîtriser et les réutiliser.

Sinon, je crois que la question qui suit est tout bonnement fausse si on la laisse en l'état. En effet, prenons t=0 alors le cosinus vaut 1 et le sinus vaut 0 ce qui nous donne à gauche de l'égalité 1. Alors qu'à droite de l'égalité j'aurai un résultat différent de 1. Je pense qu'il manque un sinus à droite après la racine carrée pour que l'égalité soit juste. N'as-tu vraiment aucune idée pour démontrer cette égalité? Que sais-tu manipuler?

Bon courage et n'hésite pas si tu as des questions!

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MessageSujet: Re: Trigonométrie, changement de repère   Sam 14 Aoû - 20:02

Il s'agit bien d'un sinus dans la formule...
Je ne comprends pas trop l'erreur de signe, j'ai beau vérifier, je tombe sur la m^me chose... Sad
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MessageSujet: Re: Trigonométrie, changement de repère   Sam 14 Aoû - 20:06

Pour "l'erreur" de signe autant pour moi. J'ai lu trop vite et vu que tu as changer l'ordre des des lettres dans la deuxième expression je n'ai pas fait attention. Le moins est bien devant le X. Donc pas d'erreur autant pour moi.
Il suffit maintenant d'inverse le système en quelque sorte pour retrouver les formules que nous cherchons.

Pour la deuxième question, on peut la résoudre de façon assez brute car pour montrer une égalité, on peut partir de l'expression que l'on souhaite pour arriver à l'autre. Ainsi, si tu partais de l'expres​sion(√2)*Sin(t+π/4) pour trouver l'autre, aurais-tu plus d'idée?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Trigonométrie, changement de repère   Sam 14 Aoû - 20:11

Je trouve que :
X=(x-y)/V2
et Y=V2-x+y.

Sinon on peut partir de sin t + cos t = X+Y non ?
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MessageSujet: Re: Trigonométrie, changement de repère   Sam 14 Aoû - 20:22

Je crois que tu as fait une erreur sur la deuxième expression vu que l'expression de X est juste, Y est sur le même procédé au signe près.


En fait, on a à partir des deux expression de x et y, x*√2=Y+X et y*√2=Y-X (en faisant la somme puis la différence, on arrive à isoler X et Y cela évite la substitution pour calculer le deuxième par exemple).

En fait, je voulais te convaincre de l'égalité sans utiliser l'exercice dans un premier temps mais allons-y pour son utilisation. En fait, si tu fait un dessin, que représente géométriquement ton changement de variable? Essayons de raisonner sur un dessin dans un premier temps après tout.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Trigonométrie, changement de repère   Sam 14 Aoû - 20:30

J'ai refait les calculs, simple erreur de ma part pour y en effet !

En fait, je sais que :
1/V2=sin (pi/4)= cos (pi/4)
donc on "tourne" en quelque sorte le repère vers la droite d'un angle de pi/quelque chose ?
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MessageSujet: Re: Trigonométrie, changement de repère   Sam 14 Aoû - 20:37

Mais en fait dans ce repère, on essaye d'avoir sin(-x)=-sinx et cos (- x)=cos x non ?
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MessageSujet: Re: Trigonométrie, changement de repère   Sam 14 Aoû - 20:42

Alors l'idée est tout à fait là et tu à même écrit l'angle de rotation maintennat il faut s'en convaincre en 30s chrono ;-).

v=i+j se construit comme étant la diagonale du parallélogramme dont deux côtés sont représentés par i et j.
Or que savons-nous de ce parallélogramme?

C'est un rectangle! Pourquoi? Car le repère est orthogonale donc les axes sont perpendiculaires et un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs perpendiculaires est un rectangle (on révise de tout là ;-)).

Mais on peut aller encore plus loin en disant que c'est un carré! Pourquoi? Car le repère est normé! En conséquence, ||i||=||j|| et donc notre rectangle à deux côtés consécutifs égaux, c'est bien un carré.

Et maintenant, que pouvons-nous dire de la diagonale d'un carré au niveau des angles et des distances?

Question subsidiaire: "Comprend-tu d'où bien le 1/√2 dans la définition du nouveau repère?"

Sinon, je ne comprend pas bien ton deuxième message vu qu'on a toujours Sin(-x)=-Sin(x) vu que la fonction sinus est impaire. Je pense que la réflexion sous-jacente est intéressant mais la question ne paraît pas claire pour le coup.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Trigonométrie, changement de repère   Sam 14 Aoû - 20:50

Tout s'éclaircit ! Et bien la diagonale d'un carré vaut V2* la longueur du coté Smile Comme dans la formule... ! Par contre le 1/v2 c'est en rapport avec la rotation ?
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MessageSujet: Re: Trigonométrie, changement de repère   Sam 14 Aoû - 20:54

Ok pour la longueur de la diagonale du carré.

Et du coup, si tu souhaites faire un changement de repère orthonormé, il va bien falloir que le nouveau repère soit lui aussi normé! C'est là que le 1/√2 intervient.

Maintenant, que pouvons-nous déduire comme information sur les angles entre i et I par exemple? Sachant comme est construit I bien entendu.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Trigonométrie, changement de repère   Sam 14 Aoû - 21:07

I=1/v2 i ?
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MessageSujet: Re: Trigonométrie, changement de repère   Sam 14 Aoû - 21:23

Ha non, I est déjà défini en fonction de i et de j.

Essayons de reprendre le raisonnement que nous avons laissé. Nous étions arrivés à la conclusion que v=i+j était un vecteur qui était porté par la diagonale d'un carré de côté 1. Donc la norme du vecteur v est √2 comme tu l'as si bien dit plus haut.

Maintenant que nous avons la longueur, nous pouvons dire que si je défini I=(i+j)/√2, on a donc I=v/√2. Ainsi, mon vecteur I a pour norme 1, est-ce que jusque là cela te semble clair?

Avec le même raisonnement, tu peux déduire que J est aussi de norme 1 (en effet, il s'agit aussi d'un vecteur porté par la diagonale d'un carré de côté 1).

Maintenant, ce qui serait intéressant ça serait de connaître l'angle de rotation pour passer du premier repère au deuxième repère. Cet angle de rotation n'est autre que l'angle qui est formé entre le vecteur i et le vecteur I.

Or continuons notre parallèle géométrique (le passage de l'analytique ou géométrique est parfois intéressant pour visualiser les choses qu'on manipule). On sait que I est porté par la diagonale du carré donc les côtés porte les vecteur i et j (il s'agit du carré de côté 1 ayant O pour un de sommet et se situant dans le quart supérieur droit bien entendu). Si j'appelle A la point de mon vecteur i et B la point de mon vecteur I, que pouvons-nous dire de l'angle (AOB) ?

Nous devrions après déduction de l'angle répondre à cette question: Est-ce que le repère (O,I,J) est bien un repère orthogonale?

Du coup, nous effectuons un changement de repère orthonormé c'est à dire qu'on passe d'un repère orthonormé à un autre. Et même mieux que cela vu que l'origine ne change pas dans cette transformation, il s'agit donc d'une rotation du repère initiale d'angle celui donné par la question précédente.

Est-ce que cela te semble plus clair du coup? Au niveau du changement de repère que nous effectuons ici.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Trigonométrie, changement de repère   Sam 14 Aoû - 22:06

AOB= 180-90=90 degres
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MessageSujet: Re: Trigonométrie, changement de repère   Sam 14 Aoû - 22:17

Ton résultat n'est pas logique en soi. En effet, tu as donc écrit que l'angle entre i et I est égale à 90°.

Or par construction d'un repère orthonormé i et j forme un angle de 90°. Ainsi, I serait sur l'axe des ordonnées ce qui n'est pas le cas par construction même du vecteur I=(i+j)/√2.

Revenons à un cas simple à ce moment là. Est-ce que tu as compris le raisonnement menant au fait que I était sur la diagonale d'un carré dont i et j sont sur les côtés du ce carré?

Si c'est le cas, regardons un carré de façon brute ABCD de tel sorte que AB=1. On a donc [AC] diagonale du carré et AC=√2. Nous sommes exactement dans notre cas de figure en quelque sorte sauf qu'ici j'ai donné des noms plus explicites au vecteur (i=AB, j=AD et donc I=AC). Est-ce que jusque là tout est clair?

Maintenant, que peux-tu dire de l'angle (BAC)? Au pire re-démontrons les choses, que savons-nous du triangle BAC? Du coup que valent les angles de la base?

En espérant que ceci recadrera un peu la réflexion en cours.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Trigonométrie, changement de repère   Sam 14 Aoû - 22:22

J'ai confondu, je voulais dire que l'angle entre i et I vaut 45 degrés et que l'angle entre I et J vaut 90 degrés d'où l'oethogonalité. Merci pour les explications !
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MessageSujet: Re: Trigonométrie, changement de repère   Sam 14 Aoû - 22:40

Nickel!

Mais maintenant, essayons de parler en radian au lieu de parler en degré. Ainsi, l'angle entre i et I est exactement de π/4. On a donc effectuer une rotation d'angle π/4 pour passer de i à I.

Oups en me relisant, j'ai d'ailleurs inversé I et J. Vu que c'est d'après ton énoncé, J qui est égale à (i+j)/√2 et non I comme je l'ai dit jusqu'à maintenant. Mais cela change en rien la démarche bien entendu.

On arrive donc au fait ici que pour passer de I à I, on effectue une rotation de π/4 et pour passer de j à J on effectue aussi une rotation de π/4. Maintenant, si on souhaite être plus précis pour que tout le monde puisse avoir le même visuel, il s'avère qu'il faut préciser dans quel sens nous devons tourner. S'agit-il du sens direct (qu'on appelle aussi sens trigonométrique) ou du sens indirect (sens des aiguille d'une montre) ?

Est-ce que maintenant, tu comprends mieux le changement que nous effectuons?

Essayons de voir si tu as compris en revenant à ta question (tout de même Smile) c'est à dire montrer que Sin(t) + Cos(t) = √2*Sin(t+π/4).

Qu'avons-nous comme formules?

Nous savons juste que: X=(x-y)/√2 et Y=(x+y)/√2

Et bien allons-y, considérons un point du cercle trigonométrique, ainsi on pose x=Cos(t) et y=Sin(t). Est-ce que jusque là tu es d'accord pour poser celà?

a) Que représente t ici?
b) Déduire d'après les considération géométrique la valeur de X et Y les coordonnées dans le nouveau repère.
c) Conclure d'après les formules de changement de repère.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Trigonométrie, changement de repère   Sam 14 Aoû - 22:56

Il va y avoir un léger décallage de signe par rapport à la formule qui t'est proposée mais c'est normal vu que je travail de façon intuitive (passage de l'ancien repère au nouveau repère). Nous trouverons la formule voulu au coup suivant (en passant du nouveau repère à l'ancien repère).

Donc ne t'inquiète pas si tu trouves Sin(t-π/4) au lieu de Sin(t+π/4) cela est normal pour l'instant.

Je préférai préciser au cas où cela serait le seul soucis dans ta réflexion.

Bon courage!


Rectification après calcul, nous sommes dans le bon sens.

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Dernière édition par Blagu'cuicui le Sam 14 Aoû - 23:16, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Trigonométrie, changement de repère   Sam 14 Aoû - 22:58

t est le réel associé au point du cercle trigonométrique considéré ? Je vois pas trop pour la b...
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MessageSujet: Re: Trigonométrie, changement de repère   Sam 14 Aoû - 23:01

Alors en effet c'est le réel associé à un point du cercle. Mais géométriquement que représente t.

Imaginons que je te donne une valeur pour t, comment vas-tu placer ton point M sur le cercle?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Trigonométrie, changement de repère   Sam 14 Aoû - 23:11

C'est l'angle en rad (OI,OM)
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MessageSujet: Re: Trigonométrie, changement de repère   Sam 14 Aoû - 23:15

Pour être correct c'est plutôt l'angle (i,OM) car l'angle d'un vecteur ne veutp as dire grand chose.

En tout cas c'est bien cela, t représente un angle ici! Maintenant, essayons de continuer le raisonnement dans le sens entamé c'est à dire le passage de l'ancien au nouveau repère (et en fin de compte ça va nous donner le bon résultat directement).

Si un angle vaut t dans l'ancien repère que vaut-il dans le nouveau? C'est à dire que vaut l'angle (I,OM)?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Trigonométrie, changement de repère   Sam 14 Aoû - 23:21

(I,OM)= t + pi/4 rad ?
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MessageSujet: Re: Trigonométrie, changement de repère   Sam 14 Aoû - 23:27

Excellent!

En effet, le repère tourne dans le sens indirect de π/4. On a doncu ne rotation d'angle -π/4 pour passer de l'ancien repère au nouveau repère. En conséquence l'angle (I,i)=+π/4 puisque l'angle (i,I)=-π/4.

Conclusion, (I,OM)=(I,i)+(i,OM)= π/4+t c'est à dire t+π/4.

En conséquence que valent les coordonnées de M dans le nouveau repère c'est à dire X et Y ?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Trigonométrie, changement de repère   Sam 14 Aoû - 23:32

Sin et cos de (pi/4 +t) ?
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MessageSujet: Re: Trigonométrie, changement de repère   Aujourd'hui à 13:59

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Trigonométrie, changement de repère
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